Egyenletek megoldsa a matematika trtnetben Az egyenlet fogalma

Egyenletek megoldása a matematika történetében

Az egyenlet fogalma • Függvényszerű megközelítés A közös értelmezési tartomány mely elemei esetén egyeznek meg a függvényértékek x 2 – 2 = x f(x) = x 2 – 2 g(x) = x Grafikus (geometriai) megoldási mód

Az egyenlet értelmezése • Logikai megközelítés Egy halmaz elemei közül melyek tesznek egy állítást igazzá Algebrai megoldási mód (ekvivalencia)

Az ókori Mezopotámia • • • Számjegyek (ékírás) Helyiértékes számírás 60 -as számrendszer Számításokat segítő táblázatok (reciproktáblázatok) Plimpton 322 (Columbia) (Pitagoraszi számhármasok) Nevezetes azonosságok Másodfokú egyenletek Háromismeretlenes egyenletrendszerek Összegzési képletek (sorozatok) Közelítő képletek felszín- és térfogatszámításhoz A 2 közelítése (Yale) ~ 1, 414212963

Az ókori Mezopotámia • A szélesség meg a hosszúság 30. A terület 221. Mekkora a szélesség és a hosszúság?

Az ókori Mezopotámia • A babiloni megoldás

A kora középkori arab matematika • Bait al-Hikma (Bölcsességek Háza, VIII-IX. század) • Görög eredmények összegyűjtése • Muhammad ibn Músza al-Hvárizmi: al-dzsabr = helyreállítás, kiegészítés (mérlegelv) al-mukábala = egyszerűsítés (összevonás)

Al-Hvárizmi egy feladata ~780 - 850 • Egy négyzet és 10 gyök egyenlő 39 dirhammal. Mi a gyök?

Al-Hvárizmi egy feladata • al-Hvárizmi megoldása

Al-Hvárizmi egy feladata • Geometriai indoklás (görög hatás)

Abu Kamil egy feladata ~850 - 930 • Osszuk fel a tízet két részre úgy, hogy a részek hányadosai összege önmagával szorozva öt. Ha a két rész x és 10 – x, akkor a megoldandó egyenlet az alábbi:

Abu Kamil egy feladata • Mai megoldás:

Abu Kamil egy feladata • Megoldás al-Hwarizmi módszerével

Abu Kamil egy feladata • Abu Kamil megoldása új ismeretlen („dolog”) bevezetésével

Abu Kamil egy feladata

Omar Khajjam egyenlete ~1025 - 1122 • • Perzsa költő, csillagász és matematikus Harmadfokú egyenletek geometriai megoldása 14 típus Például az x 3 + ax = b egyenlet gyökeit az x 2 = yc egyenletű parabola és az y 2 = x (h – x) egyenletű kör metszeteként kapta.

Az x 3 + ax = b egyenlet • Megszerkesztjük h = b : a-t • És megszerkesztjük c = a-t is.

Az x 3 + ax = b egyenlet • Ezek után a keresett (x hosszúságú) szakasz a következőképpen szerkeszthető.

Az x 3 + ax = b egyenlet Természetesen azt még indokolni kellene, hogy ez az érték valóban az egyenlet megoldását adja.

Algebra a XIII-XV. századi Európában • A pisai Leonardo (1170 -1250) • Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, … (Hány pár nyúl jön a világra egy év alatt, ha kezdetben egyetlen párunk van, és minden egyes hónapban minden pártól egy újabb pár születik feltéve, hogy a párok a második hónaptól kezdődően produktívak. ) • Művei: Liber abaci (Számolások könyve ), Practica geometriae, Flos, Liber quadratorum

A lóvásárlási probléma • Feladat a Liber abaciból (vásárlási problémák) • Az egyik ember azt mondja a másiknak: ha nekem adod pénzed harmadát, akkor meg tudom venni a lovat. Erre a másik úgy válaszol, hogy ha te pedig a pénzed negyedét adod nekem, akkor én tudom megvenni a lovat. Kinek mennyi pénze van? • Jelölje a pénzek nagyságát x és y, a ló értékét pedig s. • A legkisebb egész megoldás: x = 8, y = 9 és s =11.

És a többiek… (a megoldóképletekig) • A pisai Dardi mester (XIV. század) Egyenletek tipizálása és megoldása • A firenzei Benedek mester (XV. század): Trattato di Practicha D’Arismetica Összesen 36 – legföljebb hatodfokú – egyenlet megoldására ad (részletes indoklás nélkül) módszert • Piero della Francesca (1412 -1492) Kamatos kamatszámítás magasabbfokú hiányos egyenletekkel • Johannes Widmann (1460 -1498) Az egyenletek tudományát a matematika külön ágának tekintette • Luca Pacioli (1445 -1517) Nincs általános megoldóképlet a harmadfokú egyenletekre • Francios Viéte (1540 -1603) Harmadfokú egyenletek megoldása trigonometrikus úton

A megoldóképletek • A másodfokú egyenlet Időszámításunk kezdete körül keletkezett Kínában a Matematika kilenc fejezetben című mű. A 9. fejezetben található másodfokú egyenletek megoldása az ismert módszerint történik. Girolamo Cardano is publikálta 1545 -ben, az Ars Magnában. • A harmadfokú egyenlet Kalandos történet A Cardano-képlet (XVI. század) Casus irreducibilis (nem valós számok összege valóst ad) – Raffael Bombelli • A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari (Cardano tanítványa) dolgozta ki, Cardano publikálta • Az ötödfokú és annál magasabbfokú egyenletek Niels Abel és Évariste Galois elmélete (XIX. század első fele)