ECUACIN LINEAL Clculo de la pendiente de una

ECUACIÓN LINEAL Cálculo de la pendiente de una recta kairoseduca. jimdo. com 1

Ecuación de la recta Es toda igualdad de la forma ax + by = c , donde a, b, c R, representa una ecuación lineal con dos incógnitas llamada ecuación General de la Recta, las soluciones son pares ordenados de la forma (x, y). Este par ordenado (x, y) corresponde a un punto del plano cartesiano. Ejemplo Nº 1 : la ecuación L: x + y - 4 = 0 es la ecuación general de la recta. Grafiquemos L en el plano cartesiano: Tabla de valores y -x 4 y 5 4 3 Gráfico X Y (x, y) 2 2 2 (2, 2) 1 1 3 (1, 3) 0 4 (0, 4) -1 5 (-1, 5) 1 -1 -1 2 3 4 x L Observaciones: 1. A toda ecuación lineal (de primer grado) con dos incógnitas le corresponde gráficamente una recta. Cada par ordenado de números (x, y) corresponde a las coordenadas de un punto que es solución de la ecuación dada, es decir satisface esta ecuación. 2

Ecuación Principal de la Recta Ejemplo: Sea L 2 una recta en el plano cuya ecuación es: 2 x – y – 1 = 0 Despejemos ”y” en la ecuación, para darle la forma principal. 2 x – y- 1 = 0 Ecuación General Despejemos “y” en términos de “x” Si dividimos la igualdad por -1 para que el coeficiente de y no sea negativo Nos queda - y = - 2 x + 1 -Y : -1 = (-2 x + 1): -1 Y = 2 x – 1 se llama Ecuación principal de la recta. Donde: m = 2 n= -1 Importante Tiene la forma y= donde y mx + n y se llama ecuación principal de la recta m es la pendiente de la recta ( ángulo de inclinación de la recta respecto el eje x) n es el intercepto con el eje y eje de las ordenadas o el punto donde la recta corta al eje y. 3

Pero ¿Qué son m y n ? En la ecuación principal encontrada m=2 y n= -1 , significa que la recta tiene pendiente positiva forma un ángulo agudo con el eje “x” y pasa por el punto (0, -1) y 2 1 1 1 2 3 x • ¿Qué es la Pendiente en una recta? • ¿Dónde se aplica la Pendiente de una recta? • ¿Para qué sirve la Pendiente de una recta? 4

ENTONCES CONCLUYENDO • Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x 1, y 1) y (x 2 , y 2 ), • la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas • y la diferencia de las abscisas (x 2 , y 2) de los mismos puntos, es decir: m= y 2 – y 1 x 2 – x 1 (x 1 , y 1) x 2 – x 1 kairoseduca. jimdo. com 5

Cálculo de la pendiente de una recta Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos P 1(x 1; y 1) y P 2(x 2; y 2) y=y 2 - y 1 P 1(x 1; y 1) 0 x=x 2 - x 1 x m= y 2 - y 1 x 2 - x 1

Ejemplo 1 • Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14) Identificamos los valores de x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 m = y 2 – y 1 = 14 – 2 x 2 – x 1 9– 7 12 = 2 =6 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca. jimdo. com 7

Ejemplo 2 • Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3) Identificamos los valores de x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 y 1 x 2 y 2 m = y 2 – y 1 = -3 – 1 x 2 – x 1 9 – (-5) -4 = 14 = -2 7 Reemplazamos estos valores en la fórmula kairoseduca. jimdo. com 8

Ejemplo 3 Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano: En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta (0, 4) Identific amos los valores de x 1 , y 1 , x 2 , y 2 x 1 Reemplazamos estos valores en la fórmula y 1 y ( 5 , 0) x 2 y 2 (0, 4) (5, 0) m = y 2 – y 1 = 0 – 4 = -4 x 2 – x 1 5 – 0 5 kairoseduca. jimdo. com 9

Ejemplos • Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de estos segmentos: 1. A(-6; 1) y B(1; 2) 2. C(-1; 4) y D(3; 1) 3. E(3; 2) y F(8; 2) 4. G(2; 1) y H(2; -3)

VERIFICAMOS LO OBTENIDO y m. CD = -3/4 m. AB = 1/7 m. EF = 0 x m. GH = ¿?

