EJERCICIOS DE GEOMETRA TERCERO E S O Ejercicios

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EJERCICIOS DE GEOMETRÍA. TERCERO E. S. O. Ejercicios resueltos y comentados. I. E. S.

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA. TERCERO E. S. O. Ejercicios resueltos y comentados. I. E. S. La Asunción. © Mario Ortega González

Geometría Plana. E. S. O. Esta presentación muestra las soluciones de los ejercicios que

Geometría Plana. E. S. O. Esta presentación muestra las soluciones de los ejercicios que hay presentar obligatoriamente. Los ejercicios se han de trazar correctamente y atendiendo a las normas; no se borrarán las líneas de construcción y las soluciones se pasarán a tinta en negro o color rojo. Si algún ejercicio os sale mal y hay que repetirlo se hará en hoja aparte indicando su número correspondiente. Normas básicas Segmentos y ángulos Polígonos Simetrías Curvas Planas

NORMAS BÁSICAS

NORMAS BÁSICAS

Trazado y rotulación Los lápices que se han de usar son de tres tipos:

Trazado y rotulación Los lápices que se han de usar son de tres tipos: A: Duro (3 H o 2 H) que con la punta afilada nos hace una línea fina y gris. Se utiliza para hacer toda la construcción del dibujo. B: Medio (HB) lo usamos para dibujos a mano, croquis, escritura y para destacar elementos. C: Blando (2 B) hace una línea negra y gruesa y se usa para aristas, soluciones, sombras, etc. Los rotuladores se utilizan para soluciones y se clasifican por sus grosores, los básicos son: A. 0, 2 mm. para acotaciones, rayados, ejes … B. 0, 4 mm. para representar aristas ocultas. C. 0, 8 mm. para aristas visibles y soluciones en general. La presentación básica será: Líneas de construcción, letras, números y demás en lápiz 2 H. Soluciones en rotulador negro o rojo de grosor mínimo 0, 5 mm.

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Mediatriz de un segmento. Es el lugar geométrico equidistante a los extremos de un

Mediatriz de un segmento. Es el lugar geométrico equidistante a los extremos de un segmento. Como consecuencia de esto podemos hacer tres cosas: 1. Dividir un segmento en dos partes iguales. 2. Dibujar infinitos arcos que pasen por los extremos. 3. Trazar ángulos de 90º. 1. 1. Trazar la mediatriz del segmento.

Mediatriz de un segmento. Procedimiento: 1. Haciendo centro en los extremos A y B

Mediatriz de un segmento. Procedimiento: 1. Haciendo centro en los extremos A y B trazamos dos parejas de arcos que se crucen, la medida del radio es indiferente, lo importante es que sean iguales. 2. Trazamos una recta que pase por los dos cruces y tenemos la mediatriz. 1. 1. Trazar la mediatriz del segmento.

Perpendicularidad entre segmentos. Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que

Perpendicularidad entre segmentos. Se dice que dos rectas son perpendiculares cuando el ángulo que forman entre si es de 90º. La geometría que utilizaremos es la de compás y el fundamento del trazado esta está basado en lo aprendido en el tema mediatriz de un segmento. 1. 2. Trazar la perpendicular que pasa por el punto.

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Haciendo centro en P trazamos un arco cualquiera y

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Haciendo centro en P trazamos un arco cualquiera y localizamos dos puntos equidistantes A y B. 2. Dibujamos dos arcos de radios iguales que se corten, uno con centro en A y el otro en B. 3. Unimos el cruce de arcos y el punto P y tenemos la recta perpendicular. 1. 2. Trazar la perpendicular que pasa por el punto.

Perpendicularidad entre segmentos. Vamos a pensar que C está en la mediatriz de un

Perpendicularidad entre segmentos. Vamos a pensar que C está en la mediatriz de un segmento imaginario, de esta manera con dos puntos equidistantes de C podremos obtener un tercero equidistante que unido a C nos dará la solución. 1. 3. Trazar la perpendicular que pasa por C

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Con un radio cualquiera y con centro en C,

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Con un radio cualquiera y con centro en C, trazamos el arco que pasa por A y B, que son dos puntos equidistantes. 2. Ahora se trazan dos arcos iguales que se crucen, con centros en A y B. 3. Unimos C con el cruce de arcos y tenemos la recta. 1. 3. Trazar la perpendicular que pasa por C

Perpendicularidad entre segmentos. La semirecta es una línea infinita pero de origen conocido. Para

Perpendicularidad entre segmentos. La semirecta es una línea infinita pero de origen conocido. Para trazar la perpendicular vamos a utilizar un procedimiento basado en la división de la circunferencia, en cuyo fundamento se profundizará más adelante. 1. 4. Trazar la perpendicular que pasa por el extremo de la semirecta.

