EberhardKarlsUniversitt Tbingen Geographisches Institut Seminar Verarbeitung geographischer Daten
Eberhard-Karls-Universität Tübingen Geographisches Institut Seminar: Verarbeitung geographischer Daten II SS 2002 Leitung: Dr. H. -J. Rosner Referenten: Ingrid Eibner, Christian Hümmer, Stefan Roman 11. 07. 2002 Kriging
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Interpolationsverfahren - anhand von punktuell gemessenen Werten in einem Gebiet, werden unbekannte Werte an einem Ort geschätzt - Räumliche Interpolation ermöglicht die Aussage über räumliche Verteilung von Werten
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Beispiele für den Einsatz von Interpolationsverfahren - Hochwasservorhersage es werden Informationen über den Niederschlag der Flusseinzugsgebiete benötigt - Teilspezifische Bewirtschaftung von landwirtschaftlichen Flächen es werden Informationen über räumliche Verteilung von Erträgen und von Stoff- Gehalten im Boden benötigt
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Nichtstatistische Interpolationsverfahren - Ähnlichkeit zwischen räuml. benachbarten Werten - Räuml. nah beieinander liegende Werte weisen eine größere Ähnlichkeit auf, als weit voneinander entfernte - Werte an unerprobten Orten werden anhand der gemessenen Daten und der räuml. Ähnlichkeit geschätzt Unterschied zwischen den einzelnen Methoden: - unterschiedliche Modellierung der räumlichen Zusammenhänge
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygonmethode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Polygonmethode - Untersuchungsgebiet wird in Polygone aufgeteilt (Thiessen- Polygone) - Werte der Beobachtungsvariable innerhalb des Polygons sind gleich
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygonmethode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Nachteile der Polygonmethode - Kein Zusammenhang zwischen Werten in verschiedenen Polygonen - Wert an einem unbeprobten Ort hängt nur vom nächstgemessenen Wert ab, ist jedoch von weiter entfernten Werten unabhängig Entstehung von Sprungstellen basieren nicht auf realen Vorgängen, sondern entstehen durch die Interpolationsmethode (Artefakte)
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Triangulierung - Aufspannen von Ebenen - Durch je drei benachbarte gemessene Werte wird eine Ebene gelegt
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Vorteile der Triangulierungs- Methode - Werte, die in verschiedenen Dreiecken liegen, weisen keinen Zusammenhang auf - Wert an einem unbeprobten Ort hängt nur von seinen drei nächstgelegenen Nachbarorten ab - Es werden nur die drei nächstgelegenen Punkte in die Schätzung miteinbezogen
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Inverse- Distance Methode - der Wert einer Beobachtungsvariable an einem unbeprobten Ort wird durch ein gewichtetes Mittel der benachbarten gemessenen Werte geschätzt - die Gewichte sind dabei proportional zu den Inversen des Abstands zwischen gemessenem und unbeprobtem Ort
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Vorteile der Inverse- Distance Methode - Der Anwender entscheidet wie groß die Reichweite des Zusammenhangs zwischen den Werten der Beobachtungsvariable ist - Danach wird die Anzahl der Nachbarpunkte, die in das gewichtete Mittel einbezogen werden, festgelegt.
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Statistische Interpolationsverfahren - den statistischen Interpolationsverfahren liegt die Annahme über den räumlichen Zusammenhang der punkthaft gemessenen Daten ein geostatistisches Modell zugrunde. - die benachbarte Korrelation zwischen den Messpunkten wird unter der Voraussetzung der Stetigkeit zwischen den Meßpunkten berücksichtigt.
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Stationarität 1. Erwartungswert aller Zufallsvariablen des stochastischen Prozesses müssen gleich sein E[Z(p)] = m für alle p im Untersuchungsgebiet 2. Nicht die absolute geometrischen Lage der Punktes ist wichtig, sondern nur die relative räumliche Lage der betrachteten Punkte zueinander (Distanz, Richtung). Z 3 Z 1 Z 4 Z 2 p 1 d 12 d 34 p 3 p 2 p 4 d 12 = d 34 E{ z 12 } = E{ z 34 }
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Semivarianz Definition: (d) = ½*{ z(p) – z(p+d) } ² (d), Semivarianz für die Distanz d z(p), Variablenwert im Punkt P(x, y) z(p+d), Variablenwert in einem Punkt, der um d von p(x, y) entfernt ist Problem: - muss für alle Punkte des Datensatzes und für alle Distanzen bestimmt werden. Komplexität n. . . Anzahl der Punkte Vereinfachung: Bildung von Entfernungsklassen Bsp. : 0. . . 40 km 40. . . 80 km 80. . .
