Eksponent ja logaritmfunktsioonide aksiomaatilisest mramisest Bakalaureuset Annika Volt

Eksponent- ja logaritmfunktsioonide aksiomaatilisest määramisest Bakalaureusetöö Annika Volt M-3

Sissejuhatuseks: • töö kuulub matemaatilise analüüsi valdkonda • vaadeldakse kahte elementaarfunktsiooni – - ja logaritmfunktsiooni eksponent • töö eesmärgiks on uurida erinevaid võimalusi eksponent- ja logaritmfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks • esitame kummalegi funktsioonile kolm erinevat aksiomaatikat

Eksponentfunktsiooni defineerime üldise astme abil, seega vaatleme esialgu üldise astme definitsiooni. Definitsioon 1. 1 Kui on suvaline reaalarv ja on mingi ratsionaalarvude jada, mille piirväärtus on , siis astme (a > 0) all mõistetakse piirväärtust. Definitsioon 2. 1 Eksponentfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni ( ).

Eksponentfunktsiooni omadusi Kirjutame välja omadused, mida kasutame eksponentfunktsiooni aksiomaatilisel defineerimisel. Lause 2. 1 Eksponentfunktsioon määramispiirkonnas R. Lause 1. 1 Iga. Lause , kui on pidev oma R korral kehtib järgmine võrdus = 1. . Lause 2. 2 Funktsioon kahaneb, kui. kasvab, kui ja

Üks viis eksponentfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Esimesel juhul määravad eksponentfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) on pidev oma määramispiirkonnas R, 2) iga R, 3). Teoreem 5. 1 Kui funktsioon kogu reaalarvude hulgal on määratud ja pidev R ning rahuldab tingimusi ja kus , siis iga , R korral.

Teine viis eksponentfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Teisel juhul määravad eksponentfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) iga R, 2) . Teoreem 6. 1 Kui funktsioon korral tingimusi rahuldab iga ja , kus , siis iga R korral. R

Kolmas viis eksponentfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Kolmandal juhul määravad eksponentfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) iga R, 2) , 3) Funktsioon kasvab, kui ja kahaneb, kui Teoreem 7. 1 Kui kogu arvsirgel rangelt monotoonne funktsioon rahuldab iga R korral tingimusi ja , kus ning , siis iga R korral. .

Logaritmfunktsiooni defineerime eksponentfunktsiooni pöördfunktsioonina. Definitsioon 3. 1 Logaritmfunktsiooniks nimetatakse eksponentfunktsiooni ( , pöördfunktsiooni. )

Logaritmfunktsiooni omadusi Kirjutame välja omadused, mida kasutame logaritmfunktsiooni aksiomaatilisel defineerimisel. Lause 3. 2 Logaritmfunktsioon määramispiirkonnas. on pidev oma Lause 4. 4 Logaritmfunktsiooni , iga Lause puhul kehtib võrdus korral. . ( , Lause 3. 1 Logaritmfunktsioon ning kahanev, kui. ). on kasvav, kui

Üks viis logaritmfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Esimesel juhul määravad logaritmfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) on pidev oma määramispiirkonnas 2) iga , 3). Teoreem 8. 1 Kui ja pidev vahemikus korral tingimusi mingi funktsioon, mis on määratud ning rahuldab seal iga ja , kus , , siis , iga korral.

Teine viis logaritmfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Teisel juhul määravad logaritmfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) iga , 2) Teoreem 9. 1 Kui rahuldab iga ning ( on määratud piirkonnas korral tingimusi ja , kus , , siis iga . , ). ja

Kolmas viis logaritmfunktsiooni aksiomaatiliseks määramiseks Kolmandal juhul määravad logaritmfunktsiooni üheselt järgnevad omadused: 1) iga , 2) , 3) on kasvav, kui ning kahanev, kui. Teoreem 10. 1 Kui vahemikus funktsioon rahuldab iga rangelt monotoonne korral tingimusi ja , kus ja , siis iga korral.

Tänan tähelepanu eest!