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Con centro en O trazamos un arco cualquiera. 2.

Perpendicularidad entre segmentos. Procedimiento: 1. Con centro en O trazamos un arco cualquiera. 2. Con el mismo radio utilizado trazamos los tres arcos con centros en 1, 2 y 3. 3. La recta perpendicular pasa por 4 y O 1. 4. Trazar la perpendicular que pasa por el extremo de la semirecta.

Paralelismo entre segmentos. Un recta paralela es el lugar geométrico de los puntos equidistantes

Paralelismo entre segmentos. Un recta paralela es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de otra. Para dibujarla existen varios métodos yo he escogido el del semicírculo. 1. 5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por P.

Paralelismo entre segmentos. Procedimiento: 1. Hacemos centro en un punto cualquiera y con radio

Paralelismo entre segmentos. Procedimiento: 1. Hacemos centro en un punto cualquiera y con radio hasta P trazamos un semicírculo. 2. Con centro en un extremo y radio hasta P trazamos un arco, luego trazamos su contrario y tendremos P’. 3. Unimos los dos puntos P y P’ y ya tenemos la solución. 1. 5. Trazar la recta paralela a la dada que pasa por P.

Proporcionalidad. Teorema de Thales. La proporcionalidad consiste en que los quebrados formados por los

Proporcionalidad. Teorema de Thales. La proporcionalidad consiste en que los quebrados formados por los segmentos a, b y c con sus respectivas partes de m son iguales entre si, es decir, a: a’=b: b’=c: c’=x. Si trazamos una línea desde un extremo del m con un ángulo cualquiera y las seccionamos con rectas paralelas, las divisiones que se forman son proporcionales. 1. 6. Dividir el segmento m en partes proporcionales a los tres segmentos:

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Procedimiento: 1. Con cualquier ángulo trazamos una línea recta desde

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Procedimiento: 1. Con cualquier ángulo trazamos una línea recta desde el punto 0. 2. Colocamos consecutivamente los segmentos a, b y c. 3. Unimos el final de c con el extremo de m y trazamos paralelas desde a y b y ya tenemos los segmentos proporcionales a’, b’ y c’. 1. 6. Dividir el segmento m en partes proporcionales a los tres segmentos:

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Para dividir un segmento en x partes iguales aplicaremos el

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Para dividir un segmento en x partes iguales aplicaremos el teorema de Thales. Utilizaremos segmentos iguales entre si que nos darán en el segmento A, B sus proporcionales que también lo serán. 1. 7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Procedimiento: 1. 7. Dividir el segmento en 7 partes iguales.

Proporcionalidad. Teorema de Thales. Procedimiento: 1. 7. Dividir el segmento en 7 partes iguales. 1. Trazamos una recta desde A de ángulo indiferente. 2. Dibujamos consecutivamente siete unidades iguales. 3. El final 7 lo unimos con el extremo B y trazamos rectas paralelas desde todas las partes quedando A, B dividido en siete partes. 4. Solo nos queda numerar las partes de 0 a 7.

Ángulos. Igualdad. 2. 1. Dibujar un ángulo igual al dado. Un ángulo es la

Ángulos. Igualdad. 2. 1. Dibujar un ángulo igual al dado. Un ángulo es la apertura entre dos rectas que cortan, se representa con un arco de circunferencia, se identifica, por norma, con una letra griega, y se mide en grados. Los ángulos se dividen en tres categorías: 1. Agudos, tienen menos de 90º. 2. Rectos, tienen 90º. 3. Obtusos, con más de 90º. Para repetir un ángulo basta con repetir el mismo arco y la misma cuerda.

Ángulos. Igualdad. Procedimiento: 2. 1. Dibujar un ángulo igual al dado. 1. Dibujamos la

Ángulos. Igualdad. Procedimiento: 2. 1. Dibujar un ángulo igual al dado. 1. Dibujamos la cuerda A, B en el arco dado. 2. Trazamos sobre una línea un arco con el mismo radio (V, B) y tenemos V’, B’. 3. Repetimos la cuerda (B, A) y localizamos el punto A’. 4. Con inicio en V’ y pasando por A’ trazamos la línea que completa el ángulo.

