Effets rsonnants en physique cintique Effet Landau Grard

Effets résonnants en physique cinétique Effet Landau Gérard Belmont CETP

Ondes dans les plasmas sans collision Dans les plasmas sans collision, certaines ondes (Langmuir, Alfvén, son, etc…) se propagent presque comme si le milieu était collisionnel, à une différence près : Elles sont (plus ou moins) amorties bien que la viscosité soit nulle ainsi que tous les effets dissipatifs "normaux" (i. e. dus aux collisions) ==> deux questions importantes : n n Pourquoi ces ondes se propagent elles ? Pourquoi sont elles amorties ? On dit que l'amortissement est dû aux effets "résonnants" Mais qu'est ce ? ?

Effets résonnants = effets essentiellement cinétiques Si, dans la fonction de distribution globale, certaines particules ne réagissent pas comme l’ensemble des autres ==> problème a priori pas réductible à l’évolution de seulement quelques moments de f(v) ==> effets essentiellement cinétiques C’est le cas de tous les phénomènes "résonnants" où l’effet des champs variables est beaucoup plus fort sur les particules d'une vitesse v = vr n Résonances avec des ondes planes : n n n résonances Landau - k//v// = 0 (champ E//), résonances cyclotron : - k//v// = n c (champ E ), Résonances avec des géométries plus complexes : n résonances de rebond, etc…

Effet Landau = prototype des effets résonnants C'est le plus "simple": Il existe même sans champ magnétique. On le trouve pour des ondes a priori faciles à calculer (Langmuir, son), au moins en fluide. Le calcul cinétique complet date des débuts de la physique des plasmas (Landau, 1949? ) Mais le calcul, même dans ce cas, est mathématiquement assez délicat (Fourier-Laplace, intégration dans le plan complexe, …) et peu favorable à la compréhension intuitive de ce qui se passe ==> Dans les livres et les sites de vulgarisation (ou de niveau élémentaire), il est généralement remplacé par des explications heuristiques, hélas totalement erronées Je vais essayer d'en donner une idée pas trop compliquée, mais pas trop fausse…

L’onde sonore Un exemple élémentaire instructif : l'onde sonore (moins traditionnel que l'onde de Langmuir mais plus adapté à la comparaison avec l'intuition fluide ordinaire) Essayons de comprendre n n n Pourquoi elle se propage avec/ sans collision Pourquoi elle est amortie Comment f(v) se déforme pour assurer propagation et amortissement des perturbations de densité/ vitesse/ pression

Calcul de l’onde sonore fluide Equations du mouvement des ions et des électrons linéarisées : Ions : -mi∂t 2(n ) + i. Ti 2(n 1) = -noq 2 ( Électrons : e. Te 2(n 1) = noq 2 ( Hypothèses : Equations de fermeture polytropes (p = n ) pour les deux espèces + Quasi-neutralité (ni ≈ ne) ==> mi∂t 2(n ) = ( i. Ti + e. Te) 2(n 1)

Calcul de l’onde sonore fluide (2) + Fourierisation ==> Modes "propres" (n 1 et toutes les autres variables sont en ei(kx- t)) 2/k 2 = cs 2 = ( i. Ti + e. Te) / mi ==> deux modes propres (un dans chaque sens) Solution générale à partir d’une condition initiale quelconque = superposition linéaire des deux. Les coefficients de chaque mode dépendent de deux paramètres, par exemple deux conditions initiales. Possibilité de remplacer Fourier par Laplace pour introduire directement les conditions initiales NB. A partir d'une seule condition initiale imposée (par exemple sur n 1 avec condition quelconque sur u 1), fort peu de chances d'obtenir une seule onde

Même calcul en cinétique Au lieu de tirer n 1 de l'équation de moment des ions, moyennant une équation polytrope, il faut calculer f 1 en repartant directement de Vlasov mi (∂t(f 1) + v ∂x(f 1)) = q ∂x( 1) f o'(v) Et en déduire n 1 par intégration sur les vitesses Si on veut appliquer la même méthode que précédemment (Fourier), il faut supposer qu'il existe des solutions pour lesquelles la distribution perturbée f 1(v) varie en ei(kx- t) pour toutes les valeurs de v (pas seulement les moments n 1, v 1, p 1). Alors : mi (v - /k ) f 1 = q 1 f o'(v)

Même calcul en cinétique (2) mi (v - /k ) f 1 = q 1 f o'(v) Comment déduire la perturbation de densité ni 1 à partir de cette équation_? : On est a priori tenté d'en déduire : ∫ mi n 1 = q 1 fo'(v)/(v - /k) dv Mais, pour une onde purement propagative ( réel), l'intégrale est divergente en v = /k Valeur principale ? Signification physique ? Onde amortie ? Pourquoi ? Si oui, suffit il de garder la même intégrale avec complexe ?

