EKONOMETRIA PREDNKA 7 NESPLNENIE PREDPOKLADOV LINERNEHO KLASICK HO

EKONOMETRIA PREDNÁŠKA 7 NESPLNENIE PREDPOKLADOV LINEÁRNEHO KLASICKÉ HO MODELU- MULTIKOLINEARITA doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 1

Obsah prednášky: PPROBLÉMY ŠPECIFIKÁCIE EKONOMETRICKÉHO MODELU – MULTIKOLINEARITA 5. 2 Nedodržanie predpokladov o matici pozorovaní vysvetľujúcich premenných – multikolinearita 5. 2. 1 Príčiny a dôsledky multikolinearita 5. 2. 2 Zisťovanie a meranie významnosti multikolinearity 5. 2. 2. 1 Analýza korelácie medzi vysvetľujúcimi premennými 5. 2. 2. 2 Analýza determinantu matice , resp. determinantu korelačnej matice medzi vysvetľujúcimi premennými 5. 2. 2. 3 Pomocné regresie 5. 2. 2. 4 Rozklady korelačnej matice R 5. 2. 2. 5 Špeciálne miery 5. 2. 3 Riešenie problému multikolinearity Otázky k 5. , 6. , 7. PREDNÁŠKE doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 2

5. 2 Nedodržanie predpokladov o matici pozorovaní vysvetľujúcich premenných – multikolinearita Druhá skupina problémov sa už netýka náhodných porúch, ale nedodržania predpokladov o matici pozorovaní vysvetľujúcich premenných, ktorý sme sformulovali do predpokladu 5, t. j. vysvetľujúce premenné sú lineárne nezávislé a pre hodnosť matice platí: (5. 90) Ak by podmienka (5. 90) platila v tvare: (5. 91) znamenalo by to, že medzi vysvetľujúcimi premennými existuje exaktný lineárny vzťah, a estimátor najmenších štvorcov (5. 92) by neexistoval, lebo matica by bola singulárna. Splnenie predpokladu (5. 90) znamená, že vysvetľujúce premenné nie sú perfektne lineárne skorelované, t. j. žiadnu z nich nie je možné vyjadriť ako lineárnu kombináciu inej, alebo iných vysvetľujúcich premenných a matice alebo , majú plnú hodnosť. Ak by podmienka (5. 90) nebola splnená, potom by medzi dvoma alebo viacerými vysvetľujúcimi premennými existovala lineárna kombinácia rovnajúca sa nulovému vektoru: doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 3

(5. 93) kde aspoň jedno. Takýchto lineárnych vzťahov by mohlo existovať aj viac (preto multikolinearita). Perfektná multikolinearita je však hraničný prípad a v praktickej ekonometrickej analýze sa vyskytuje len zriedka. Častejšie sa stretávame s prípadom, že niektoré, alebo všetky vysvetľujúce premenné sú silno, nie však perfektne kolineárne. Vysvetľujúce premenné, ktorých sa multikolinearita týka, sú podľa predpokladu nestochastické, preto je multikolinearita problém výberu, resp. problém neexperimentálneho charakteru ekonometrických dát. Podstatou skúmania multikolinearity v ekonometrickej analýze je predovšetkým zistenie intenzity závislosti medzi dvoma, alebo viacerými vysvetľujúcimi premennými a nielen definovanie, či existuje alebo nie. Vzhľadom k predpokladu nestochastického charakteru všetkých vysvetľujúcich premenných modelu sa multikolinearita netýka základného súboru, ale len výberových dát, takže nie je správne hovoriť o testovaní multikolinearity, ale skôr o zisťovaní a meraní jej významnosti v konkrétnom výbere. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 4

5. 2. 1 Príčiny a dôsledky multikolinearita Vysoký stupeň multikolinearity sa prejavuje predovšetkým v tom, že sa znižuje presnosť odhadu regresných koeficientov, získaných z konkrétneho výberu, v dôsledku veľkých štandardných chýb estimátora najmenších štvorcov. Odhady pritom zostávajú nestranné a výdatné, len pri opakovaných výberoch rovnakého rozsahu sa metódou najmenších štvorcov odhadnuté parametre v rôznych výberoch podstatne líšia. Najčastejšie príčiny multikolinearity je možné zhrnúť do nasledovných okruhov: Ø Príčinou multikolinearity vysvetľujúcich premenných je tendencia časových radov ekonomických ukazovateľov vyvíjať sa rovnakým smerom, pričom vykazujú aj podobné prírastky. Ø Rôzny stupeň lineárnej závislosti výberových pozorovaní vysvetľujúcich premenných sa môže objaviť v dôsledku neexperimentálneho charakteru ekonometrických dát aj prierezovej analýze. Ø Významnú multikolinearitu spôsobuje zahrnutie oneskorených endogénnych aj exogénnych premenných do množiny vysvetľujúcich premenných, ktoré sú väčšinou silno skorelované. Ø Perfektná multikolinearita sa môže objaviť pri použití umelých nula jednotkových vysvetľujúcich premenných. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 5