Ángulos. Suma. Se trata de unir consecutivamente los dos ángulos de tal manera que

Ángulos. Suma. Se trata de unir consecutivamente los dos ángulos de tal manera que coincidan los vértices. La clave de las operaciones con ángulos es operar siempre con el mismo radio. 2. 2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Suma. Procedimiento: 1. Dibujamos dos arcos de radios iguales con sus cuerdas en

Ángulos. Suma. Procedimiento: 1. Dibujamos dos arcos de radios iguales con sus cuerdas en los ángulos dados. 2. Trazamos una semirecta y desde su origen V’ dibujamos un arco amplio con el mismo radio que los dos anteriores. 3. Sobre el arco trazamos consecutivamente las cuerdas D’, C’ y B’, A’. 4. Hacemos pasar por A’ una semirecta que sale de V’ y ya tenemos el ángulo resultante. 2. 2. Sumar los ángulos.

Ángulos. Resta. 2. 3. Restar los ángulos. Para restar ángulos dibujamos el ángulo mayor

Ángulos. Resta. 2. 3. Restar los ángulos. Para restar ángulos dibujamos el ángulo mayor y después colamos el pequeño encima haciendo coincidir los vértices y un lado. Lo que sobresalga del pequeño será la diferencia.

Ángulos. Resta. Procedimiento: 1. Con el mismo radio trazamos un arco y sus cuerdas

Ángulos. Resta. Procedimiento: 1. Con el mismo radio trazamos un arco y sus cuerdas en cada ángulo dado 2. 3. Restar los ángulos. 2. Dibujamos una semirecta y con centro en V’ trazamos un arco con el radio anterior 3. En el arco colocamos la cuerda igual a A, B y tenemos A’, B’, ahora desde B’ y con dirección A’ colocamos la cuerda D, C y tenemos D’, C’. 4. Tenemos como resultado el ángulo C’, V’, A’.

Ángulos. Bisectriz. 2. 4. Hallar la bisectriz del ángulo. Bisectriz es el lugar geométrico

Ángulos. Bisectriz. 2. 4. Hallar la bisectriz del ángulo. Bisectriz es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes a los dos lados de un ángulo. Como consecuencia de esto la bisectriz es el lugar medio y con ella podemos dividir un ángulo en dos partes iguales.

Ángulos. Bisectriz. Procedimiento: 1. Como el vértice del ángulo es parte de la bisectriz,

Ángulos. Bisectriz. Procedimiento: 1. Como el vértice del ángulo es parte de la bisectriz, dibujamos un arco con centro en V y localizamos A y B que son dos puntos equidistantes. 2. Ahora con centro en A y B dibujamos dos arcos de radios iguales que se corten en C. 3. Por último, naciendo en V y pasando por C trazamos la bisectriz. 2. 4. Hallar la bisectriz del ángulo.

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes. 2. 5. Hallar la bisectriz de las rectas

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes. 2. 5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes. Si seccionamos las dos rectas concurrentes con una tercera, se originan cuatro ángulos; el cruce de las cuatro bisectrices tomadas de dos en dos, localizarán dos puntos de la bisectriz que buscamos.

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes. Procedimiento: 1. Trazamos una línea que corte a

Ángulos. Bisectriz de dos rectas concurrentes. Procedimiento: 1. Trazamos una línea que corte a s y tenemos dos parejas de ángulos con vértice en A y A’ respectivamente. 2. Las bisectrices de los cuatro ángulos se cortan dos puntos B y C. 3. Trazamos una recta que pase por B y por C y ya tenemos la bisectriz. 2. 5. Hallar la bisectriz de las rectas concurrentes.

Circunferencia. Hallar su centro. 3. 1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres

Circunferencia. Hallar su centro. 3. 1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos. Sabemos que para que un arco pase por dos puntos su centro tiene que estar en la mediatriz. por lo tanto para que un arco pase por tres puntos su centro estará en el cruce de las mediatrices de las cuerdas que forman los tres puntos.

Circunferencia. Hallar su centro. Procedimiento: 3. 1. Trazar la circunferencia que pasa por los

Circunferencia. Hallar su centro. Procedimiento: 3. 1. Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos. 1. Trazamos dos cuerdas A, B y A, C. 2. Hallamos sus mediatrices. 3. Con el cruce de las mediatrices tenemos el centro. 4. Con centro en O y radio hasta cualquiera de los puntos trazamos la circunferencia.

Circunferencia. Hallar su centro. 3. 2. Hallar el centro de la circunferencia. Trazamos dos

Circunferencia. Hallar su centro. 3. 2. Hallar el centro de la circunferencia. Trazamos dos cuerdas y con sus mediatrices obtenemos el centro.

Circunferencia. Hallar su centro. Procedimiento: 1. Trazamos dos cuerdas A, B y A, C.

Circunferencia. Hallar su centro. Procedimiento: 1. Trazamos dos cuerdas A, B y A, C. 2. Hallamos sus mediatrices. 3. Con el cruce de las mediatrices tenemos el centro O. 3. 2. Hallar el centro de la circunferencia.

