EKSPEKTASI DAN VARIANSI TI 2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU

EKSPEKTASI DAN VARIANSI TI 2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-7 1

Definisi Ekspektasi Matematis Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x). Mean atau nilai (expected value) dari X adalah: =E(X)= jika X diskrit dan =E(X)= jika X kontinu 2

Contoh Ekspektasi Matematis 1. Berapa ekspektasi jumlah angka yang muncul dari pelemparan dua buah dadu? 2. Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah hari perawatan seseorang dengan penyakit demam berdaran di sebuah rumah sakit, di mana X memiliki fungsi kepadatan sebagai berikut: f(x)= tentukan rata-rata waktu perawatan pasien-pasien demam berdarah di rumah sakit tersebut! 3

Diberikan variabel random g(X) yang nilainya tergantung pada X. Jika X merupakan variabel random dengan distribusi probabilitas f(x), maka nilai harapan dari variabel random g(X) adalah: g(X) = E[g(X)] = jika X adalah diskrit, dan g(X) = E[g(X)] = jika X kontinu. 4

Curah hujan di suatu bulan tertentu bervariasi antara – 1 sampai 2 desiliter dari curah hujan standar. Tetapkan X sebagai variabel random yang menunjukkan variasi curah hujan dari standar (dalam desiliter). Variabel random X ini memiliki pdf: Jika g(X) = 3 X + 3 merupakan fungsi yang menunjukkan hasil panen (dalam ton/hektar) yang dapat diperoleh pada saat curah hujan bervariasi sebesar X desiliter dari standar, tentukan ekspektasi hasil panen dalam jangka panjang. 5

Ekspektasi Variabel Random Bivariat Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x, y). Rataan atau nilai harapan dari variabel random g(X, Y) adalah: g(X, Y) = E[g(X, Y)] = jika X dan Y adalah diskrit, dan g(X, Y) = E[g(X, Y)] = jika X dan Y kontinu. 6

Contoh Ekspektasi Bivariat Tentukan ekspektasi dari fungsi g(X, Y) = Y/X, diberikan f ( x , y) = 7

Definisi Variansi Diberikan X sebuah variabel random dengan distribusi probabilitas f(x) dan rataan . Variansi dari X adalah 2 = E[(X - )2] = jika X adalah diskrit dan 2 = E[(X - )2] = jika x kontinu. Akar kuadrat positif dari variansi, atau , disebut dengan deviasi standar. 8

Teorema variansi Variansi variabel random X adalah: 2 = E ( X ) 2 2 9

Contoh Perhitungan Variansi 1. Hitunglah variansi dari variabel random angka hasil pelemparan dadu! 2. Hitunglah dengan menggunakan teorema variansi! 10

Kovariansi Dua Variabel Random Diberikan variabel random X dan Y dengan joint probability distribution f(x, y). Kovariansi dari X dan Y adalah: XY = E[(X X)(Y Y)] = jika X dan Y adalah diskrit, dan XY = E[(X X)(Y Y)] = jika X dan Y kontinu. 11

Teorema Kovariansi dari dua variabel random X dan Y dengan rataan X dan Y, berturut-turut, diberikan oleh: XY = E(XY) X Y 12

Contoh Perhitungan Kovariansi Fraksi pelari laki-laki X dan fraksi pelari perempuan Y yang bertanding pada suatu lomba digambarkan oleh joint distribution function: f ( x , y) = Hitung kovariansi antara X dan Y! 13

Definisi Korelasi Diberikan variabel random X dan Y dengan kovariansi XY dan deviasi standar berturut-turut X dan Y. Koefisien korelasi antara X dan Y adalah: XY = 14

Rumus-rumus Ekspektasi n E(a. X+b) = a. E(X) + b n E( b ) = b n E(a. X) = a. E(X) n E[g(X) h(X)] = E[g(X)] E[h(X)] n E[g(X, Y) h(X, Y)] = E[g(X, Y)] E[h(X, Y)] n E[g(X) h(Y)] = E[g(X)] E[h(Y)] n E[X Y ] = E[g(X)] E[h(Y)] n E(XY) = E(X) E(Y) 15

Rumus-rumus Variansi 16