ECUACIONES U D 4 4 ESO E AC

ECUACIONES U. D. 4 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

ECUACIONES LOGARÍTMICAS U. D. 4. 8 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

Ecuaciones Logarítmicas • ECUACIÓN LOGARÍTMICA EXPLÍCITA • Es aquella ecuación donde interviene alguna expresión logarítmica de forma explícita. Se resuelve mediante propiedades de los logaritmos. • • • Ejemplos 4 – log x = log (x – 1) ln x – ln 10 = ln (x – 2) • ECUACIÓN LOGARÍTMICA IMPLÍCITA • Es aquella ecuación exponencial donde, al no tener sus potencias la misma base, para resolver la ecuación hay que aplicar logaritmos. • • • Ejemplos 3 x = 5 2 x + 3 = 7 x – 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 3

Ecuaciones explícitas • • Resuelve la ecuación: log 4 x = 3 log 2 + 4 log 3 log 4 x = log 23 + log 34 log 4 x = log (23. 34) 4 x = 23. 34 x = 2. 81 = 162 • • Resuelve la ecuación: log (2 x-4) = 3 log (2 x-4) = log 1000 2 x – 4 = 1000 2. x = 1004 x = 502 Resuelve la ecuación: 4 log (3 – 2 x) = – 4 log (3 - 2 x) 4 = – 4 (3 - 2 x) 4 = 10 – 4 (3 - 2 x) = 10 – 1 = 0, 10 3 – 0, 10 = 2. x x = 2, 90 / 2 = 1, 45 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 4

Ecuaciones explícitas • • Resuelve la ecuación: log (x + 1) + log x = log (x + 9) log (x + 1). x = log (x + 9) (x + 1). x = (x + 9) x 2 + x = x + 9 x 2 = 9 x=3 x = – 3, que no vale por dar un log de número negativo. • • • Resuelve la ecuación: log (x 2 + 15) = log (x + 3) + log x log (x 2 + 15) = log (x + 3). x x 2 + 15 = x 2 + 3 x 15 = 3. x x = 5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 5

Ecuaciones explícitas • Resuelve la ecuación: • • Por la propiedad de la división de logaritmos: x log ------- = log 3 x /(x -1) = 3 x = 3 x – 3 3 = 2 x x = 1, 5 x– 1 • Resuelve la ecuación: • • Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3 log x. (x -1) = log 1000 x 2 - x = 1000 x 2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63, 25 x 1 = 32, 125 x=----------- = 2 2 x 2 = – 31, 125, que no vale. @ Angel Prieto Benito log x - log (x-1) = log 3 log x + log (x - 1) = 3 Matemáticas 4º ESO E. AC. 6

Ecuaciones explícitas • • Resuelve la ecuación: log 2 (x 2 - 1) - log 2 (x + 1) = 2 log 2 [(x 2 - 1)/(x + 1)] = log 2 4 (x + 1). (x – 1)/(x + 1) = 4 x– 1=4 x=5 • • Resuelve la ecuación: log (x - a) - log (x + a) = log x - log (x -a) Log [(x - a) / (x + a)] = log [x / (x -a)] (x - a) / (x + a) = x / (x -a) (x - a). (x – a) = x. (x + a) x 2 – 2. a. x + a 2 = x 2 + a. x – 2. a. x + a 2 = a. x a 2 = 3. a. x a = 3. x x = a / 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 7

Ecuaciones explícitas • • • Resuelve la ecuación: log (7 + x 2 ) / log (x – 4) = 2 No existe ninguna propiedad de los logaritmos que nos transforme la división de logaritmos (como tampoco el producto de logaritmos). Debemos pasar el denominador al otro lado para seguir operando. log (7 + x 2 ) = 2. log (x – 4) log (7 + x 2 ) = log (x – 4) 2 (7 + x 2 ) = (x – 4) 2 7 + x 2 = x 2 – 8 x + 16 7 = – 8. x + 16 8. x = 16 – 7 8. x = 9/8 , que no vale pues log (x – 4) no existiría. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 8

Ecuaciones explícitas • Resuelve la ecuación: • • Por la propiedad de la división de logaritmos: x log ------- = log 3 x /(x -1) = 3 x = 3 x – 3 3 = 2 x x = 1, 5 x– 1 • Resuelve la ecuación: • • Por las propiedades de la potencia y multiplicación de logaritmos: log x + log (x -1) = 3 log x. (x -1) = log 1000 x 2 - x = 1000 x 2 - x – 1000 = 0 Ecuación de segundo grado que resolveríamos: 1+/-√(1 + 4000) 1+/-63, 25 x 1 = 32, 125 x=----------- = 2 2 x 2 = – 31, 125, que no vale. @ Angel Prieto Benito log x - log (x-1) = log 3 log x + log (x - 1) = 3 Matemáticas 4º ESO E. AC. 9

Ecuaciones explícitas • • Resuelve las ecuaciones: log 3 x - log 9 x = log 27 3 • Hacemos un cambio de base: • • • log 3 x log 3 3 ----- -- ----- = -----log 3 3 log 3 9 log 3 27 • • • log 3 x log 3 3 ----- - ----- = -----1 2 3 6. log 3 x - 3. log 3 x = 2. log 3 3 3. log 3 x = 2 log 3 x 3 = 2 32 = x 3 • Y por último: 9 = x 3 @ Angel Prieto Benito x = raíz cúbica de 9 = 2, 08 Matemáticas 4º ESO E. AC. 10

Aplicación de logaritmos • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. • • 5 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: • • • x+3 x =8 x+3 x Log 5 = Log 8 (x+3). Log 5 = x. Log 8 (x+3). 0, 698970 =x. 0, 903090 x. 0, 698970 + 2, 096910=x. 0, 903090 - x. 0, 698970 2, 096910 = 0, 204120. x x = 2, 096910 / 0, 204120 x = 10, 2729 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 11

Aplicación de logaritmos • • • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. x– 2 √x 3 =5 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: • • • x– 2 √x Log 3 = Log 5 (x – 2). Log 3 = √x. Log 5 0, 698970 (x-2) = √ x. 1, 464972 Al ser ecuación radical, se eleva todo al cuadrado: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. (x-2). 0, 477121 = √ x. 12

Aplicación de logaritmos • Resuelve la siguiente ecuación logarítmica. • • 5 • Al no ser iguales las bases ni los exponentes, se toman logaritmos: x+4 x 2 =3 • • Log 5 = Log 3 (x + 4). Log 5 = x 2. Log 3 (x + 4). 0, 698970 = x 2. 0, 477121 (x + 4). 1, 4650 = x 2 – 1, 465 x – 5, 86 = 0 Ecuación de 2º grado que resolvemos: • • • 1, 465 +/- √ (2, 1461 + 23, 44) 1, 465 +/- 5, 06 6, 525 / 2 = 3, 2625 x = -------------------- = 2 2 - 3, 595 / 2 = - 1, 7975 • Y comprobamos con la calculadora que x = - 1, 7975 no es válida x+4 @ Angel Prieto Benito x 2 Matemáticas 4º ESO E. AC. 13