Circunferencia. División en partes iguales 3. 7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

Circunferencia. División en partes iguales 3. 7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales. Para dividir la circunferencia en partes iguales lo vamos a hacer por un método general de geometría proyectiva que relaciona la división del diámetro en x partes iguales con dos focos exteriores que están alejados a su vez un diámetro de los extremos.

Circunferencia. División en partes iguales Procedimiento: 1. Usando el teorema de Thales dividimos el

Circunferencia. División en partes iguales Procedimiento: 1. Usando el teorema de Thales dividimos el diámetro en 9 partes. 2. Con centro en los extremos y con radio el mismo diámetro, trazamos dos arcos que nos hallan los dos focos F’ y F’’. 3. Desde los focos trazamos rectas que pasan por las partes del diámetro tomadas de dos en dos y se crean las divisiones 1, 2 y 3… 3. 7. Dividir la circunferencia en 9 partes iguales.

POLÍGONOS

POLÍGONOS

Polígonos. Definición y clases. Definición: • Polígono es una forma plana limitada por tres

Polígonos. Definición y clases. Definición: • Polígono es una forma plana limitada por tres o más rectas que se cortan dos a dos. Clasificación: Convexos o cóncavos: • En un polígono convexo los ángulos medidos desde el exterior son mayores de 180º y son cóncavos cuando no cumplen la propiedad anterior. Por el número de lados: • • • 3 Triángulo 4 Cuadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 heptágono • 8 Octógono • 9 Eneágono • 10 Decágono • 11 Undecágono • 12 Dodecágono Regulares y Irregulares: • Los polígonos son regulares cuando sus lados y sus ángulos son iguales entre si y son irregulares cuando no lo son.

TRIÁNGULOS

TRIÁNGULOS

Triángulos. Definición y clasificación. Definición: Un Triángulo es un polígono formado con tres lados.

Triángulos. Definición y clasificación. Definición: Un Triángulo es un polígono formado con tres lados. Por sus ángulos Acutángulo Los tres ángulos agudos Rectángulo Un ángulo recto Obtusángulo Un ángulo obtuso Clasificación Equilátero Por sus lados Los tres lados iguales Isósceles Dos lados iguales Escaleno Tres lados desiguales

Triángulos. Puntos notables. Circuncentro. El Circuncentro es el lugar geométrico equidistante a los vértices

Triángulos. Puntos notables. Circuncentro. El Circuncentro es el lugar geométrico equidistante a los vértices de un triángulo. Se obtiene con el cruce de las mediatrices. Procedimiento: 1. Dibujamos las mediatrices de los lados y en el cruce está la solución C 2. Trazamos la circunferencia circunscrita. 4. 1. Hallar el circuncentro.

Triángulos. Puntos notables. Incentro. 4. 2. Hallar el incentro. El Incentro es el lugar

Triángulos. Puntos notables. Incentro. 4. 2. Hallar el incentro. El Incentro es el lugar geométrico equidistante de los lados de un triángulo. Se obtiene con las bisectrices de los ángulos. Procedimiento: 1. Dibujamos las bisectrices de los ángulos y en el cruce está la solución I. 2. Trazamos la circunferencia inscrita.

Triángulos. Puntos notables. Ortocentro. 4. 3. Hallar el ortocentro y trazar el triángulo órtico.

Triángulos. Puntos notables. Ortocentro. 4. 3. Hallar el ortocentro y trazar el triángulo órtico. El Ortocentro es el cruce de las alturas del triángulo. El triángulo órtico se obtiene uniendo los puntos de cruce de las alturas con los lados. Las bisectrices del triángulo órtico coinciden con las alturas. Procedimiento: 1. Dibujamos las perpendiculares desde los vértices a sus lados opuestos y el cruce es el ortocentro. 2. Unimos los puntos de las alturas situados en los lados y tenemos el triángulo órtico.

Triángulos. Puntos notables. Baricentro. Las medianas son las líneas que van de la mitad

Triángulos. Puntos notables. Baricentro. Las medianas son las líneas que van de la mitad de un lado al vértice opuesto y dividen el triángulo en superficies iguales. El Baricentro es el cruce de las medianas y es el centro de equilibrio del triángulo. Procedimiento: 1. Hallamos las mitades de los lados M, M’ y M’’. 2. Dibujamos las medianas desde los vértices a las mitades de sus lados opuestos y el cruce es el Baricentro. 4. 4. Hallar el baricentro.

Triángulos. Triángulo escaleno. Procedimiento: 1. Dibujamos uno de los lados como base. Por ejemplo

Triángulos. Triángulo escaleno. Procedimiento: 1. Dibujamos uno de los lados como base. Por ejemplo a. 2. Haciendo centro en los extremos trazamos dos arcos uno con radio b y otro con c , y el cruce tenemos el tercer vértice. 4. 5. 1. Dibujar un triángulo escaleno conociendo sus tres lados: a= 70; b= 60 y c= 45 mm.

