Eenzijdige Betrouwbaarheidsgrens Herhaling hoe kan eenzijdige grens gevonden

Eenzijdige Betrouwbaarheidsgrens Herhaling: hoe kan eenzijdige grens gevonden worden m. b. v. Statistisch Compendium? Het tweezijdig 100*(1 - )% b. i. voor 2 is nu (zie compendium): Gevraagd: rechtseenzijdige 95% betrouwbaarheidsgrens. Antwoord: = 0. 05. Pas formule toe, gebruik rechtergrens, maar met i. p. v. /2, dus deze is 1

Steekproefomvang Een betrouwbaarheidsinterval wordt smaller naarmate de steekproefomvang (sample size) groter wordt. Stel we willen dat de breedte van het (95%) b. i. maximaal 2 B is. De vraag: hoe groot moet de steekproef zijn om dit te garanderen? Als voorbeeld hoe je dit probleem aanpakt kijken we naar een b. i. voor in één steekproef wanneer de variantie onbekend is: De breedte van dit interval is Helaas, S weten we van tevoren niet. Maar, we kunnen wel eerst een kleine ‘pilotstudy’ doen: we nemen n = 10 en schatten S, de steekproefstandaarddeviatie. Nu vereisen we We zijn er bijna: we pluggen de geschatte waarde S en vervolgens verhogen we systematisch n totdat aan de ongelijkheid wordt voldaan. 2

Steekproefomvang Grafisch µ n=500 is dus voldoende in dit geval 3

Hypothese opstellen De nulhypothese: H 0. De nulhypothese geeft over het algemeen de situatie weer: geen effect, de waarde van de parameter is zoals we die verwachten, er is geen verschil. Voorbeelden: 1. Laat 1 de gemiddelde bloeddrukverlaging (van de populatie) zijn over een bepaalde tijd na toedienen van een medicijn en 2 de gemiddelde bloeddrukverlaging (van de populatie) zijn over een bepaalde tijd na toedienen van een ander medicijn. Dan, H 0: 1 = 2. 2. Casino (zie week 5): Casino belazert de boel niet, kans op nul is 1/37. Dan, H 0: p = 1/37. Altenatieve hypothese: H 1. Dat wat je wilt aantonen: er is een effect, er is een verschil. Als je niet geïnteresseerd bent in de richting van het effect dan zal je altijd tweezijdig toetsen. H 1 is dan simpelweg de ontkenning van H 0. 4

Hypothese opstellen, vervolg H 1: Dat wat je wilt aantonen: er is een effect, er is een verschil. Als je niet geïnteresseerd bent in de richting van het effect dan zal je altijd tweezijdig toetsen. H 1 is dan simpelweg de ontkenning van H 0. (ongelijkheid) Ongelijkheid kan betekenen > of <. Soms is men echter alleen geïnteresseerd in een van de twee mogelijke richtingen. Dan is H 1 eenzijdig en in de richting van de interesse. Voorbeelden 1. Laat 1 de gemiddelde bloeddrukverlaging (van de populatie) zijn over een bepaalde tijd na toedienen van een medicijn en 2 de gemiddelde bloeddruk-verlaging (van de populatie) zijn over een bepaalde tijd na toedienen van een ander medicijn. Dan, H 0: 1 = 2 en H 1: 1 2. Echter als het 2 e medicijn een placebo is, dan zal men alleen willen weten of 1 beter werkt: H 1 : 1 > 2. 2. Casino: men wil weten of het casino de boel belazert. Dat is alleen het geval als p > 1/37, dus H 1: p > 1/37. 5