Même calcul en cinétique (3) Détermination plus propre de la perturbation f 1 : (Si la dépendance spatiale k est imposée) mi (v f 1 -i∂t(f 1)/k) = q 1 f o'(v) mi (v - /k) f 1 = q 1 f o'(v) Les solutions s'écrivent, au sens des distributions : mi f 1 = q 1 f o'(v)/ (v - /k) + n 1 (v - /k) Solution générale = solution particulière (forcée par le champ électrique) + solution générale sans second membre (balistique). On voit que le voisinage de v = /k demande un traitement soigné. Ces particules résonnantes ne sont pas forcées par le champ à osciller à , même si 1 et n 1 ont cette fréquence: elles peuvent simplement rester à vitesse constante C'est ce comportement balistique (qu'on voit en simulation) et qu'il ne faut pas oublier

Même calcul en cinétique (4) En intégrant, le système précédent s'écrit : Ions : mi n 1 = q 1 Zp'(v ) + n 1 Électrons : e. Te n 1 = noq Avec Zp'(v ) = VP∫ fo'(v)/(v - v ) dv En éliminant le champ électrique : mi n 1 = e. Te n 1/no Zp'(v ) + n 1 Si fo Maxwellienne et v réel, Zp est la partie réelle d'une fonction célèbre et tabulée (la fonction de Fried et Conte)

Une infinité de modes propres réels, chacun très improbable mi n 1 = e. Te n 1/no Zp'(v ) + n 1 Ceci n'est une équation de dispersion que si on fixe ==> une infinité de solutions dépendant de (pourcentage de particules résonnantes) Choix arbitraire = 0 (seulement la partie principale, cf. Vlasov) : aucune particule de f 1 n'a la vitesse résonnante v = v ==> résultat proche du fluide. Peut être (presque) valable seulement quand v >> Vth Mais chacun de ces modes a une perturbation f 1 très singulière autour de v = v. Aucune condition initiale raisonnable ne peut exciter un seul de ces modes

excitent toujours un continuum de modes Chaque valeur de correspond à une perturbation f 1 particulière, mais toujours singulière ==> Les perturbations régulières sont nécessairement une superposition linéaire d'une infinité de modes Résultat remarquable : Avec un k fixé, pour toutes les conditions initiales "raisonnables", si on impose une onde se propageant dans un seul sens (au voisinage de la solution fluide), on obtient une évolution qui, après une période transitoire, retombe toujours le même comportement asymptotique qui est une décroissance en e - t (dû au mélange de phases) Ce comportement universel est appelé "amortissemnt Landau"

Calcul(s) de l'effet Landau Méthode classique (Landau) Calcul complet et explicite à partir de la condition initiale sur f 1 et de la transformation de Laplace, déformations de contour dans le pan complexe pour la transformée inverse, etc… Plus proche de l'expérience Calculer directement sur la superposition des modes réels, imposer une varaiation en e-i t avec complexe pour les grandeurs macroscopiques et cher quelles sont les distributions "raisonnables" qui le permettent. On voit mieux ainsi le rôle des particules résonnantes et des autres df = q o/(v – vs 1) * [ fo'(v) [exp(-ikvs 1 t) - exp(-ikvt) /2] - (1/2 ip) (Zp'(v) - 2 Ti/Te) exp(-ikvt) ]

Remarques diverses Amortissement/ taux de croissance proportionnel à fo' ==> instabilités aussi Autres résonances : cyclotron, miroir, rebonds, etc… Même problématique

FIN Pour aujourd'hui

Référence : le cas collisionnel S'il existe des collisions qui imposent à la fonction de distribution de rester toujours et partout Maxwellienne, les variations de la densité et de la pression qui existent dans une onde sonore correspondent à un df facile à prévoir f(v) • Forme simple • Extension en v de l'ordre de Vth Certainement différent en non collisionnel, mais quelle forme ? Lien entre la forme du df et l'amortissement ? df(v) v