Triángulos. Triángulo escaleno. Procedimiento: 1. El ángulo comprendido es el que está entre a

Triángulos. Triángulo escaleno. Procedimiento: 1. El ángulo comprendido es el que está entre a y b. 2. Dibujamos a como base y desde un extremo levantamos el lado del ángulo de 45º. 3. Con centro en el vértice del ángulo trazamos un arco de radio b y ejercicio resuelto. 4. 5. 2. Dibujar un triángulo escaleno conociendo, dos lados y el ángulo comprendido: a=65; b=75 mm. y =45º

Triángulos. Triángulo isósceles. 4. 6. 1. Dibujar un triángulo isósceles conociendo dos lados: a=

Triángulos. Triángulo isósceles. 4. 6. 1. Dibujar un triángulo isósceles conociendo dos lados: a= 35 y b= 50 mm. Procedimiento: 1. El triángulo isósceles tiene un lado que se repite. Yo voy a considerar b como base y a como lado que se repite. 2. Dibujamos la base y haciendo centro en sus extremos trazamos dos arcos de radio a que se cruzan en el vértice que cierra el triángulo.

Triángulos. Triángulo isósceles. Procedimiento: 4. 6. 2. Dibujar un triángulo isósceles conociendo, la altura

Triángulos. Triángulo isósceles. Procedimiento: 4. 6. 2. Dibujar un triángulo isósceles conociendo, la altura y el radio de la circunferencia circunscrita: h= 50 y r= 30 mm. 1. El triángulo isósceles es simétrico y su altura coincide con el diámetro de la circunferencia. 2. Dibujamos la circunferencia y su diámetro vertical. 3. Colocamos con un arco la altura desde el extremo superior del diámetro. 4. Trazamos una perpendicular a la altura que corte la circunferencia y tenemos los dos vértices de la base que faltaban.

Triángulos. Triángulo rectángulo. 4. 7. 1. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa y

Triángulos. Triángulo rectángulo. 4. 7. 1. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa y un cateto: hip= 80 y c=60. Procedimiento: 1. Dibujamos el cateto c como base y desde un extremo levantamos un ángulo de 90º. 2. Desde el otro extremo de c hacemos centro de un arco de radio la hipotenusa que se cortará con la perpendicular anterior y ya tenemos el vértice que faltaba.

Triángulos. Triángulo rectángulo. Procedimiento: 4. 7. 2. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa

Triángulos. Triángulo rectángulo. Procedimiento: 4. 7. 2. Dibujar un triángulo rectángulo conociendo, la hipotenusa y uno de los ángulos: hip= 75 y = 30º. 1. Dibujamos un ángulo de 30º. En un lado ira un cateto como base y en el otro la hipotenusa. 2. En el vértice del ángulo hacemos centro y con un arco colocamos la hipotenusa. 3. En el otro lado del ángulo trazamos una perpendicular que pase por el extremo de la hipotenusa y a rotular.

Triángulos. Triángulo equilátero. 4. 8. 1. Dibujar un triángulo equilátero. Procedimiento: 1. Como en

Triángulos. Triángulo equilátero. 4. 8. 1. Dibujar un triángulo equilátero. Procedimiento: 1. Como en el triángulo equilátero todos lados miden igual, hacemos dos arcos con radio el propio lado y centro en los extremos y en el cruce tendremos el vértice que falta.

CUADRILÁTEROS

CUADRILÁTEROS

Cuadriláteros. Definición y clases. Definición: Es un polígono formado por cuatro lados. • Es

Cuadriláteros. Definición y clases. Definición: Es un polígono formado por cuatro lados. • Es un polígono formado por cuatro lados y cuyos ángulos interiores suman 360º. Clasificación: Paralelogramos. Tienen los lados paralelos dos a dos. • • Rectángulo. Tiene los lados iguales dos a dos y sus ángulos son de 90º. Cuadrado. Tiene todos lados iguales y sus ángulos son de 90º. Rombo. Tiene los lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. Romboide. Tiene los lados y los ángulos iguales dos a dos. Trapecios. Tienen dos lados paralelos. • Trapecio Rectángulo. Tiene dos ángulos de 90º. • Trapecio Isósceles. Tiene dos lados y dos ángulos iguales. • Trapecio Escaleno. Tiene lados y ángulos desiguales. Trapezoide. No tiene ningún lado paralelo

Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado. 5. 1. 1. Dibujar un cuadrado conociendo su diagonal: d= 65

