Ejemplo de AFN Ej Disea un AFN que
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Ejemplo de AFN Ej. Diseña un AFN que acepte todas las cadenas que contengan dos ceros consecutivos o dos unos consecutivos. Solución AFN q 0 q 1 q 2 1 0 Ejemplo: q 3 q 0 0 q 0 1 0 q 4 1 q 3 0 q 0 0 q 1 0 q 0 0 q 3 1 q 0 1 q 3 q 1 0 q 4 1 q 4
Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s • • • AFD ⊆ AFN Dado que todo AFD es un AFN, es claro que la clase de lenguajes aceptado por los AFN´s incluye los aceptados por los AFD. AFN ⊆ AFN Teorema. Sea L un lenguaje aceptado por un AFN. Entonces existe un AFD que acepta L. Demostración Sea M= (K, Σ, δ, q 0, F) un AFN que acepta el lenguaje L. Definamos un DFA. M´= (K’, Σ’, δ’, q 0’, F’) de tal manera que: 1) Los estados de M´son todos subconjuntos del conjunto de estados de M. Esto es: K´ = 2 k = P(K) Los nombres de dichos conjuntos se generarán de la siguiente manera: [q 1, …, qi] es un solo estado del AFD correspondiendo a un conjunto de estados en 1 AFN.
Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s 2) F´es el conjunto de todos los estados en K´ que contenga estado que pertenezca a F. 3) q’ 0 = [q 0] 4)Definimos δ’ como: δ’([q 1, q 2, …. , qi] , a) = [P 1, P 2, …, Pi] Si y sólo si δ({q 1, q 2, …. , qi} , a) = {P 1, P 2, …, Pi}
Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s Demostremos ahora por inducción sobre la longuitud de la cadena de entrada, que: δ’(q´ 0 , x) = [q 1, q 2, …. , qi] Si y solo si δ(q 0 , x) = {q 1, q 2, …. , qi} Demostración: 1) Para |x| = 0 , x = ε δ’(q´ 0 , ε) = [q 0] δ(q 0 , ε) = {q 0} 2) H. I. , |x| = m δ’(q´ 0 , x) = [r 1, r 2, …. , rn] δ(q 0 , x) = {r 1, r 2, …. , rn} 3) Demostrar para |w| = |xa| = m+1 δ’(q´ 0 , xa) = δ’(q´ 0 , x) a)
Equivalencia de los AFD’s y los AFN’s Por definición de δ’ tenemos: δ’ ([r 1, r 2, …. , ri] , a) = [P 1, P 2, …, Pi] δ ({r 1, r 2, …. , ri} , a) = {P 1, P 2, …, Pi} Así tenemos que: δ’(q´ 0 , x) a) = δ ({r 1, r 2, …. , ri} , a) = {P 1, P 2, …, Pi} LQQD ∴ AFN = AFD Problema. Sea M = ({q 0, q 1}, {0, 1}, d, q 0, {q, }) un AFN , donde: d 0 1 q 0 {q 0, q 1} {q, } q 1 f {q 0, q 1} 1 q 0 Construya un AFD que acepte L(M) 0 0 1 q 1 1
Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Ejemplo: 1 Start 0 q 0 ε q 1 ε q 2 v 2 Definición: Un autómata finito no- determinístico con movimientos – e consiste en un quíntuplo (K, S, d, q 0, F) en donde K , S, q 0 y F se definen de la misma manera que el autómata finito no – determinístico, y con: δ : K x ( Σ ∪ {ε}) → 2 K La intención es que d(q, a) consista de todos los estados Pj, tales que existe una transición etiquetada a, desde q hasta Pj. En donde a es el símbolo e o cualquier símbolo en S.
Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Función de transición del ejemplo anterior: 0 1 2 e q 0 {q 0} f f {q 1} q 1 f {q 1} f {q 2} q 2 f f {q 2} f Def. denominamos CERRADURA – e(q) a todos aquellos vértices (estados) rj, tales que existe una ruta de p a q, consistente en transiciones e. ej. CERRADURA – e(q 0) = {q 0, q 1, q 2}
Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Def. llamamos CERRADURA - ε (q) al conjunto de todos los nodos p tales que existe una ruta de q a p etiquetada ε. Es fácil extender esta definición a la CERRADURA - ε(p) en donde P es un conjunto de estados: Sea Uqεp CERRADURA – ε (q), definimos δ’ como: 1) δ’ (q, ε ) = CERRADURA - ε (q) 2) Para w ε Σ* y a ε S , δ’(q, wa) = CERRADURA – ε (P) en donde P = {p | para algún r ε δ’(q, w) y p ε d(r, a)}
Autómata Finito No-Deterministico con Movimiento - ε Es conveniente extender d y d’ a conjuntos de estados de la manera siguiente: 1) δ (R, a ) = UqεR δ (q, a ) 2) δ’ (R, w ) = UqεR δ’ (q, w ) Para conjuntos en estados R. Definamos L(M) el lenguaje aceptado por un M= (Q, S, d, q 0, F) (un AFN con MOVs - ), ser: L(M) = {w| δ’ (q 0 , w) ∩ F ≠ f }
Equivalencias de entre un AFN y un AFN con movimientos - ε Teorema. Si L es aceptado por un AFN con MOVs – ε Demo. Sea M = (Q, S, d, q 0, F) un AFN con MOVs - ε. Construya un M´= (Q, S, d, q 0, F´) donde: F´= F ∪ {q 0} si la CERRADURA - ε (q 0) contiene algún estado de F. F caso extraño y δ’ (q 0, x) = Ŝ (q, a) para q ε Q y a ε Σ Resta demostrar por inducción sobre |x| que δ’(q 0, x) = Ŝ (q 0, x) Base : |x| = 1 x= a , a ε Σ. δ’(q 0, a) = Ŝ (q 0, a) por def. de δ´
Equivalencias de entre un AFN y un AFN con movimientos-ε Inducción: |x| > 1 , Sea x = wa , a ε Σ entonces: δ’(q 0, wa) = δ’(δ’(q 0, w) a) Por Hipótesis de Inducción δ’(q 0, w) = Ŝ(q 0, w) Sea Ŝ (q 0, w) = r , por demostrar d´(r , a) = Ŝ (q 0, wa). d´(r, a) = UqεR d´(q, a) = UqεR Ŝ (q, a) Entonces por la regla 2 de la definición de Ŝ δ’(q 0, wa) = Ŝ (q 0, wa)
Ejemplos 1. q 0 q 1 q 2 q 3
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