ECUACIONES Y SISTEMAS U D 6 4 ESO

ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 6 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

PROBLEMAS DE ECUACIONES U. D. 6. 3 * 4º ESO E. AP. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

Resolución de PROBLEMAS • Para resolver problemas de ecuaciones cuadráticas hay que seguir los siguientes pasos, que son los mismos que para resolver problemas de ecuaciones lineales: • • • 1. - • • • COMPRENSIÓN. Leer detenidamente y entender el enunciado. 2. - DESIGNAR. Designar una letra a la incógnita. La incógnita no es siempre el dato que se pide, sino el dato desconocido que permita resolver el problema. 3. - PLANTEAR. Una vez designada la incógnita, se traduce a lenguaje algebraico el enunciado, resultando una o varias ecuaciones. 4. - RESOLUCIÓN. Se despeja la incógnita de la ecuación, se halla su valor y luego el valor de los datos pedidos. 5. - COMPROBACIÓN. Se comprueba si la solución cumple condiciones del enunciado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

Problema 1 • “Quiero saber la edad que tenía hace 3 años. Sé que hace cinco años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 7 años. ” • • 1. - COMPRENSIÓN. - Leo detenidamente el enunciado. 2. - DESIGNAR. - Sea x = la edad actual que tengo, aunque no sea ese el dato que me piden. 3. - PLANTEAR. - Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años tenía x – 5 Dentro de 7 años tendré x +7 Luego: (x – 5) = ( x + 7 ) / 3 4. - RESOLUCIÓN. - Despejo la x aplicando las reglas: 3(x-5) = 3 [ (x+7) / 3] 3. x – 15 = x + 7 2. x = 22 x = 11 Solución x – 3 = 11 – 3 = 8 Solución: Tenía 8 años. 5. - COMPROBACIÓN. Si ahora tengo 11 años, hace cinco tenía 6 años, y dentro de 7 años tendré 18 años. Efectivamente 6 es la tercer parte de 18. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

Problema 2 • “Mi padre se pasó la cuarta parte de su vida en el colegio, la sexta parte buscando trabajo, la mitad de su vida trabajando y cuatro años jubilado. ¿Qué edad tenía cuando falleció? . • • • • 1. - COMPRENSIÓN. - Leo detenidamente el enunciado. 2. - DESIGNAR. - Sea x = años que tenía. 3. - PLANTEAR. - Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: x/4 + x/6+x/2+4=x Pues la suma de todos los periodos será los años totales vividos. 4. - RESOLUCIÓN. - Primero hago el MCM, que es 12 3. x 2. x 6. x 48 12. x ---- + ------- + ---- = ----12 12 12 11. x + 48 = 12. x – 11. x 48 = x Solución: Tenía 48 años. 5. - COMPROBACIÓN. Se debe cumplir que: 48/4 + 48/6 + 48/2 + 4 = 48 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 5

Problema 3 • “Un rectángulo tiene de altura 4 cm más que de base. Sabiendo que su perímetro es de 40 cm, calcular las dimensiones del rectángulo. • • • • 1. - COMPRENSIÓN. - Leo detenidamente el enunciado. 2. - DESIGNAR. - Sea x = la medida de la base. 3. - PLANTEAR. - Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La altura mide: h = x + 4 El perímetro es: P = 2. x+2. h 3. - RESOLUCIÓN. - Sustituyo h por x + 4 y P por 40 40 = 2. x + 2. (x + 4) Opero convenientemente 40 = 2. x + 8 40 – 8 = 4. x 32 = 4. x x = 32 / 4 = 8 x=8 Luego la altura vale h = x + 4 = 8 + 4 = 12 h=12 4. - COMPROBACIÓN. Se debe cumplir que: 40 = 2. 8 + 2. 12 40 = 16+24 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 6