Cuadriláteros. Paralelogramos. Cuadrado. 5. 1. 1. Dibujar un cuadrado conociendo su diagonal: d= 65 mm. . Procedimiento: Como la diagonal del cuadrad es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita. 1. Dibujamos una circunferencia con radio la semidiagonal. 2. Trazamos diámetros perpendiculares. 3. Por último unimos los cuatro extremos de los diámetros.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rectángulo. Procedimiento: 1. Dibujamos el ángulo de 30º y trazamos una perpendicular

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rectángulo. Procedimiento: 1. Dibujamos el ángulo de 30º y trazamos una perpendicular a la base desde su vértice. 2. Colocamos la diagonal y desde su extremo superior trazamos una perpendicular y una paralela al otro lado. 3. En los cruces tenemos los vértices del rectángulo. 5. 2. 1. Dibujar un rectángulo conociendo la diagonal y uno de los ángulos que determina con un lado: d= 80 mm. y =30º.

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo. Procedimiento: 1. Como las diagonal son mediatrices la una de la

Cuadriláteros. Paralelogramos. Rombo. Procedimiento: 1. Como las diagonal son mediatrices la una de la otra, dibujamos una de ellas por ejemplo d’ y hallamos su mediatriz. 2. Ahora con un arco de radio la semidiagonal de d’’ localizamos los dos vértices que faltan para dibujar el rombo. 5. 3. 1. Dibujar un rombo conociendo las dos diagonales: d'= 40 y d"= 55 mm. .

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio. Procedimiento: 1. Dibujamos la base b, tramos una perpendicular desde un

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio. Procedimiento: 1. Dibujamos la base b, tramos una perpendicular desde un extremo y medimos la altura h. 2. A esa altura trazamos una paralela a la base. 3. Por último desde el vértice del ángulo recto dibujamos un arco de radio la diagonal que se cortará con la citada paralela para localizar el vértice que falta. 5. 4. 1. Dibujar un trapecio rectángulo conociendo; la base mayor, una diagonal y la altura: b= 75; d=65 y h=50 mm. .

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio. Procedimiento: 1. Para localizar la altura dibujamos un triángulo formado base,

Cuadriláteros. Paralelogramos. Trapecio. Procedimiento: 1. Para localizar la altura dibujamos un triángulo formado base, lado y diagonal. 2. Ahora dibujamos otro al revés y ya tenemos los cuatro vértices del trapecio isósceles. 5. 5. 1. Dibujar un trapecio isósceles conociendo la base mayor, el lado y la diagonal: b= 70; l= 45 y d= 65 mm. .

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS Y ESTRELLADOS

POLÍGONOS REGULARES CONVEXOS Y ESTRELLADOS

Polígonos convexos. Triágono. 6. 1. 1. Inscribir un triágono en la circunferencia. Procedimiento: 1.

Polígonos convexos. Triágono. 6. 1. 1. Inscribir un triágono en la circunferencia. Procedimiento: 1. Se traza un diámetro y con centro en un extremo y con el mismo radio trazamos un arco que corta en los vértices 2 y 3. 2. El tercer vértice es el otro extremo del diámetro 1.

Polígonos convexos. Tetrágono. 6. 1. 2. Inscribir un tetrágono en la circunferencia. Procedimiento: 1.

Polígonos convexos. Tetrágono. 6. 1. 2. Inscribir un tetrágono en la circunferencia. Procedimiento: 1. Se trazan dos diámetros perpendiculares y ya está dividida la circunferencia en cuatro partes iguales.

Polígonos convexos. Pentágono. 6. 1. 3. Inscribir un tetrágono en la circunferencia. Procedimiento: 1.

Polígonos convexos. Pentágono. 6. 1. 3. Inscribir un tetrágono en la circunferencia. Procedimiento: 1. Dibujamos diámetros perpendiculares. 2. Se halla el punto medio del radio M. 3. Con radio M, 1 trazamos el arco 1, N cuya cuerda es lo que mide cada lado. 4. Tomamos la medida del lado con el compás y vamos obteniendo las cinco divisiones consecutivamente en la circunferencia.

Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado. Procedimiento: 6. 1. 4. Trazar un pentágono regular estrellado inscrito

Polígonos cóncavos. Pentágono estrellado. Procedimiento: 6. 1. 4. Trazar un pentágono regular estrellado inscrito en la circunferencia. 1. Los polígonos estrellados son polígonos cóncavos en los que su trazado tiene que terminar donde comienza. Cuando la figura está formada por dos o mas polígonos decimos que es una falsa estrella. A la manera de unir las divisiones de la circunferencia de dos en dos, de tres en tres, etc, se denomina número de orden. 2. Para hacer la estrella dividimos la circunferencia en cinco partes y las unimos de dos en dos y tenemos un pentágono estrellado de segundo orden.

