Egy mdszer szlsrtk feladatok megoldsra Bencs Ferenc Kunos

Egy módszer szélsőérték feladatok megoldására Bencs Ferenc – Kunos Ádám Huhn András-díjkiosztó 2007. november

1. feladat. Legyen . Mutassuk meg, hogy ekkor Megoldás. Teljes indukció. Legyen n=1 eset nyilvánvaló: Tegyük fel, hogy n-re igaz az állítás, azaz Állítsuk elő Kn+1 -et Kn-et felhasználva Készen vagyunk. Az eredeti feladat n=4 speciális esete, annak amit igazoltunk.

Az igazolandó bal oldala felfogható 4 változós függvényként a, b, c, d változókkal. Ha viszont rögzítünk a négy változó közül hármat, akkor egyváltozós maximum elsőfokú függvényt kapunk. f(a, b, c, d) tehát csak olyan esetben lehet minimális, ha a, b, c, d mindegyike 0 vagy 1. Ilyenkor a feladat állítása triviális.

2. feladat. Legyen között mozoghat . Milyen határok Megoldás. Az előző gondolatmenetünkből adódóan a kifejezés csak akkor lehet minimális, ha d 1, d 2, d 3, d 4, d 5 mindegyike 1 vagy -1. Azt már láttuk, hogy az 5 tag mindegyike nem lehet -1, 4 viszont lehet, tehát az éles alsó becslés (A feladat könnyen általánosítható)

2. 5. feladat. Legyen Milyen határok között mozoghat Megoldás. Egyenlőség teljesülhet, ha pl. , és legyen

3. feladat. Igazoljuk, hogy ha , akkor Megoldás. Rögzítsünk egy változót, és rendezzük. Ez nem lineáris, mert szerepel x a nevezőben. Kérdés: Milyen ez a függvény és arról mit állíthatunk?

Egy görbe konvex/konkáv, ha bármely két pontját összekötő szakasz a görbe felett/alatt helyezkedik el. (f(x)=x konvex, konkáv is egyszerre. ) Tétel: Konvex függvények összege konvex, konkávok összege konkáv. tehát konvex.

Mit állíthatunk konvex/konkáv függvény szélsőérték helyéről zárt intervallumon? Konvex az intervallum valamely végpontjában veszi fel a maximumát. Konkáv az intervallum valamely végpontjában veszi fel a minimumát.

Tehát a feladatban szereplő függvény mint láttuk tetszőleges két változó rögzítése esetén konvex, így tehát maximumát akkor veszi fel, ha a, b, c mindegyike 0 vagy 1. r o k Ha k a 2 , 1+0 db 0 k. ü t +0+ van z az ö 0 ≤ 1 k t ig köz n tük teh a há v , ak át i e t 0 gaz kor b ≤ 1 d. 1 3 + Ha Ha 0+0 + r 0. 5 1 0 o k db k a + , . k z 0. 5 0 ü a t g z i +0 van kö ehát n a t +0 k v 1 0 ≤ öz b /3+0 ≤ d 1 0 teh tük, Ha 1/3+1 + át ak Készen vagyunk. 1/3 ig ko az r.

4. feladat: Igazoljuk, ha , (i=1, 2, …, n), akkor Megoldás. Rögzítsünk egy változón kívül mindet: Konvexek összege konvex. Maximumát az intervallum valamely végpontjában veszi fel. Legyen tehát a db 1 és b db 2. (Ekkor a+b=n)

5. feladat. Legyen p≤xi≤q és 0<p<q, mit mondhatunk maximumáról? Megoldás. Rögzítsünk megint egy kivételével minden változót, így Konvexek összege konvex, tehát maximum akkor, ha a tagok p-t vagy q-t vesznek fel.

Legyen tehát a db p és b db q (a+b=n), ekkor az előzőhöz hasonlóan Nem vagyunk még készen!!! Miért? Egyenlőség csak akkor teljesül, ha Tehát ez a megoldásmenet csak n páros esetben éles, ekkor a felső becslés: Az n=páratlan esetet nem tudtuk megoldani a jól bevált számtani-mértani középpel. Más módszert kell keresnünk.

Új út: b=n-a Pozitív szám és reciprokának összege legalább 2, egyenlőség ha a szám 1. f(a) másodfokú és főegyütthatója negatív, diszkriminánsa pozitív tehát maximumhelye a két gyök számtani közepénél van. (Viète-formulák) Mivel parabola, tudjuk, hogy a maximumot a maxhelyhez lehető legközelebb lévő egész helyen veszi fel. Tehát a maximum hely:

Így maximum értéke Ha n=páros, akkor tehát Ha n=páratlan, akkor tehát

Köszönjük a figyelmet!