Einstieg Trigonometrie Einstieg 12 m 100 m Erklrung

Einstieg - Trigonometrie

Einstieg 12 m 100 m

Erklärung 1 Für konstanten Anstieg (hier 12 %) ändert sich das Verhältnis von Höhe zu waagrechter Entfernung nicht! D. h. dem Winkel entspricht ein bestimmtes Verhältnis von Höhe zu waagrechter Entfernung – hier 48 / 400 = 12 / 100 = 0, 12 48 m 12 m 100 m 400 m

Erklärung 1 Für konstanten Anstieg ändert sich das Verhältnis von Höhe zu schräger Entfernung nicht! D. h. dem Winkel entspricht ein bestimmtes Verhältnis von Höhe zu schräger Entfernung – hier 60 / 800 = 15 / 200 = 0, 075 800 m 60 m m 200 15 m

Erklärung 2 Voraussetzung: Rechtwinkliges Dreieck Kennt man die schräge Länge und den Höhenunterschied, kann man die waagrechte Entfernung x berechnen. Man erhält: Bezeichnungen: Es gilt: 800 m … Hypotenuse 60 m … Gegenkathete (gegenüber α) 797, 75 m … Ankathete (anliegend an α) 800 m 60 m

Erklärung 2 D. h. für den Winkel beträgt das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: 15 / 200 = 60 / 800 = 0, 075 Ankathete zu Hypotenuse: 199, 43 / 200 = 797, 75 / 800 = 0, 9972 Gegenkathete zu Ankathete: 15 / 199, 43 = 60 / 797, 75 = 0, 0752 … und ist konstant. 800 m 60 m m 200 15 m 199, 43 m 797, 75 m

Erklärung 3 - Definition Für den Winkel bezeichnet man das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse: 15 / 200 = 60 / 800 = 0, 075 = sin(α) Ankathete zu Hypotenuse: 199, 43 / 200 = 797, 75 / 800 = 0, 9972 = cos(α) Gegenkathete zu Ankathete: 15 / 199, 43 = 60 / 797, 75 = 0, 0752 = tan(α) Diese Verhältnisse sind für gleiche Winkelgrössen konstant. 800 m 60 m m 200 15 m 199, 43 m 797, 75 m

Erklärung 3 - Definition l sin(α) … SINUS des Winkels α l cos(α) … COSINUS des Winkels α l tan(α) … TANGENS des Winkels α

WH: rechtwinkliges Dreieck

? ? ? … jetzt wird’s praktisch … Aufgabe: Auf einer Landkarte erkennst du, dass eine Straße eine Steigung von 18% besitzt. Mit deinem Lineal misst du die Strecke zwischen Start- und Zielpunkt. Durch maßstabsgetreues Umrechnen kommst du auf eine Weglänge von 6 km. Zeichne die ansteigende Straße maßstabsgetreu (1 cm = 1 km), berechne den Höhenunterschied und miss den Steigungswinkel! Wie groß ist die waagrechte Entfernung zwischen Start- und Zielpunkt?

Lösung Für den Winkel α misst man ca. 10, 2°. WICHTIG! Durch Messen lässt sich der Winkel α nicht exakt bestimmen. m 0 600 18 m 100 m

Lösung Es gilt aber: tan (10, 2°) = 0, 1799 ≈ 18 / 100 Der exakte Winkel, der dem vorgegebenen Seitenverhältnis entspricht, ist: α = 10. 20397372°. Tipp: Den exakten Winkelwert α = 10. 20397372° für den tan – Wert 0, 18 erhält man am TR mit m 0 600

Lösung Um den Höhenunterschied (h) bzw. die waagrechte Entfernung (s) zu bestimmen, können wir überlegen: sin (10, 2°) = h / 6000 und: cos(10, 2°) = s / 6000 Durch einfaches Umformen erhalten wir: h = 6000 sin(10, 2°) = 1062, 51 m s = 6000 cos(10, 2°) = 5905, 17 m 0 m 0 0 6

