Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin

Einleitung Die naheliegendsten Anwendungen der Differentialrechnung bestehen darin, Eigenschaften einer gegebenen reellen Funktion herauszufinden, die mit ihrer Ableitung, d. h. ihrer Änderungsrate zu tun haben. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 1

Übersicht · Wie lautet ihr Definitionsbereich? · Existenz und Lage von Nullstellen · In welchen Intervallen steigt oder fällt sie? · Besitzt sie lokale Extrema oder Sattelstellen und wenn ja, wo? · Besitzt sie Wendestellen und wenn ja, wo? · Wie verläuft die Wendetangente der Funktion? · Ist die Funktion differenzierbar und/oder stetig? • Wie lautet das Krümmungsverhalten? Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 2

Typ der Funktion Handelt es sich um einen bekannten Funktionstyp? • Parabel, • Hyperbel, • . . . Wenn ja, können vielleicht Rückschlüsse auf • Definitionslücken, • Nullstellen, • Pole • und Asymptoten gezogen werden. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 3

Definitionsbereich Als erstes ist der Definitionsbereich einer Funktion anzugeben: einer Funktion f : Menge aller x-Werte, für die Funktion f(x) mathematisch erklärt ist. z. B. Definitionslücken treten z. B an Stellen auf, an denen durch 0 geteilt würde oder die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen würde. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 4

Wertebereich - Grenzwerte Wo gegen strebt der Graph? Welche Funktionswerte hat die Funktion? Grenzwertbetrachtung z. B. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 5

Nullstellen Die Nullstellen einer Funktion f sind ganz allgemein durch die Lösungen der Gleichung f(x) = 0 gegeben. Sie entsprechen jenen Punkten, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Altbewährte Methoden: • pq-Formel • quadratische Ergänzung • Polynomdivision • Substitution Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 6

Differenzierbarkeit Falls die Ableitung existiert, heißt die Funktion f an der Stelle x 0 differenzierbar, wenn Sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar ist. Dann heißt die Ableitungsfunktion Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 7

Lokale Extrema Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 8

Lokale Extrema Ist f differenzierbar, so ist an all diesen Stellen (sofern sie nicht am Rand des Definitionsbereichs liegen) die Tangente an den Graphen parallel zur x-Achse, d. h. hat den Anstieg 0. Der Graph hat dort ein Extremum. Da die Ableitung den Anstieg der Tangente an den Graphen ausdrückt, sind die Kandidaten für lokale Extrema die Lösungen der Gleichung f ‘(x) = 0. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 9

Lokale Extrema f ‘(x) = 0 dann Nullstellen in f ‘‘(x) einsetzen, wenn f ‘‘(x) < 0 dann lokales Maximum f ‘‘(x) > 0 dann lokales Minimum (f ‘‘(x) =0 dann Sattelpunkt - vgl. Folie 11 Sattelpunkte) Grenzwerte mit in Betracht ziehen, um zu sehen, ob lokale Extrema auch globale Extrema sind. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 10

Sattelpunkte Ist x eine Lösung der Gleichung f ‘(x) = 0 und ist die Ableitung links und rechts von x ungleich 0 und hat in beiden Bereichen dasselbe Vorzeichen, so ist x eine Sattelstelle. Der entsprechenden Punkt am Graphen heißt Sattelpunkt. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 11

Wendepunkte Eine Tangente kann sich an den Graphen an bestimmten Punkten von der einen Seite zur anderen ''wenden''. Die Punkte, an denen das passiert, heißen Wendepunkte, die entsprechenden Stellen sind die Wendestellen. Die Nullstellen der zweiten Ableitung stellen die Wendepunkte dar. f ‘‘(x) = 0 Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 12

Kurvenverhalten Wechselt f ‘‘(x) an der Stelle x=a das Vorzeichen von: 1) +nach - , dann wechselt der Graph von einer Linksin eine Rechtskurve. 2) - nach + , dann wechselt der Graph von einer Rechts - in eine Linkskurve. D. h. man setzt Werte in f ‘‘(x) ein, die zum einen größer und zum anderen kleiner sind als die Nullstelle der zweiten Ableitung. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 13

Wendetangentensteigung Um die Steigung der Wendetangente zu bestimmen, nutzt man natürlich wiederum die erste Ableitung. Dazu werden die Nullstellen von f ‘‘(x) in f ‘(x) eingesetzt. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 14

Monotonie Falls die Ableitung einer Funktion f in jedem Punkt eines Intervalls existiert und positiv (negativ) ist, so ist f in diesem Intervall streng monoton wachsend (fallend). Intuitiv leuchtet das ein, da die Tangente an den Graphen in jedem Punkt ansteigt (abfällt). f ‘(x) = 0 setzen Werte die links bzw. rechts der Nullstelle liegen in f ‘(x) einsetzen: Wenn <0 => f(x) streng monoton fallend Wenn >0 => f(x) streng monoton steigend Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 15

Krümmungsverhalten Konvex = linksgekrümmt ( ) Konkav = rechtsgekrümmt ( ) Krümmung von f f‘‘(x) > 0 => f streng konvex im Intervall f‘‘(x) < 0 => f streng konkav im Intervall Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 16

Symmetrie achsensymmetrisch f(x) = f(-x) punksymmetrisch f(-x) = - f(x) Beispiel f(x) = x 2 f(x) = f(-x) => x 2 = (-x)2 Dies können wir bestätigen. f(x) = x 3 f(-x) = - f(x) =>(-x)3 = - (x)3 Dies können wir auch bestätigen. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 17