Cuento de álgebra • • • Blancanieves ordena a los 7 enanitos por altura, del más bajito al más alto, para repartir entre ellos 77 champiñones que han recogido. Da unos cuantos al más bajito y uno más que el anterior a cada uno de los demás. ¿Cuántos champiñones corresponde a cada enanito? . Sea x los champiñones del más bajito. Tenemos que la suma total es 77, luego: x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)= 77 x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6= 77 7. x+21 =77 7 x = 77 – 21 7. x = 56 / 7 x = 8 Al más bajito le corresponden 8 champiñones. A los demás les toca: 9, 10, 11, 12, 13 y 14 champiñones. Podemos comprobar la suma: 8+9+10+11+12+13+14 = 77 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Acertijo ” – 3” • • Piensa un número. (Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 6 unidades. El resultado lo divides entre 2. Al nuevo resultado le restas 5 unidades. Al nuevo resultado lo multiplicas por 2. Al nuevo resultado sumas 7 unidades. • • ¿Qué te ha dado la última operación? . (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) • Solución: ¿A que el último resultado obtenido – 3 es el número que pensaste? . • Intentar reproducir algebraicamente el acertijo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

Enunciados cuadráticos • • • ENUNCIADO 1 “El cuadrado de la mitad de un número, más cinco, es igual a 9. Hallar dicho número. ” • • La coma antes del “más” rompe el término en dos sumandos. Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 9 Operando: (x 2 / 4) + 5 = 9 x 2 / 4 = 9 – 5 x 2 = 16 Luego: x 1 = 4 y x 2 = – 4 • • • ENUNCIADO 2 “El cuadrado de la mitad de la suma de un número más cinco es 16. Hallar dicho número. ” • • • Si x es el número: [(x + 5) / 2]2 = 16 Operando: (x + 5)2 / 4 = 16 (x + 5)2 = 64 x 2 + 10. x + 25 = 64 x 2 + 10. x – 39 = 0 Resolviendo la ecuación: x 1 = 3 y x 2 = – 13 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Enunciados cuadráticos • • • ENUNCIADO 3 “La suma del cuadrado de la mitad de un número más cinco es 14. ” Hallar dicho número. ” • • • Si x es el número: (x / 2)2 + 5 = 14 Operando: (x 2 / 4) + 5 = 14 x 2 / 4 = 14 – 5 x 2 = 36 Luego: x 1 = 6 y x 2 = – 6 • • • ENUNCIADO 4 “La suma de la mitad del cuadrado de un número más cinco es 19/2. ” Hallar dicho número. ” • • • Si x es el número: [ x 2 / 2 ] + 5 = 19 / 2 Operando: x 2 / 2 = (19 / 2) – 5 x 2 = 19 – 10 x 2 = 9 Luego: x 1 = 3 y x 2 = – 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10

Enunciadosycuadráticos Enunciados ecuaciones • • • ENUNCIADO 5 “El cuadrado de la diferencia de un número y de cinco es 16. Hallar dicho número. ” • • Si x es el número: (x – 5)2 = 16 También valdría, en este caso: (5 – x)2 = 16 Operando: x 2 – 10. x + 25 = 16 x 2 – 10. x + 9 = 0 Resolviendo la ecuación: x 1 = 1 y x 2 = 9 • • • ENUNCIADO 6 “El cuadrado de la suma del doble de un número y de tres es 49. Hallar dicho número. ” • • Si x es el número: (2. x + 3)2 = 49 Operando: 4. x 2 + 12. x + 9 = 49 4. x 2 + 12. x – 40 = 0 Simplificando entre 4 queda: x 2 + 3. x – 10 = 0 Resolviendo la ecuación: x 1 = 2 y x 2 = – 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 11