? ? ? … jetzt wird’s wieder praktisch … Aufgabe: Eine Bergstraße verläuft von Adorf (Seehöhe 860 m) auf den Höllenkogel (Seehöhe 1450 m). Die Länge der Straße beträgt 8, 5 km. Unter welchem Winkel steigt die Straße im Mittel an? Aufgabe: Eine Rampe für Rollstuhlfahrer soll einen Höhenunterschied von 80 cm überwinden. Der Steigungswinkel von 4° muss dabei eingehalten werden. Wie lange ist die Rampe?

Lösung: l Man berechnet den Höhenunterschied h=590 m. Die schräge Entfernung beträgt 8500 m. Es gilt: l sin(α)= 590 / 8500. Daraus ermittelt man l α=3, 97°

Lösung: l Die schräge Länge s der Rampe berechnet man mit: l sin(4°) = 0, 8 / s und daraus: l s= 0, 8 / sin(4°) = 11, 47 m

? ? ? … jetzt wird’s noch praktischer … Aufgabe: An einer Passstraße steht ein Schild an dem du die Höhe von 1300 m gegenüber NN (Normal Null) ablesen kannst. Auf dem Tacho hast du abgelesen, dass du 1500 m weit gefahren bist. Du willst wissen unter welchem Winkel du bergauf gefahren bist! Selbst bist du bei einer Höhe von 1000 m gegenüber NN gestartet.

Lösung Am Taschenrechner: 0, 2 INV sin bzw: m 0 150 300 m

? ? ? … und noch praktischer … Aufgabe: Südlich von Freiburg befindet sich die Schauinslandbahn (erste Umlaufseilbahn der Welt), die Personen von der Höhe 550 m auf den Schauinsland (Höhe 1300 m) bringt. Aufgaben: Nach 2100 m Fahrt bleibt die Gondel der Seilbahn wegen eines Defekts stehen. a) Bei wieviel Meter über Normal-Null blieb die Gondel stehen? b) Welchen Höhenunterschied müssen die Passagiere nun zu Fuß bis zur Bergstation zurücklegen? c) Wie groß ist der Winkel α, unter dem die Seilbahn ansteigt?

…zum Abschluss … Auenheim und Froschhausen liegen in derselben Höhe auf verschiedenen Seiten des Drachenkopfs. Ein Sessellift, der von Auenheim zum Gipfel des Drachenkopfs führt, ist 1800 m lang und hat einen Neigungswinkel von α=21°. Bürgermeister Klump aus Froschhausen ließ bisher lediglich den Neigungswinkel zum Gipfel des Drachenkopfes mit β=16° messen. Für weitere Berechnungen fehlte im ein kundiger Mathematiker im Gemeinderat. Kannst Du ihm bei der Beantwortung folgender Fragen helfen? a)Welche Länge würde eine Seilbahn von Froschhausen zum Gipfel aufweisen? [2340, 26 m] b) Wie hoch liegt der Drachenkopf über den Orten? [645, 06 m] c) Wie teuer würde eine Tunnelverbindung von Auenheim nach Froschhausen kommen, wenn für 100 m Tunnel ca. 1, 5 Mio€ berechnet werden? [Entfernung 3930 m, ca. 58, 95 Mio€]

Lösung a) u=1800 m. α=21° (bei Auenheim). Daher gilt für h: sin(21°) = h / u, daraus h=645, 06 m. Für v gilt mit β=16°: sin(16°) = h / v, daraus: v= 2340, 26 m. b)siehe a) c) w kann man mit Hilfe des Pyth. Lehrsatzes aus h und u bzw. h und v berechnen, ebenso gilt: cos(21°)= w_1 / u und cos(16°)= w_2 / v, daher: w= u∙cos(21°) + v∙cos(16°)= 3930, 04 m, Tunnelkosten ca. 58, 95 Mio €