Einfhrung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Christian Eurich Institut fr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Christian Eurich Institut für Theoretische Neurophysik

Ziele Wahrscheinlichkeitsrechnung. . . Ø. . . In 8 Schritten Ø. . . Grundbegriffe ins Gedächtnis rufen Ø. . . nicht für Experten! Ø. . . Mischung aus Mathematik und Praxis Ø. . . Anwendungen aus dem Neuro-Bereich

1. Stochastizität: Arbeitsdefinition Ein System verhält sich stochastisch, wenn wir sein Verhalten nicht vorhersagen können. Die Ursache der Stochastizität wird (hier) nicht betrachtet. Beispiele: Ø Radioaktiver Zerfall Ø Münzwurf, Würfeln Ø Schwankungen des Körpergleichgewichts Stabilogramm

Stochastizität: Arbeitsdefinition Ø Neuronale Aktivität Ø Metronom: Beschreibung hängt von der gewünschten Genauigkeit ab

2. Zufallsexperimente und Ereignisse Ein Experiment heißt Zufallsexperiment, wenn die Ergebnisse, die auftreten können, bekannt sind. Es ist jedoch nicht bekannt, welches Ergebnis tatsächlich als nächstes auftritt. Die Menge aller möglichen Ergebnisse ist der Stichprobenraum W. Teilmengen heißen Ereignisse, einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse. W kann diskret (abzählbar) oder kontinuierlich (überabzählbar) sein.

Zufallsexperimente und Ereignisse Beispiel: Ø Würfeln Stichprobenraum W={1, 2, 3, 4, 5, 6} Elementarereignis A={1}, B={2} (eig. : „ 1 Auge“ etc. ) Ereignis: C = „ungerade“ = {1, 3, 5} Wird z. B. eine 1 gewürfelt, so sagt man, die Ereignisse A und C seien eingetreten. {} ist das unmögliche Ereignis. W ist das sichere Ereignis.

Zufallsexperimente und Ereignisse Beispiel: Ø Neuronale Feuerstatistik Spiketrain Stichprobenraum W={„ 0 Spikes“, „ 1 Spike“, . . . , „ 10 Spikes“} Elementarereignis A={„ 3 Spikes“} Ereignis: B = {„< 5 Spikes“} Entspr. maximaler Feuerrate

3. Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit (Kolmogorov 1933) Eine Funktion P, die jedem Ereignis eines Zufallsexperiment eine Zahl zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeit, falls sie folgende Axiome erfüllt: 1. Für jedes Ereignis 0 P(A) 1. gilt 2. Es ist P(W) = 1 (sicheres Ereignis). 3. Für zwei Ereignisse A, B mit A B = {} (unverträgliche Ereignisse) gilt: P(A B) = P(A) + P(B).

Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit 3. Für zwei Ereignisse A, B mit A B = {} (unverträgliche Ereignisse) gilt: P(A B) = P(A) + P(B). Beispiel: Ø Würfeln A = {1}, B = {2} Somit: P(A B) = P({1, 2}) = 1/3 P(A) = 1/6, P(B) = 1/6 Aber: A = {1, 2}, B = {2} P(A) = 1/3, P(B) = 1/6 Daher: P(A B) 3/6, sondern: P(A B) = P({1, 2}) = 1/3

4. Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten Axiome von Kolmogorov legen die Wahrscheinlichkeiten noch nicht fest! Sie müssen definiert oder gemessen werden. Dieses Kapitel ist umfasst Mathematik und Empirie.

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten a) Mathematik; für endliche Stichprobenräume Ordne jedem Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit zu (Laplace-Experiment) und wende Abzähltechniken an (Kombinatorik). Beispiel: Ø Würfeln mit einem fairen Würfel P({1}) = P({2}) =. . . = P({6}) = 1/6. -Wie kommt man zu der Zahl „ 1/6“? P(W) = 1 (Axiom 2) und Axiom 3!

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten a) Mathematik; für endliche Stichprobenräume Ordne jedem Elementarereignis die gleiche Wahrscheinlichkeit zu (Laplace-Experiment) und wende Abzähltechniken an (Kombinatorik). Komplizierteres Beispiel: Ø Lotto (6 aus 49) P(„ 4 Richtige“) = mit

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten b) Empirie; für diskrete Stichprobenräume Führe das Zufallsexperiment N-mal aus. Das Ereignis A trete dabei NA-mal auf. Eine Schätzung für die Wahrscheinlichkeit P(A) ist die relative Häufigkeit P(A) NA / N. Die Division durch N liefert dabei die Normierung: Es muss für Elementarereignisse Bi gelten: Si P(B ) = 1. i Die Schätzung wird für große N genau (Gesetz der großen Zahlen).

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten b) Empirie; für diskrete Stichprobenräume Beispiel: Ø Neuronale Feuerstatistik

5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen Für alle Elementarereignisse x W nennt man die Funktion P(x) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (oder kurz Verteilung). Beispiel: Ø Neuronale Feuerstatistik Verteilung der Anzahl von Spikes als Antwort auf einen bestimmten Reiz Zumeist: Umrechnung auf die Feuerrate r (# Spikes / s)

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Beispiel: Ø Poisson-Verteilung Betrachte ein Intervall (Zeitintervall, Raumbereich usw. ). Wieviele Ereignisse treten in diesem Intervall auf? Es seien im Mittel l Ereignisse. Poisson-Verteilung:

Poisson-Verteilung Ø Poisson-Verteilung Eine Poisson-Verteilung ist dann zu erwarten, wenn die einzelnen Ereignisse unabhängig voneinander auftreten. Gehorchen neuronale Feuerereignisse einer Poisson-Verteilung? Feuerrate (? )

