Efekty II rzdu przy wymiarowaniu supw elbetowych Janusz

Efekty II rzędu przy wymiarowaniu słupów żelbetowych Janusz Pędziwiatr 1

N N H H M a) Efekty II rzędu wiążą się z uwzględnianiem w obliczeniach sił wewnętrznych wpływu przemieszczeń układu b) Efekty II rzędu powodują przyrost wartości momentów zginających c) Jeżeli przemieszczenia są nieznaczne, to efekty te pomija się w projektowaniu 2

Efekty II rzędu - analiza Aspekty zagadnienia: a) Matematyczny b) Konstrukcyjny ( materiałowy) Aspekt matematyczny a) Przemieszczenia implikują przyrost momentów. Przyrost ten powiększa wartość momentu, co powoduje kolejny przyrost momentu – ciąg przemieszczeń i momentów Jakie to są ciągi ? Czy i pod jakim warunkiem są zbieżne? Jaka jest suma ? b) Oś pręta ( słupa) może się odkształcić pod wpływem obciążeń. Interesuje nas końcowy efekt – przebieg tej osi odkształconej. Pozwala to obliczyć wartości dodatkowych momentów wynikających z przemieszczeń. Jest to nieco zmodyfikowane zagadnienie Eulera. 3

Zagadnienie Eulera i uogólnienie Krzywizna funkcji - analiza matematyczna N Wytrzymałość materiałów x l Warunki brzegowe Niewiadome : A i B – układ równań nieoznaczony =0 4

uogólnienie • Równanie różniczkowe z odpowiednią ilością warunków brzegowych (ewentualnie jeszcze warunki zgodności) • Układ równań – nieoznaczony • Wartość siły wyboczeniowej – warunek zerowania się wyznacznika ! • Długość wyboczeniowa – z porównania tak otrzymanej siły z siłą Eulera 5

wnioski a) Siła krytyczna to jedyna wartość „ gwarantująca” chwiejną równowagę odkształconego pręta a jej wartość ma sens czysto matematyczny. b) Proces kolejnych odkształceń osi pręta prowadzi do jakiegoś ciągu kolejnych przyrostów mimośrodu. c) Podstawowy problem w przypadku żelbetu to ustalenie sztywności pręta: • Sztywność zależy od wartości siły ściskającej • Istotne jest zarysowanie betonu i jego pełzanie • Na sztywność wpływa uplastycznienie stali zbrojeniowej Bardzo precyzyjne uwzględnienie problemów matematycznych i związanych z parametrami mechanicznymi betonu jest niemożliwe. 6

Metody normowe w obliczeniach a) Metoda ogólna b) Metoda nominalnej krzywizny c) Metoda nominalnej sztywności 7

Metoda nominalnej sztywności a) Przemieszczenia tworzą ciąg „ bardzo podobny” do geometrycznego b) Iloraz tego ciągu to c) W normie Współczynnik może być : - stały moment - przebieg paraboliczny - symetryczny - racjonalne uproszczenie Problemem jest przyjęcie „dobrej” sztywności stałej dla całego pręta 8

Nominalna sztywność Sumowanie sztywności betonu i zbrojenia a) Stal – dosyć oczywiste , ale „jednakowe” potraktowanie obu grup stali nieco zbyt uproszczone. b) Beton – sporo wątpliwości – wzór empiryczny konserwatywny Przykład: beton C 20/25, efekty doraźne To mało - szczególnie, gdy cały słup jest ściskany i nie ma rys Przy uwzględnieniu pełzania nawet dwukrotnie mniej 9

Metoda nominalnej krzywizny Addytywna - do momentu pierwszego rzędu dodaje się moment wynikający z dodatkowego końcowego mimośrodu moment Zależność krzywizna Równanie osi pręta wysokości jest równe ; maksymalne przemieszczenie w połowie ; ,

d-a Uogólnienie i pełzanie 11

Metoda ogólna • Iteracyjne rozwiązanie równania • Zastąpienie równania różniczkowego równaniem różnicowym: „skok” - a , , • Ustalenie zależności pomiędzy momentem i krzywizną dla różnych faz wytężenia przekroju, która uwzględnia zarysowanie, uplastycznienie betonu, pełzanie, uplastycznienie zbrojenia 12

Zależność moment-krzywizna a) Ustala się każdorazowo dla określonej wartości siły (lub względnej siły) b) Obejmuje wszystkie występujące etapy wytężenia np. ( przy dużych wartościach względnej siły ) - cały przekrój jest ściskany- początek - cały przekrój jest ściskany a beton i oba zbrojenia pracują w zakresie sprężystym - cały przekrój jest ściskany, oba zbrojenia pracują w zakresie sprężystym a beton jest uplastyczniony - cały przekrój jest ściskany a beton oraz stal bardziej ściskana są uplastycznione c) Zakłada się przy tym modele zależności odkształcenie-naprężenie dla betonu i stali 13

0. 2 a względny moment 0. 15 b 0. 1 c 0. 05 0 0. 00% a– bc- 0. 05% 0. 10% 0. 15% 0. 20% względna krzywizna 0. 25% 0. 30% 0. 35% Wykres dla 14

Algorytm postępowania a) Podział słupa na odcinki i określenie wartości brzegowych b) Wykonanie zależności moment-krzywizna przy określonej sile osiowej c) Wyznaczenie wartości momentów pierwszego rzędu w kolejnych punktach d) Odczytanie (obliczenie) odpowiadających tym wartościom momentów krzywizn e) Wyznaczenie przemieszczeń poszczególnych punktów f) Obliczenie przyrostów momentów wywołanych tymi przemieszczeniami g) Obliczenie aktualnych wartości momentów h) Powtórzenie procedury – powrót do punktu d Procedurę można uznać za zakończoną, gdy różnice pomiędzy kolejnymi wartościami momentów będą znikome lub gdy w którymś punkcie wartość momentu przekroczy nośność. Nie używa się pojęcia siły wyboczeniowej ani długości obliczeniowej! 15

przykłady 7 położenie przekroju 6 5 4 3 1 2 3 4 5 8 2 1 0 0 0. 03 0. 06 0. 09 względny moment 0. 12 0. 15 Efekty II rzędu powodują przyrost momentu w zamocowaniu słupa o 170%. Nie jest przekroczona jego nośność. b= 0. 30 m, d= 0. 45, l= 7. 0 m beton C 50/60, stal o %. 16

Ten sam słup, ale wartość momentu pierwszego rzędu jest większa 8 położenie przekroju 7 6 5 1 2 3 4 7 8 9 4 3 2 1 0 0. 050 0. 100 0. 150 0. 200 względny moment 0. 250 0. 300 Przyrosty momentów doprowadzają do zniszczenia słupa 17