Hypothese (niet) verwerpen Uiteindelijk zullen we de nulhypothese verwerpen (reject) of niet. Wat kunnen we concluderen bij verwerpen? Dat met (1 - )*100% zekerheid we kunnen stellen dat de alternatieve hypothese H 1 waar is. ‘Er is een effect’ Dit is een sterke uitspraak. Wat kunnen we zeggen als H 0 niet verworpen wordt? We kunnen stellen dat er niet genoeg bewijs in de data is om H 0 te verwerpen ten faveure van H 1. Let wel: hiermee weten we niet zeker of H 0 waar is. Het kan ook zijn dat we niet genoeg data hebben om H 1 te ondersteunen. Dit is een zwakke uitspraak. Het aantonen van ‘geen effect’ (H 0) is dus veel moeilijker dan het aantonen van een effect. 6

Toetsen, stapsgewijs Doorloop stappen van het toetsen (testing). 1. Wat is de interesseparameter ( , 2, p)? Wat zijn de veronderstellingen (normale verdeling ja/nee? ) 2. Opstellen hypothesen. Eenzijdig of tweezijdig? 3. Welke situatie: bekende variantie. onbekende variantie: gelijk veronderstellen of niet? 4. Hoe gaan we toetsen? a) M. b. v. de computer: p-waarden b) Opstellen betrouwbaarheidsinterval c) Bereken toetsingsgrootheid, vergelijk met tabel 5. Nulhypothese verwerpen als a) p-waarde kleiner of gelijk aan b) waarde van parameter onder nulhypothese valt buiten (1 - )*100% betrouwbaarheidsinterval c) Toetsingsgrootheid in kritieke gebied valt. 7

t-verdeling 8

Toetsen van hypothesen, voorbeeld Voorbeeld: Dit zijn de gemeten (gemiddelde) januaritemperaturen in West Europa de afgelopen 20 jaar. Data: 3. 9, 2. 3, 4. 0, 4. 5, 1. 5, 2. 2, 1. 7, 3. 6, 6. 1, 1. 2, 5. 3, 3. 3, -0. 6, 5. 2, 0. 9, 2. 6, 2. 2, 3. 4, 2. 8 Veronderstel is onbekend 9

t-toets 1. Interesseparameter: , normaliteit is gecontroleerd 2. Hypothese: H 0 : = 2 H 1 : > 2 3. Situatie: Variantie onbekend, één streekproef. 4. Toetsingsgrootheid: onder H 0: T ~ t 19 Waargenomen: Waargenomen toetsingsgrootheid: 5. Beslissing: Verwerp H 0 als t “onwaarschijnlijk groot” als dus als t > 1. 729. Dit is het kritieke gebied of verwerpingsgebied (rejection area). Dus conclusie: verwerp H 0 10

Toetsen m. b. v. toetsingsgrootheid De t-toets 1. Bepaal situatie. Interesseparameter: Normale verdeling redelijk (plots: week 4). Toetsingsprobleem H 0 : = 0 2. a. H 1: 0 b. H 1: > 0 c. H 1: < 0 3. Hier: steekproef met µ en 2 onbekend: t-toets (als variantie bekend is: Ztoets) 4. We gaan een toetsingsgrootheid (test statistic) gebruiken. onder H 0: T ~ tn-1 5. Beslissingscriterium Verwerp H 0 bij significantie niveau als a. of als b. c. 11

Samenvatting toetsen voor µ Belangrijkste vraag: welke toets heb ik nodig in welke situatie? Ga het volgende na: • Wordt er gevraagd om eenzijdige toets of een tweezijdige toets? Eenzijdig: links of rechts, gebruik i. p. v. /2 in formules. • Hebben we te maken met gepaarde waarnemingen (dus steeds twee waarnemingen op hetzelfde object/individu) of niet? • Zijn de varianties bekend en gegeven? Gebruik dan de z -waarden (percentagepunten) • Zijn de varianties onbekend, gebruik dan de t – waarden met het juiste aantal vrijheidsgraden. Worden de variantie gelijk verondersteld of niet? 12

p-waarde Wat is een p-waarde? De kans dat de toetsingsgrootheid een extremere uitkomst (overeenkomstig met de alternatieve hypothese) geeft dan de waargenomen waarde wanneer de nulhypothese zou gelden Tweezijdig: Eenzijdig: als H 1: > 0 dan P(T > t), als H 1: < 0 dan P(T < t). Ook wel als definitie: het kleinste significantieniveau ( ) dat nog leidt tot verwerping. 13