Poisson-Verteilung { Ø Poissonscher Spiketrain Dt Test: Verteilung der Wartezeiten ist exponentiell; hier: Interspike-Intervalle Oft gute Näherung, aber nicht exakt erfüllt: z. B. Refraktärzeit

6. Bedingte Wahrscheinlichkeiten ändern sich, wenn sich der Stichprobenraum W ändert. Dies ist i. a. der Fall, wenn wir mehr Wissen über ein System bekommen. Wir wollen eine bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) A, B W Ereignisse „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist“ einführen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel: Ø Würfeln Schritt 1 A = {1}, P(A) = 1/6 B = {1, 2, 3}, P(B) = ½ P(A|B) = 1/3 Hier: P(A|B) = P(A)/P(B) Das ist aber noch nicht die endgültige Version, das Beispiel war zu simpel. . .

Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel: Ø Würfeln Schritt 2 A = {1, 6}, P(A) = 1/3 B = {1, 2, 3}, P(B) = ½ P(A|B) = 1/3 (!) Wichtig ist nur die „ 1“, also A B mit P(A B)=1/6 Anstatt P(A|B) = P(A)/P(B): P(A|B) = P(A B)/P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit Ø Neuronale Feuerstatistik Präsentiere verschiedene Reize A 1, A 2, A 3, . . . Die neuronale Feuerstatistik ändert sich (i. A. verschiedene mittlere Feuerraten, andere Verteilung) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Antwort auf die Präsentation eines Reizes eine bestimmte Feuerrate r (oder eine bestimmte Anzahl n von Spikes) zu bekommen? Interpretiert als bedingte Wahrscheinlichkeit P(r|A 1), P(r|A 2), P(r|A 3), . . . bzw. P(n|A 1), P(n|A 2), P(n|A 3), . . .

7. Satz von Bayes Was ist der Zusammenhang zwischen P(A|B) und P(B|A)? P(A|B) = P(A B) /P(B) P(B|A) = P(B A) /P(A) Somit P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) oder Der Satz von Bayes hat sehr viele Anwendungen. Hier: statistische Signalverarbeitung

Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Benötigt für den Nenner Zerlege W in disjunkte Teilmengen: W = A 1, A 2, A 3, . . . mit Ai Aj = {} für alle i j. Dann gilt für ein beliebiges Ereignis B: P(B) = P(B|A 1) P(A 1) + P(B|A 2) P(A 2) +. . . Im Satz von Bayes: , wobei A eines der Ereignisse Ai ist.

Anwendung auf neuronale Antworten Ø Neuronale Feuerstatistik Verschiedene mögliche Reize A 1, A 2, A 3, . . . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, als Antwort auf die Präsentation eines Reizes Ai eine bestimmte Feuerrate r (oder eine bestimmte Anzahl n von Spikes) zu bekommen? Interpretiert als bedingte Wahrscheinlichkeit P(r|A 1), P(r|A 2), P(r|A 3), . . . bzw. P(n|A 1), P(n|A 2), P(n|A 3), . . . Jetzt: Wie groß ist – bei gegebener Antwort r bzw. n – die Wahrscheinlichkeit, dass der präsentierte Reiz der Reiz Ai war? Interpretiert als bedingte Wahrscheinlichkeit P(A 1|r), P(A 2|r), P(A 3|r), . . .

Rekonstruktion von Reizen Gegeben: Ø Verschiedene mögliche Reize A 1, A 2, A 3, . . . Ø Feuerstatistiken P(n|A 1), P(n|A 2), P(n|A 3), . . . Ø Ermittle eine neuronale Antwort n Rekonstruktion: Ø Bestimme die Wahrscheinlichkeiten P(A 1|n), P(A 2|n), P(A 3|n), . . . mit dem Satz von Bayes Ø Rekonstruierter Reiz: Wähle den Reiz Ai, für den die Wahrscheinlichkeit P(Ai|n) maximal ist (Maximum-APosteriori-Schätzer).

Unabhängige Ereignisse Mit Hilfe der bedingten Wahrscheinlichkeit lässt sich die Unabhängigkeit von Ereignissen definieren. Zwei Ereignisse A, B heißen unabhängig, wenn gilt: P(A|B) = P(A). Beispiel: Ø Würfeln mit zwei Würfeln P(„ 2 mit Würfel 1“ | „ungerade mit Würfel 2“) = P(„ 2 mit Würfel 1“) = 1/6 Aus P(A|B) = P(A B)/P(B) folgt: P(A B) = P(A) P(B)

8. Multivariate Verteilungen Bislang war die Wahrscheinlichkeit P eine Funktion einer (Zufalls-)Variablen X: P(x). Jetzt: P(x 1, x 2, . . . ): Multivariate Verteilungen. In einem Zufallsexperiment werden die Größen X 1, X 2, . . . gemessen; Messergebnis sei x 1, x 2, . . Dann nennt man die Funktion P(x 1, x 2, . . . ) die Verbundwahrscheinlichkeit von X 1, X 2, . . . (Achtung: „Verteilung“ ist doppelt besetzt. . . )

Multivariate Verteilungen Beispiel: Ø Feuerstatistik zweier Neuronen Ergibt ein bivariate Verteilung P(n 1, n 2) bzw. P(r 1, r 2). Praktisches Problem: Es werden viel mehr Daten benötigt!

Multivariate Verteilungen Ø Feuerstatistik zweier Neuronen Praktisches Problem: Es werden viel mehr Daten benötigt als bei einem Neuron! Lösung: Annahme der statistischen Unabhängigkeit: P(n 1, n 2) = P(n 1) P(n 2). Stimmt die Annahme? Natürlich nicht. . .