Veľké štandardné chyby, ako dôsledok silnej multikolinearity, spôsobujú problémy v špecifikácii modelu, lebo vysvetľujúce premenné, ktorých parametre sú štatisticky nevýznamné, obvykle z modelu vynecháme. V takomto prípade však môžeme na základe t – testu vylúčiť z množiny nezávisle premenných jednu, alebo viac premenných, ktoré v skutočnosti významne ovplyvňujú vysvetľovanú endogénnu premennú a to len preto, že konkrétny výber neposkytuje dostatočnú informáciu, potrebnú k meraniu ich separátneho vplyvu. Predpokladajme všeobecný lineárny model: (5. 94) Rozptyly estimátorov je možné zapísať: (5. 95) kde je koeficient determinácie z pomocnej regresie, v ktorej a ostatné vysvetľujúce premenné sú nezávisle premennými. Veličinu je závisle premennou nazývame inflačný faktor rozptylu (Variance Inflation Factor) a označujeme VIF. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 6

(5. 96) potom pre variabilitu estimátora platí: (5. 97) Ak potom rozptyl estimátora je takmer dvakrát väčší, ako v prípade nulovej hodnoty. Ak ale vzrastie hodnota koeficienta determinácie na , rozptyl sa zväčší viac ako dvadsaťkrát : ak , rozptyl estimátora je dvestokrát väčší. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 7

5. 2. 2 Zisťovanie a meranie významnosti multikolinearity V praxi sa používa široká škála postupov a techník umožňujúcich zisťovať a overovať výskyt i významnosť multikolinearity. Uvedieme stručne niektoré z nich: 1. 2. 3. 4. 5. Analýza korelácie medzi vysvetľujúcimi premennými. Analýza determinantu matice resp. . Pomocné regresie. Rozklady matice. špeciálne miery kolinearity doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 8

5. 2. 2. 1 Analýza korelácie medzi vysvetľujúcimi premennými doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 9

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 10

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 11

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 12

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 13

5. 2. 2. 2 Analýza determinantu matice medzi vysvetľujúcimi premennými , resp. determinantu korelačnej doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 14

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 15

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 16

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 17

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 18

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 19

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 20

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 21

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 22

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 23

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 24

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 25

doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 26

5. 2. 3 Riešenie problému multikolinearity Ak zistíme v konkrétnom výbere pozorovaní existenciu významnej multikolinearity, snažíme sa o jej elimináciu, alebo zníženie jej negatívneho vplyvu na kvalitu odhadu metódou najmenších štvorcov. Spôsob riešenia neúnosnej multikolinearity volíme v závislosti na jej intenzite, na schopnosti využiť novú apriórnu, alebo štatistickú informáciu, na významnosti vzájomnej závislosti vysvetľujúcich premenných, na možnosti získať dodatočné pozorovania, ale aj na účele, ktorému má slúžiť odhadnutý ekonometrický model. Aj keď existuje celý rad postupov používaných na korekciu vplyvu multikolinearity na kvalitu estimátora najmenších štvorcov, ani jeden z nich nevedie k úplnému riešeniu problému. Jednou z možností zlepšenia presnosti odhadov je zväčšenie rozsahu výberu pozorovaní. Znížiť stupeň kolinearity môžu však len také dodatočné pozorovania, ktoré sa podstatne líšia od pôvodného výberu, t. j. kedy v základnom súbore multikolinearita neexistuje. Pri analýze časových radov je možné zväčšiť počet pozorovaní napríklad nahradením ročných údajov štvrťročnými poprípade mesačnými dátami. Musíme však počítať s tým, že použitie časových radov s kratšou periodicitou môže viesť k k sériovej korelácii náhodných zložiek, výskytu sezónnosti a chýb meraní. K zníženiu výberových štandardných chýb odhadových funkcií metódy najmenších štvorcov vedie pri existencii multikolinearity i využitie dodatočných informácií vo forme apriórnych obmedzení niektorých parametrov ekonometrického modelu. Napríklad z ekonomickej teórie vyplývajú apriórne obmedzenia parametrov produkčných, spotrebných či dopytových funkcií, ktorých platnosť v konkrétnom výbere overujeme vhodnými testami. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 27