EJERCICIOS I) Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A) (3 , -6) y (-2 , -2) B) (7 , -9) y (0 , -1) C) (-3 , -4) y el origen D) (3 , -4) y ( 2 , -6) II) Encuentre la pendiente de la recta graficada en los siguientes planos: A) B) kairoseduca. jimdo. com 12

Conclusione s 1. Si m>0 la recta l es creciente 2. Si m<0 la recta l es decreciente 3. Toda recta horizontal tiene m = 0 4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.

Ejemplo: Un doctor compro un automóvil nuevo en 1991 por $32 000. En 1994, él lo vendió a un amigo en $26 000. Dibuje una recta que muestre la relación entre el precio de venta del automóvil y el año en que se vendió. Determine e interprete la pendiente.

Ecuación de la recta 1. La ecuación de la recta de pendiente m, y punto de paso (x 1, y 1) es: Y (x 1, y 1) y - y 1 = m(x - x 1) X

Ecuación de la recta 2. La gráfica de una recta de pendiente m y ordenada en el origen b, es: Y y = mx + b b X

Ecuación de la recta 3. • ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA Ax + By + C = 0 La gráfica de una ecuación lineal: Ax + By + C = 0, es una recta, y recíprocamente, toda recta es la gráfica de una ecuación lineal.

Ejercicios: 1. (Prob 10) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3. 2. (Prob 13) Determine la ecuación de la recta que pasa por (-6; 1) y (1; 4). 3. (Prob 30) Determine la pendiente y la intersección con el eje y de la recta determinada por la ecuación x- 9 = 5 y+3. 4. (Prob 15) Determine la ecuación general de la recta que pasa por (3; -1) y (-2; -9).

RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL recta // horizontal al eje X ecuación y=b b a x=a recta // ecuación vertical al eje Y x=a

En resumen: Formas de la ecuación de una recta: • Forma punto pendiente: • Forma pendiente ordenada al origen • Forma general y-y 1=m(x-x 1) y = mx+b Ax + By + C = 0 • Recta vertical x=a • Recta horizontal y=b

Rectas paralelas • Dos rectas l 1 y l 2 cuyas pendientes son m 1 y m 2 , son paralelas (l 1 // l 2) si y sólo si tienen la misma pendiente o si ambas son verticales. Es decir: m 1 = m 2

Rectas perpendiculares • Dos rectas l 1 y l 2 cuyas pendientes son m 1 y m 2 , son perpendiculares (l 1 l 2) si y sólo si el producto de sus pendientes es -1. Es decir: m 1. m 2 = -1 • Además, una recta horizontal y una vertical son perpendiculares entre sí.

Ejercicios: Determine la ecuación de la recta que satisfaga: 1. (Prob. 54) pasa por (3; -4) y es paralela a y= 3+ 2 x.

Ejercicios: Problemas de la pag. 134 -135: 11, 15, 32, 49, 58, 59, 62. PC 1 UPC 2006 -1: Determine la ecuación de la recta que pasa por A(-3; 4) y es perpendicular a la recta que une los puntos B(2; 4) y C(6; 9) ¿cuál de las distancias es mayor de A a B o de A a C? PC 1 UPC 2006 -2: ¿Los puntos P(-1; 7), Q(2; -2) y R(5; 2) están en una misma línea recta. ?

WEBGRAFÍA Adaptado de: • www. salesianosalameda. cl • beta. upc. edu. pe/matematica/. . . /Clase%202. . kairoseduca. jimdo. com 25