Toetsen, betrouwbaarheidsintervallen en p -waarden: equivalentie Laat de interesseparameter zijn. De volgende uitspraken zijn equivalent: H 0: = 0 wordt verworpen ten gunste van H 1: 0 omdat: • p-waarde van de tweezijdige toets kleiner is dan . • 0 buiten het tweezijdig 1 - b. i. van ligt. • de toetsingsgrootheid in het kritieke gebied voor significantieniveau valt. H 0: = 0 wordt verworpen ten gunste van H 1: > 0 omdat: • p-waarde van de eenzijdige toets kleiner is dan • 0 groter is dan het rechtseenzijdige 1 - . betrouwbaarheidsgrens voor • de toetsingsgrootheid groter is dan de eenzijdige kritieke grens voor significantieniveau . 14

Toetsen, fracties voorbeeld Van een bepaald casino vermoedt de kansspelcommissie dat ze de boel belazeren. Hun roulettetafel zou niet zuiver zijn en de kans op ‘ 0’ zou groter zijn dan 1/37, waardoor klanten meer kans hebben hun inzet te verliezen. Daarom wordt de tafel 2000 keer getest, waarvan 90 keer een ‘ 0’ valt. We willen nu weten of de ware ‘succeskans’(=kans op ‘ 0’) te groot is. Week 5 behandelt de manier om dit te doen mbv betrouwbaarheidsintervallen. Nu doen we ook een toets. 1. Interesseparameter: p. Veronderstelling: normale benadering voor binomiaal mag gebruikt worden. 2. Opstellen hypothesen: H 0: p = 1/37, H 1: p > 1/37 Eenzijdig dus! 3. Situatie: toets op fractie, variantie: p’(1 -p’)/n met p’ schatter voor ‘succeskans’ p: x/n = 90/2000, waarbij x het aantal ‘ 0’ en in n experimenten is. 15

Toetsen, fracties voorbeeld, vervolg 4. Hoe gaan we toetsen? Ter illustratie methoden a) en c): a)M. b. v. de computer: p-waarden c) Bereken toetsingsgrootheid, vergelijk met tabel z = 4. 95. Kritieke grens bij = 0. 01: z 0. 01 = 2. 33. 5. Nulhypothese verwerpen als a) p-waarde kleiner of gelijk aan 0. 01 p-waarde < 0. 0001, dus verwerpen. c) Toetsingsgrootheid in kritieke gebied valt. z = 3. 88 > 2. 33, dus verwerpen. 16

Toetsen m. b. v. computer Toetsen in de praktijk gebeurt vrijwel altijd met de computer. • Installatie Statgraphics: Public Folders • Open data set: Heart. sf (deze staat in de Statgraphics directory (onder ‘Program Files’) onder de subdirectory ‘data’) • Verwijder controle data, kies ‘compare’ -> ‘two samples’ -> ‘two-sample comparison’ -> vul in ‘time = 4’ bij select -> klik gele button (‘tabular options’) in uitvoer -> vink aan ‘comparisons of means’ Zelfde stappenplan. 1. Interesseparameter: . = ax 23 - bwwg Normale verdeling wordt verondersteld 2. H 0: = 0 (beide middelen zijn even effectief) H 1: 0 (er is verschil) 3. Variantie onbekend, maar gelijk verondersteld. 4. Toets m. b. v. p-waarden en evt. betrouwbaarheidsinterval voor . 5. Tweezijdige toets: p-waarde = 0. 0066, dus verwerpen voor elke 0. 0066. 95% betrouwbaarheidsinterval: [-11. 0871, -2. 16294] Hier ligt ‘ 0’ niet in, dus verwerpen. 17