Problema 4 • El cuadrado de la edad que tenía hace cinco años es la mitad de la edad que tendré dentro de 10 años. ¿Qué edad tengo? . • • • Sea x = la edad actual que tengo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: Hace 5 años: Ahora: Dentro de 7 años: x– 5 x x + 10 Luego: (x – 5)2 = ( x + 10 ) / 2 Operando: x 2 – 10. x + 25 = ( x + 10 ) / 2 2. x 2 – 20. x + 50 = x + 10 2. x 2 – 21. x + 40 = 0 Resolviendo la ecuación: x 1 = 2, 5 años y x 2 = 8 años Discusión: Ambas soluciones son matemáticamente correctas. La primera solución, x = 2, 5 presenta el problema de una edad con decimales, que no suele ser admisible, además es imposible por la naturaleza del enunciado. Solución válida: x = 8 años • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 12

Problema 5 • Quiero hacer el marco de un portarretratos rectangular, de modo que el largo sea 14 dm mayor que el ancho y que la diagonal del marco mida 26 dm. ¿Qué dimensiones debe tener? . • • • Sea x = ancho del marco. Sea (x + 14) el largo del marco. La diagonal del marco es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son el largo y el ancho. Debo pues aplicar el Teorema de Pitágoras: “La hipotenusa al cuadrado es la suma de los cuadrados de los catetos. ” Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: 262 = x 2 + (x + 14)2 Operando: 676 = x 2 + 28. x + 196 0 = 2. x 2 + 28. x – 480 Simplificando la ecuación: x 2 + 14. x – 240 = 0 Resolviendo la ecuación: x 1 = 10 dm y x 2 = – 24 dm Discusión: La segunda medida, en geometría, no es admisible por negativa. El ancho es 10 dm y el largo 24 dm. • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 13

Problema 6 • La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos es igual que el cuadrado de su suma. Hallarlos. • • • • Sea x = un número entero. Sea x + 1 = el número entero consecutivo. Traduzco a lenguaje algebraico el enunciado: La suma de los cuadrados: x 2 + (x + 1)2 El cuadrado de la suma: [ x + (x + 1) ]2 x 2 + (x + 1)2 = [ x + (x + 1) ]2 Operando: x 2 + 2. x + 1 = (2. x + 1)2 2. x 2 + 2. x + 1 = 4. x 2 + 4. x + 1 0 = 2. x 2 + 2. x Resolviendo la ecuación incompleta: 2. x. (x + 1) = 0 Las soluciones son: x 1 = 0 y x 2 = – 1 Un número es x = – 1 y su consecutivo es x = – 1 + 1 = 0 Comprobamos: (-1)2 + (-1 + 1)2 = [ - 1 + (- 1 + 1) ]2 1 + 0 = (- 1 + 0)2 1 = 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 14

Problema 7 • Los alumnos de 4º ESO realizan una excursión, costándoles el autocar 296 €. En el último momento fallan 3 alumnos, costándoles a los demás 0, 60 € más a cada uno. ¿Cuántos alumnos son en total? • • • Sea x = el número de alumnos. 296 ------- = ----- + 0, 60 x– 3 x 296 + 0, 60. x ------- = ----------x– 3 x 296. x = 296. x + 0, 60. x 2 – 888 – 1, 80. x 0, 60. x 2 – 1, 80. x – 888 = 0 Simplificando: x 2 – 3. x – 1480 = 0 Resolviendo la ecuación: x=[3±√(9+5920)]/2 =[3± 77]/2 Las soluciones son: x 1 = 40 y x 2 = – 37, que no vale @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 15

Acertijo ”+2” • • Piensa un número. (Cada alumno pensará un número y lo anotará) (El profesor adivinará todos los números que habéis pensado). Súmale 3 unidades. El resultado lo elevas al cuadrado. Al nuevo resultado le restas 9 unidades. Al nuevo resultado le divides por el número que pensaste. Al nuevo resultado le quitas 8 unidades. • ¿Qué te ha dado la última operación? . • (Cada alumno, por orden dirá lo que le ha dado al final) • Solución: ¿A que si sumas 2 unidades al último resultado obtenido te da el número que pensaste? . Intentar reproducir algebraicamente el acertijo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 16