Polígonos convexo. Hexágono. 6. 1. 5. Inscribir un hexágono regular en la circunferencia. Procedimiento:

Polígonos convexo. Hexágono. 6. 1. 5. Inscribir un hexágono regular en la circunferencia. Procedimiento: 1. El lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia. 2. Con el radio hallamos las seis divisiones y las unimos consecutivamente.

Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal. 6. 1. 6. Trazar una estrella regular de seis puntas

Polígonos cóncavos. Estrella hexagonal. 6. 1. 6. Trazar una estrella regular de seis puntas inscrita en la circunferencia. Procedimiento: 1. Dividimos en seis partes la circunferencia. 2. Dibujamos lados de dos en dos, es decir, de segundo orden. 3. Como hemos necesitado dos triágonos para hacerla, decimos que es una falsa estrella.

Polígonos convexos. Heptágono. 6. 1. 7. Inscribir un heptágono regular en la circunferencia. Procedimiento:

Polígonos convexos. Heptágono. 6. 1. 7. Inscribir un heptágono regular en la circunferencia. Procedimiento: 1. El lado del heptágono es igual a la distancia desde la mitad del radio M hasta la circunferencia. 2. Hacemos las divisiones y las unimos consecutivamente.

Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado. 6. 1. 8. Inscribir en la circunferencia, un heptágono regular

Polígonos cóncavos. Heptágono estrellado. 6. 1. 8. Inscribir en la circunferencia, un heptágono regular estrellado de tercer orden. Procedimiento: 1. Dividimos en siete partes la circunferencia igual que en el polígono convexo. 2. Como es de tercer orden unimos las divisiones de tres en tres.

Polígonos convexo. Octógono. 6. 1. 9. Dibujar un octágono regular inscrito en la circunferencia.

Polígonos convexo. Octógono. 6. 1. 9. Dibujar un octágono regular inscrito en la circunferencia. Procedimiento: 1. Para dividir en ocho partes la circunferencia trazamos diámetros perpendiculares y sus bisectrices. 2. Numeramos los vértices y dibujamos lados.

Polígonos cóncavo. Octógono estrellado. 6. 1. 10. Trazar un octágono regular estrellado de tercer

Polígonos cóncavo. Octógono estrellado. 6. 1. 10. Trazar un octágono regular estrellado de tercer orden, inscrito en la circunferencia. Procedimiento: 1. Dividimos en ocho partes la circunferencia y unimos los vértices de tres en tres.

Polígonos convexo. Decágono. 6. 1. 13. Inscribir un decágono regular en la circunferencia. Procedimiento:

Polígonos convexo. Decágono. 6. 1. 13. Inscribir un decágono regular en la circunferencia. Procedimiento: 1. Con radio M, 1 trazamos el arco 1, N. 2. La distancia desde el centro a N es la medida del lado. 3. Ahora transportamos consecutivamente el lado por la circunferencia.

Polígonos cóncavo. Decágono estrellado. 6. 1. 14. Dibujar un decágono regular estrellado, de tercer

Polígonos cóncavo. Decágono estrellado. 6. 1. 14. Dibujar un decágono regular estrellado, de tercer orden, inscrito en la circunferencia. Procedimiento: 1. Dividimos en diez partes la circunferencia y unimos de tres en tres.

SIMETRÍA

SIMETRÍA

Simetría axial. 7. 2. 1. Dibujar la figura simétrica a la dada. La simetría

Simetría axial. 7. 2. 1. Dibujar la figura simétrica a la dada. La simetría es la igualdad inversa. En la simetría axial los puntos están relacionados entre si perpendicularmente con un eje.

Simetría axial. 7. 2. 1. Dibujar la figura simétrica a la dada. Procedimiento: 1.

Simetría axial. 7. 2. 1. Dibujar la figura simétrica a la dada. Procedimiento: 1. Desde los vértices de la figura trazamos perpendiculares al eje, 2. Repetimos a la inversa las distancias de los puntos al eje y hallamos los puntos simétricos A’, B’… que después unimos.

Simetría central. 7. 2. 2. Trazar la figura simétrica a la dada. La simetría

Simetría central. 7. 2. 2. Trazar la figura simétrica a la dada. La simetría central es la igualdad inversa donde los puntos simétricos están relacionados entre si con un punto, centro de simetría.

Simetría central. 7. 2. 2. Trazar la figura simétrica a la dada. Procedimiento: 1.

Simetría central. 7. 2. 2. Trazar la figura simétrica a la dada. Procedimiento: 1. Desde los vértices de la figura trazamos rectas que pasen por el centro de simetría. 2. Repetimos a la inversa las medidas de los puntos al centro y hallamos los puntos simétricos A’, B’… que después unimos.