Cas non collisionnel Question de base : à quoi ressemble df(v) quand il n'y a pas de collision ? Question subsidiaire Existe-t-il des explications heuristiques de l'effet Landau qui permettent de le deviner ? Answers. com: Landau damping: (plasma physics) Damping of a plasma oscillation wave which occurs in situations where the particles of the plasma are able to increase their average energy at the expense of the wave, and thus to damp it out, even in cases where the dissipative effects of collisions are unimportant Wilkipedia: "Mathematical proof of Landau damping is somewhat involved, requiring the use of contour integration. But there is a simple physical interpretation (although not strictly correct) that helps to visualize this phenomenon"

Schémas habituels "A simple physical explanation"(Chen) Bizarre : • Analogie pas évidente avec le surf ou les petits bateaux (fausse, je pense) • Physique pas évidente, même pour le surf et les petits bateaux eux mêmes (idem) Louche : • Raisonnements sur les particules individuelles : (pertes et gains d'énergie). Schémas trompeurs mettant en évidence les particules piégées (pas traitées) • Pas de référence vraiment explicite à l'origine statistique de l'amortissement : mélange de phase, comportement balistique, conditions initiales, comportement asymptotique (réversibilité de Vlasov? ), . . . Philosophie générale : on aimerait avoir un autre choix qu'un calcul exact mais abstrait et des images simples mais foireuses

Calcul de Landau Problème bien posé. Calcul rigoureux. Mathématique un peu délicate, mais possible à suivre. Contient toutes les informations nécessaires, mais. . . Difficile de comprendre si des hypothèses physiques sont injectées au cours du calcul, où, lesquelles, et pourquoi Difficile (et inhabituel) de discerner les conséquences physiques du phénomène, en particulier en termes de fonction de distribution. Exemple typique : qui sait répondre à la question élémentaire suivante : Relation avec les petits schémas simples précédents ? "la perturbation de f(v) est elle localisée en v autour de v = v ? " (contrairement au cas collisionnel)

Perturbation df localisée autour de v = v ? 1. Tous les petits schémas et explications précédentes poussent à le croire 2. C'est évident que c'est ce voisinage qui apporte des complications mathématiques quand on fait le calcul analytique f(v) df(v) v "Distortion of a Maxwellian distribution in the region v = v caused by Landau damping" (Chen) v Mais 1. En regardant dans les simulations numériques, on ne voit rien de particulier sur df(v) autour de v = v 2. Par contre, on voit des effets balistiques très importants (absents ici)

Effets balistiques v condition initiale x quand t augmente si v = cst ( E = 0) Espace des phases

Modulation de df due aux effets balistiques v x Déchirement dans l'espace des phases modulation en v pour x fixé Effet de E ? suppression de la modulation ? augmentation de l'amplitude près de v = vf ? cf. calcul (rien dans les simulations) f(v) df(v) v Densité : intégrale d'une fonction de plus en plus oscillante : amortissement par mélange de phase

Un calcul différent pour l'effet Landau Principe très proche des idées de Van Kampen (plus proche des méthodes standard pour les systèmes oscillants et plus facile à interpréter directement en termes physiques) : 1. Chercher tous les modes propres du système cinétique correspondant à l'onde sonore (monochromatiques avec réel). On en trouve une infinité dense (effets balistiques) 2. Comprendre que, si on n'accepte pas tous ces modes, c'est qu'on s'impose une condition sur les formes "acceptables" de df(v) 3. Se donner un paquet d'ondes tel que et n aient un amortissement connu 4. En déduire le df(v) du même paquet d'ondes (pour l'amortissement

1. Modes propres réels Résolution de Vlasov linéarisé (cf. Van Kampen) pour une variation spatiale imposée en exp(ikx) commune à toutes les variables Solution = solution particulière avec 2 dmb + solution générale de l'équation sans 2 dmb Si on cherche des solutions s purement monochromatiques (avec s = kvs réel), on en trouve : dfs = q s fo'(v)/(v-vs) + nbsd(v-vs) Le premier terme en 1/(v-vs) doit être compris comme une partie principale au sens des distributions (localement impair). C'est une solution particulière forcée par

1. Modes propres réels dfs = q s fo'(v)/(v-vs) + nbsd(v-vs) Ce résultat donne df en fonction de (Vlasov). Réciproquement, dépend des particules (Maxwell + électrons) ; pour une onde sonore (électrons isothermes et quasineutralité), elle en dépend par : q s = - Te/2 Ti ns (2) + intégration de (1) Résolution d'un système 2*2 pas homogène : ns[1 – Zp'(vs) Te/2 Ti ] = nbs Zp = partie principale de FC (partie réelle pour une variable vs réelle) Ceci n'est pas vraiment une équation de dispersion. N'importe quelle vitesse de phase vs est possible si on choisit la bonne constante nbs pour la composante balistique (dépendance directe aux conditions initiales microscopiques sur df) On peut dire qu'il y a une infinité dense de solutions monochromatiques (modes) NB 1. Mode sonore "fluide" classique : nbs = 0 rien de balistique ; df entièrement forcé NB 2. Si Te << Ti, vs >> 1, développement de FC, vso 2 (Te + 3 Ti) /2 Ti