Na podobnom princípe je založený postup vychádzajúci z kombinácie prierezových údajov a údajov z časových radov, známy ako zmiešaný odhad modelu. Jedným z východísk pri prekonaní rozporu medzi modelom a dátami je zmena špecifikácie modelu, spočívajúca najčastejšie vo vynechaní tej premennej, ktorá spôsobuje multikolinearitu. Ak je však pôvodná špecifikácia modelu v súlade s ekonomickou teóriou, vynechanie podstatných nezávisle premenných sa prejaví ako špecifikačná chyba, ktorá má podstatne väčší negatívny dopad na kvalitu odhadov ako multikolinearita. Pri aplikácii tohto postupu je vždy dôležité vopred dôkladne overiť dôsledky uvažovaných zmien špecifikácie modelu. V ekonometrickej analýze časových radov je častou príčinou významnej multikolinearity podobný vývoj vysvetľujúcich premenných v čase. Znížiť stupeň závislosti týchto premenných je možné vhodnou transformáciou ich pozorovaní napr. použitím prvých diferencií, alebo podielom premenných a pod. Transformácia vo forme prvých diferencií síce znižuje závislosť v porovnaní s pôvodnými vysvetľujúcimi premennými, ale spravidla vyvoláva autokoreláciu náhodných porúch. Pri použití pomerných veličín napr. delením regresnej rovnice jednou z vysvetľujúcich premenných, je možné predpokladať zníženie stupňa multikolinearity, ale v modeli sa obvykle objaví významná heteroskedasticita. Často je možné použiť na riešenie problému multikolinearity špeciálne štatistické postupy viacrozmernej analýzy, ako je metóda hlavných komponentov, alebo hrebeňová regresia. Uvedené odhadové postupy síce zvyšujú výdatnosť odhadnutých parametrov, a zároveň znižujú hodnotu strednej kvadratickej chyby, na druhej strane však neposkytujú doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 28 nestranné odhady.

Záverom je možné uviesť, že nie je možné preferovať ani jeden z uvedených postupov, pretože multikolinearita je problémom výberových údajov a nie základného súboru dát. Ako postupovať v prípade významnej multikolinearity, záleží predovšetkým na spôsobe využitia ekonometrického modelu. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 29

Otázky k 5. , 6. , 7. PREDNÁŠKE 1. Ako postupujeme v ekonometrickej analýze v prípade nesplnenia niektorého predpokladu lineárneho klasické modelu. 2. Popíšte zovšeobecnený lineárny model a odhad parametrov zovšeobecnenou metódou najmenších štvorcov. 3. Dôsledky a príčiny heteroskedasticity. 4. Zisťovanie heteroskedasticity, popíšte základné testovacie postupy, ktorými overujeme homoskedasticitu. 5. Popíšte Parkovu metódu zisťovania heteroskedasticity. 6. Popíšte Glejserovu metódu zisťovania heteroskedasticity. 7. Popíšte Goldfeldov – Quandtov test (GQ) zisťovania heteroskedasticity. 8. Popíšte Breuschov – Paganov test (BP) zisťovania heteroskedasticity. 9. Popíšte Whiteov test heteroskedasticity (W) zisťovania heteroskedasticity. 10. Popíšte Koenkerov – Bassettov test (KB) zisťovania heteroskedasticity. 11. Riešenie problému heteroskedasticity. 12. Dôsledky a príčiny autokorelácie rezíduí. 13. Zisťovanie autokorelácie rezíduí, popíšte základné testovacie postupy. 14. Popíšte Durbin – Watsonov test autokorelácie. 15. Autokorelácia v modeli s oneskorenou endogénnou vysvetľujúcou premennou Durbinov h –test. 16. Popíšte Breuschov – Godfreyho (BG) všeobecný test autokorelácie. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 30

17. Riešenie problému autokorelácie, Cochrane – Orcuttova metóda. 18. Dôsledky a príčiny multikolinearity. 19. Zisťovanie multikolinearity. 20. Analýza korelácie medzi vysvetľujúcimi premennými. 21. Analýza determinantu matice , resp. determinantu korelačnej matice medzi vysvetľujúcimi premennými. 22. Pomocné regresie. 23. Rozklady korelačnej matice R. 24. Špeciálne miery. 25. Riešenie problému multikolinearity. doc. Ing. Peter Obtulovič, CSc 31