CURVAS PLANAS Espiral, Óvalo y Ovoide y Curvas Cónicas

CURVAS PLANAS Espiral, Óvalo y Ovoide y Curvas Cónicas

Curvas planas. Espiral. La espirales son curvas planas que se van abriendo continuamente. Las

Curvas planas. Espiral. La espirales son curvas planas que se van abriendo continuamente. Las que vamos a dibujar nosotros realmente son falsas espirales, por que su crecimiento es por facetas, son arcos hechos con dos o más centros 12. 7. Trazar un espiral de dos centros. La distancia entre centros es de 5 mm. Procedimiento: 1. Dibujamos una línea recta y situamos los dos centros. El espacio queda dividido en dos, en uno haremos los arcos con un centro y biceversa con el otro. 2. El primer radio que usaremos es de 5 mm. y el centro será O 2, después iremos al otro centro y dibujaremos el siguiente arco con radio hasta el final del anterior, y así iremos alternando uno y otro sucesivamente.

Curvas planas. Espiral. 12. 8. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5 mm.

Curvas planas. Espiral. 12. 8. Trazar una espiral cuyos 6 centros equidistan 5 mm. Procedimiento: 1. Dibujamos un hexágono de 5 mm. de lado y en cada vértice situamos un centro. 2. Prolongando los lados trazamos seis ángulos que delimitan los espacios para cada arco y centro. 3. Con centro en 2 y radio hasta 1 trazamos el primer arco y luego sucesivamente vamos cambiando de centro y aumentando el radio hasta el final del arco anterior.

Curvas planas. Óvalo. El Óvalo es una curva plana cerrada 12. 1. Dibujar un

Curvas planas. Óvalo. El Óvalo es una curva plana cerrada 12. 1. Dibujar un óvalo conociendo el eje menor. formada por cuatro o más arcos y es simétrica respecto de sus dos ejes. Procedimiento: 1. Dibujamos la mediatriz del eje menor. 2. En los extremos del eje menor tenemos de los cuatro centros que vamos a usar. 3. Trazamos una circunferencia con diámetro el eje menor y su cruce con la mediatriz determina los dos centros que faltaban. 4. Unimos los centros y ponemos límites de los cuatro arcos. 5. Por último, con centro en O 1 radio A, B dibujamos el primer arco, con O 2 hacemos lo mismo y con O 3 y O 4 cerramos la curva.

Curvas planas. Óvalo. 12. 2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor. Procedimiento: 1.

Curvas planas. Óvalo. 12. 2. Trazar un óvalo conociendo el eje mayor. Procedimiento: 1. Dividimos en tres partes el eje mayor y tenemos dos centros, O 3 y O 4. 2. Trazamos dos circunferencias de radio un tercio del eje mayor y sus cortes nos dan los dos centros que faltaban O 1 y O 2. 3. Con rectas que pasan por los centros dibujamos límites de los cuatro arcos 4. Los arcos de O 3 y O 4 ya los tenemos, solo nos falta cerrar los otros dos.

Curvas planas. Ovoide. 12. 4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico. El Ovoide

Curvas planas. Ovoide. 12. 4. Trazar un ovoide conociendo el eje asimétrico. El Ovoide es una curva plana cerrada. Es simétrica respecto de su eje mayor y está dividida en en semicírculo y semióvalo por su eje menor o asimétrico. Procedimiento: 1. Dibujamos la mediatriz de C, D y tenemos el lugar geométrico del eje simétrico. 2. En los extremos del eje tenemos dos centros, O 3 y O 2 y en la mitad del eje otro O 1. 3. Trazamos la circunferencia de diámetro C, D y tenemos por un parte la semicircunferencia y por otra el centro O 4 en su cruce con la mediatriz. 4. Con los centros dibujamos las líneas límites de los arcos y luego los trazamos.

Curvas planas. Ovoide. 12. 5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico. Procedimiento: 1.

Curvas planas. Ovoide. 12. 5. Dibujar un ovoide conociendo el eje simétrico. Procedimiento: 1. Dividimos el eje en 6 partes, en la quinta hay un centro, O 4 y en la segunda trazamos el lugar geométrico del eje asimétrico y también tenemos el centro O 1 de la semicircunferencia. 2. Con dos unidades como radio localizamos en el exterior del eje asimétrico los centros O 2 y O 3. 3. Ahora dibujamos límites de los arcos uniendo los centros y los trazamos.

Fin I. E. S. La Asunción. © Mario Ortega González

Fin I. E. S. La Asunción. © Mario Ortega González