2. Forme de df(v) pour les modes propres réels Si on retourne à la forme de df en y incluant la pseudo-dispersion précédente, on a : dfs = q s [fo'/(v-vs) + (Zp'(vs) - 2 Ti/Te)d(v-vs)] Solutions acceptables ? Non (sinon, on s'arrêterait là). Pourquoi ? Forme df(v) très particulière (et indépendante du temps !) Une telle variation sinusoïdale peut exister mais pour ça, elle doit être imposée dès la condition initiale : préparation trop spéciale du plasma Problème général, mais très criant ici (pour ces solutions monochromatiques) car cette forme est de plus divergente (en v = vs). Difficile d'imaginer une condition initiale aussi singulière. De plus, cette divergence est contradictoire avec la linéarisation qu'on a faite. Cela tient de la faute de calcul (la solution non linéaire ne serait jamais divergente)

Critère d'acceptabilité des solutions Minimum vital : éviter la singularité en imposant que df(v) n'a pas de pôle réel Mais pas suffisant : on sait bien que, si vs est légèrement amorti ou amplifié (ie. vs complexe avec une petite partie imaginaire), il reste encore une quasi-résonance, c'est à dire que df(v) atteint des valeurs très grandes (quoique pas infinies) autour de v = Re(vs). Ceci pousse à rejeter toutes les fonctions de distribution qui possèdent un pôle "près de l'axe réel" dans le plan complexe Mais jusqu'où peut on parler de "proximité de l'axe réel" ? La considération précédente semble perdre progressivement son sens intuitif

Critère d'acceptabilité des solutions La réponse consiste à rejeter toutes les fonctions Peut on faire mieux avec un paquet d'onde ?

3. Paquet d'onde Choisissons un paquet d'onde tel que les grandeurs macroscopiques et n soient exponentielles décroissantes (après t = 0) : = o exp(-ikvs 1 t) avec vs 1 = vso - i /k (t) = s(vs) exp(- ikvst) dvs avec s(vs) = - ( o/2 ip) /(vs – vs 1) NB: TF( ) = 2 p/k s (t) t Paquet d'onde un peu particulier (cf. conditions initiales sur df), mais

4. Forme de df(v) pour le paquet d'onde En appliquant la même superposition linéaire, on trouve (quel que soit vs 1) : df = q s(vs) exp(-ikvst) [- fo'(v)/(vs - v) + (Zp'(vs) - 2 Ti/Te)d(vs - v)] dvs df = q o/(v – vs 1) * [ fo'(v) [exp(-ikvs 1 t) - exp(-ikvt) /2] - (1/2 ip) (Zp'(v) - 2 Ti/Te) exp(-ikvt) ] On voit qu'il y a 2 types de termes : une partie de la perturbation df forcée à la fréquence complexe imposée kvs 1 une autre partie à la fréquence variable kv déchirement balistique

5. Solution acceptable df = - q o/(v – vs 1) *[ fo'(v) /2 + (1/2 ip) (Zp'(v) - 2 Ti/Te)] exp(-ikvt) Pour appliquer la condition d'acceptabilité définie précédemment (pour un comportement asymptotique universel), il faut supprimer le pôle, c'est à dire annuler le numérateur pour la variable complexe v = vs 1 (c'est possible avec ce paquet, alors que ça ne l'était pas avec les solutions monochromatiques) : Zp'(vs 1) + ip fo'(vs 1) = 2 Ti/Te On arrive bien comme ça à la même forme pour l'équation de dispersion cinétique celle trouvée par les méthodes classiques (cf. Landau) Mais espoir : on a (j'espère) mieux suivi la physique mise en jeu au fur

Conclusions Besoin assez généralement ressenti d'un calcul équivalent à Landau, mais avec une relation à la ? ) physique plus transparente (hypothèses Besoin pas comblé par les petits modèles heuristiques connus qui apportent généralement des idées simples mais fausses Besoin nécessaire pour la pédagogie / étudiants ; / collègues