Wichtige Funktionen !!! Kostenfunktion K(x) x = (Produktions-) menge Durchschnittskostenfunktion (Stückkosten) x = (Produktions-) menge Nachfragefunktion N(p) p = Preis je Mengeneinheit Angebotsfunktion A(p) p = Preis je Mengeneinheit Erlösfunktion E(p) = p * N(p) p = Preis je ME E(x) = x * p(x) p = Preis x = Menge Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x) Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 18

Wichtige Funktionen !!! Grenzkosten: K‘(x) Grenznachfragefunktion: N‘(p) Grenzerlösfunktion: E‘(p) = N(p)+p*N‘(p) Grenzdurchschnittskostenfunktion: Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 19

Beispiel Gegeben Kostenfunktion K(x) = (x-2)3+10 Grenzkostenfkt. und Durchschnittskostenfkt. gesucht K(x) = (x-2)3+10 = x 3 – 6 x 2 +12 x - 8 + 10 = x 3 – 6 x 2 +12 x + 2 Grenzkostenfunktion = K‘(x) = 3 x 2 – 12 x + 12 Durchschnittskostenfunktion = Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 20

Differential Ziel: näherungsweises Berechnen der Änderung eines Funktionswertes f(x 0) bei Variation von x 0. Anwendung: Die Preiselastizität der Nachfrage gibt näherungsweise an, um wieviel % sich die Nachfrage ändert bei der Variation des aktuellen Preises p 0 um 1%. Idee: Der Graph einer Funktion f lässt sich in einer (kleinen) Umgebung eines Punktes (x 0, f(x 0)) relativ gut durch die Tangente an die Kurve annähern. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 21

Differential: Variiert man x 0 um dx Einheiten, so ändert sich f(x 0) um Einheiten. Die Tangente an den Funktionsgraphen durch den Punkt (x 0, f(x 0)) besitzt die Steigung Variiert man x 0 um dx Einheiten, so ändert sich der Funktionswert auf der Tangente um df = f‘(x 0)*dx Einheiten. Für kleine Variationen dx stimmen gut überein. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 22

Differential df und dx bezeichnet man als Differentiale auch als Differentialquotient Variiert man x 0=3 um dx=0, 2 Einheiten, so ändert sich f(3) um 1, 24 Einheiten Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 23

Beispiel Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 24

Differential Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 25

Wachstumsrate Variiert man x 0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x 0): Dies entspricht für kleine dx näherungsweise der relativen Änderung auf der Tangenten Die Funktion bezeichnet man als Wachstumsrate von f. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 26

Wachstumsrate Variiert man x 0 um dx Einheiten, so beträgt die relative Änderung von f(x 0): Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 27

Elastizität Variiert man x 0 um s %, so ändert sich f(x 0) relativ um: Die Variation von x 0 um s %entspricht einer Änderung von x 0 um dx= x 0 *s % Einheiten. Für kleine Variationen von s% ergibt sich die Annäherung bezeichnet man als Elastizität Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 28

Elastizität S =1: Die Elastizität an einer Stelle x 0 gibt näherungsweise an, um wieviel % sich f(x 0) ändert, wenn x 0 um 1% variiert. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 29

Beispiel Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 30

Integralrechnung Ziel: 1) Umkehren des Differenzierens (unbestimmtes Integral) 2) Flächenberechnung (bestimmtes Integral) das unbestimmte Integral: Wenn F(x) Stammfunktion von f(x) ist, dann ist: f(x)dx = {F(x) + c} ; c R Menge aller Stammfkt. F(x) von f(x). Dabei muss f in einem Intervall [a, b] stetig und F dort differenzierbar sein. Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 31

Die Stammfunktion x 3 ist eine Stammfunktion von 3 x 2, denn die Ableitung von x 3 ist 3 x 2. Aber auch x 3 + 17 oder auch x 3 - 1 sind Stammfunktionen von 3 x 2. Die Menge aller Stammfunktionen von 3 x 2 => 3 x 2 dx = {x 3 + c} Zwei Stammfkt. der gleichen Funktion f unterscheiden sich höchstens um eine additive Konstante (, die beim Ableiten wegfällt). Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 32

Stammfunktionen Beispiele: x 2 dx = 1/3 x 3 + c (5 x 2+1)dx = 5/3 x 3 + x + c dx = 1 dx = x + c exdx = ex + c (30 x 2 + 2 x)dx = 10 x 3 + x 2 + c Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 33

Stammfunktionen Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 34

Integral und Flächeninhalt Der Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Senkrechten x = a, x = b, der x-Achse und des Graphen der Funktion f ist A= Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 35

Das bestimmte Integral mit a, b R wird ein bestimmte Integral genannt. = F(b) - F(a) = (27 + 3) - (1 + 1) = 30 - 2 = 28 Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 36

Beispiele (27 + 3) - (8 + 2) = 30 - 10 = 20 Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 37

Beispiele nicht definiert, denn ist nicht definiert wenn x=0 Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 38

Flächen Beispiel 1 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien x=0, x=1, der x-Achse und dem Graphen von x 3 A= Beispiel 2 Flächeninhalt des Gebietes zwischen den Linien y=0, y=1, der y-Achse und Grafik von x 3 A = 1 – A von Beispiel 1 = 1 - 1/4 = 3/4 Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 39

Flächen Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 40

Flächen Dennis Wörmann - MR_1 D 03 BD - Quartester 3 - Differenzieren 41