Ecuatiile lui Hamilton Ecuatiile lui Newton depind explicit

  • Slides: 15
Download presentation
Ecuatiile lui Hamilton Ecuatiile lui Newton: depind explicit de coordonatele x, y, z Ecuatiile

Ecuatiile lui Hamilton Ecuatiile lui Newton: depind explicit de coordonatele x, y, z Ecuatiile Lagrange: sunt aceleasi pentru orice set de coordonate generalizate Formulari echivalente: Principiul lui Hamilton nu se refera la nici un fel de coordonate totul este legat si inclus in integrala actiunii F. Newtonian F. Lagrangian F. Hamiltonian • Desciu aceleasi fizici si conduc la aceleasi rezultate • Diferentele constau in: - Problemele legate de simetrii si invarianta mai evidente - Flexibilitate in alegerea transformarilor de coordonate F. Hamiltonian puternic conectat cu dezvoltarea: • Ecuatia Hamilton-Jacobi. Teoria clasica a perturbatiilor • Mecanica Cuantica. Mecanica Statistica

F. Lagrangian F. Hamiltonian n ecuatii diferentiale de ordinul 2 cu 2 n conditii

F. Lagrangian F. Hamiltonian n ecuatii diferentiale de ordinul 2 cu 2 n conditii initiale Putem transforma acest set de n ecuatii diferentiale de ordin 2 intr-un set de 2 n ecuatii diferentiale de ordinul 1, mult mai usor de integrat ? Introducem notiunea de moment conjugat Spatiul Configuratiilor Spatiul Fazelor Care este trucul matematic ce permite o asemenea transformare ?

Transformarea Legendre Definim o functie de doua avriabile: Derivata sa totala este Definim:

Transformarea Legendre Definim o functie de doua avriabile: Derivata sa totala este Definim:

Definim functia Hamilton Semn opus celui din transf. Legendre Derivata totala: Ecuatiile canonice ale

Definim functia Hamilton Semn opus celui din transf. Legendre Derivata totala: Ecuatiile canonice ale lui Hamilton

Deci 2 n ecuatii diferentiale de ordinul intai Legatura dintre moment si viteze •

Deci 2 n ecuatii diferentiale de ordinul intai Legatura dintre moment si viteze • Relatie “data” de formalismul Newtonian Echivaleta cu ecuatiile de miscare Newton/Lagrange Pentru sisteme inchise functia lui Hamilton este energia totala a sistemului Pentru un sistem in care T este o functie omogena cuadratica de viteza energia totala a sistemului este o constanta a miscarii si este functia lui Hamilton.

Exemplu: Fie un corp de masa m supus actiunii unei forte Hooke: Proprietatile functiei

Exemplu: Fie un corp de masa m supus actiunii unei forte Hooke: Proprietatile functiei Hamilton a) Conservarea Hamiltonianului

Hamiltonianul se conserva daca nu depinde explicit de timp Hamiltonianul poate fi sau nu

Hamiltonianul se conserva daca nu depinde explicit de timp Hamiltonianul poate fi sau nu energia totala • Daca este, inseamna conservarea energiei • Chiar daca nu este, H ramane inca o constanta a miscarii b) Cordonata Ciclica Orice coordonata care nu este continuta in Hamiltonianul sistemului se numeste “coordonata ciclica”, iar impulsul canonic conjugat cu coordonata respectiva este o marime care se conserva

Transformari canonice Hamiltonieni si Kamiltonieni a) Cazul independent de timp este canonica daca si

Transformari canonice Hamiltonieni si Kamiltonieni a) Cazul independent de timp este canonica daca si numai daca Transformarea exista o functie astfel incat b) Cazul dependent de timp Transformarea exista o functie unde este canonica daca si numai daca astfel incat pentru un t arbitrar fixat t=t 0

Fie o transformare de coordonate in spatiul fazelor Kamiltonianul sist. Cum stabilim legatura dintre

Fie o transformare de coordonate in spatiul fazelor Kamiltonianul sist. Cum stabilim legatura dintre Hamiltonian si Kamiltonian ? Conform principiului Hamilton, traiectoria reala a unui sistem clasic se poate obtine din variatia integralei actiunii Daca transformarea este canonica

In acord cu transformarea Legendre relatie care nu se schimba daca L este inlocuit

In acord cu transformarea Legendre relatie care nu se schimba daca L este inlocuit cu Relatii care difera doar prin termeni constanti, a caror variatie este nula la aplicarea principiului Hamiltonianul si kamiltonianul sunt legati prin relatia: F= FUNCTIE GENERATOARE F poate fi exprimata ca o functie de orice set arbitrar de variabile independente

Rezultate convenabile se pot obtine daca F este exprimat ca o functie de n

Rezultate convenabile se pot obtine daca F este exprimat ca o functie de n variabile vechi si altele n noi si bineinteles timp. Cele n variabile vechi sunt exact si daca noile variabile sunt toate Combinatiile posibile: Variabile independente

Un calcul analog TEOREMA Consideram un sistem asupra caruia actioneaza o forta externa data.

Un calcul analog TEOREMA Consideram un sistem asupra caruia actioneaza o forta externa data. Presupunem ca starea dinamica a sistemului este determinata de un set de variabile q, p=q 1, …qn, p 1, …, pn iar hamiltonianul sistemului H=H(q, p, t) Evolutia in timp a variabilelor q si p este data de ecuatiile lui Hamilton

Daca efectuam o transformare de coordonate si daca transformarea este canonica, adica exista o

Daca efectuam o transformare de coordonate si daca transformarea este canonica, adica exista o functie F(q, p, t) astfel incat pentru un moment de timp fixat t=t 0 avem: unde atunci ecuatiile de miscare in termenii noilor variabile Q si P vor fi unde Daca determinantul matricii nenul

Prin TRANSFORMARE CANONICA intelegem acea transformare care independent de forma Hamiltonianului, pastreaza neschimbata forma

Prin TRANSFORMARE CANONICA intelegem acea transformare care independent de forma Hamiltonianului, pastreaza neschimbata forma ecuatiilor lui Hamilton !!!