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Beispiel Entfernungsklassen 1. Einordnen der Distanzen zwischen den Punkten in die zugehörige Klasse 42, 44, 49, 51, 57, 67, 71 40 - 80 2. Berechnung des arithmetischen Mittels von allen Distanzen in einer Klasse 54, 43 3. Bestimmung der Semivarianzen zwischen allen Punkten in der Klasse 6+5+4+3+2+1 = 21 Semivarianzen 4. Berechnung der mittleren Semivarianz einer Entfernungsklasse eine Semivarianz pro Entfernungsklasse
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Räumlicher Zusammenhang Streuen die Werte der Differenz der beiden Zufallsvariablen Z(p) und Z(p+d) stark => kleiner räumlicher Zusammenhang Streuen die Werte der Differenz der beiden Zufallsvariablen Z(p) und Z(p+d) wenig => großer räumlicher Zusammenhang
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Das Variogramm - Funktion des Abstandsvektors d zur Semivarianz - ist in der Regel eine monoton wachsende Funktion - wächst der Abstand zw. den Zufallsvariablen, so sinkt der Zusammenhang zwischen ihnen (d) Schwellenwert (sill) Nuggeteffekt d Aussageweite (range)
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Verknüpfung von Distanz und Semivarianz Z 1 (d) Z 2 (d 12) p 1 d 12 p 2 d (d 12) = ½ { z 1 – z 2 } ²
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Das empirische Variogramm Das Variogramm ist jetzt nur für die Abstandsvektoren geschätzt, für die es Paare in der Menge der beobachteten Stichproben gibt. (d) ? d
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Das theoretische Variogramm Das Variogramm soll aber den gesamten Prozeß charakterisieren; es muss daher auch für solche Abstandsvektoren modelliert werden, die nicht in der Stichprobe vorkommen. (d) d
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Familien von Variogrammen (d) d Sphärisches Variogramm Exponentielles Variogramm Gausssches Variogramm
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Kriging „ Das Kriging- Verfahren ist eine Form der Interpolation durch gewichtete, gleitende Mittelwerte im ein-, zwei- oder dreidimensionalen Raum, die für einen gesuchten punktuellen oder räumlichen Wert den besten linearen, nicht schiefen Schätzwert liefert. “ (Blümel & Scherelies 1988) „Unter Kriging versteht man einen Schätzvorgang, der eine bestimmte Anzahl von Proben in einem Wichtungsprozess so einbezieht, dass die Schätzvarianz zu einem Minimum wird. “ (Akin & Siemes 1988)
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Verschiedene Kriging- Verfahren - Unterscheidung zwischen linearen und nicht linearen Verfahren - Stützung mit Drift und ohne Drift - Kriging - Co- Kriging - Block- Kriging
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Simply Kriging - Simple Kriging kommt ohne Variogramm aus, und ist die räumliche Variante der multiplen Regression - Es wird ein über ganz D konstanter Erwartungswert von Z(x) angenommen und durch den Mittelwert der gemessenen Daten geschätzt - Deshalb heißt Simple Kriging auch Kriging mit bekanntem Mittel.
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Ordinary Kriging - Ordinary Kriging ist das Verfahren das üblicherweise gemeint ist, wenn man von "Kriging" spricht - Es liefert einen BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Z*(x) für die Zufallsfunktion Z(x)
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Ordinary Kriging Eigenschaften -Exakter Interpolator -Fließende Übergänge Nachteile Voraussetzungen -Fehlerbetrachtung hängt vom Variogramm und Datenverteilung ab -Sorgfalt bei der Modellierung der räumlichen Korrelationsstruktur -gute Ergebnisse auch bei wenig Daten -multi-variate Daten können einbezogen werden - glatte zu interpolierende Oberflächen
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Co- Kriging Eigenschaften Nachteile - nutzt zur -erhöhter Schätzung der zu Arbeitsaufwand untersuchenden Variable Korrelationen mit gut beprobten weiteren Variablen Vorteile Voraussetzungen -bessere - max. 3 weitere Ergebnisse besser beprobte durch Variable weitere korrelierende Variablen
1. Interpolation Block- Kriging 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Eigenschaften - benutzt Datenblöcke anstelle von Datenpunkten Nachteile -gröbere Auflösung -liefert bei schwach schwankenden Daten keine genügend strukturierte Oberfläche Vorteile Voraussetzungen -bei starken kleinräumigen Schwankungen ist es sinnvoller Mittelwerte über Blöcke zu berechnen -große Datenvolumen -übersichtliche-re Darstellung -starke Schwankungen
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Krige-Schätzer - man versucht den Wert einer unbekannten Variablen z(p 0), die sich an einem unerprobten Ort p 0 befindet, durch ein gewichtetes Mittel der benachbarten Werte z(p 1), . . . , z(pn) zu schätzen - die Gewichte Wi werden im geostatistischen Mittel so optimiert, daß der Schätzer den wahren Wert des Mittels schätzt, ohne einen systematischen Fehler zu machen - Grundlage hierfür ist neben dem bereits erwähnten geostatisischen Modell, das Variogramm, welches den räumlichen Zusammenhang beschreibt
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Berechnung des Krige-Schätzers Definition des Krige-Schätzers z*(u 0): z*(p 0) = Σ Wi z(pi) Vorraussetzungen: a) Der Schätzfehler ist im Mittel gleich Null E[ F(u 0) ] = 0 b) Die Varianz des Schätzfehlers ist minimal Var [ F(p 0) ] = min { F(p 0) }, wobei W 1, . . . , Wn reelle Zahlen sind
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Berechnung des Schätzfehlers F(p 0) = Z(p 0) - Z*(p 0) = Z(p 0) - Σ Wi Z(pi) Der Schätzfehler hängt von den Gewichten Wi ab Anmerkung: - da der Krige Schätzer im Mittel richtig schätzt, den Schätzfehler im Mittel minimiert und durch das gewichtete Mittel linear ist, wird er BLUE (= best linear unbased estimator) genannt.
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Bestimmung der Gewichte - eine optimale Gewichtung ermöglicht minimale Schätzfehler Vereinfachte Vorgehensweise: - 3 bekannte Werte: Z 1, Z 2, Z 3 - die Gewichte W 1, W 2, und W 3 müssen bestimmt werden W 1 (d 11) + W 2 (d 12) + W 3 (d 13) = (d 1 p) W 1 (d 21) + W 2 (d 22) + W 3 (d 23) = (d 2 p) W 1 (d 31) + W 2 (d 32) + W 3 (d 33) = (d 3 p) wobei (dij) die Semivarianz entsprechend der Entfernung d zwischen den Punkten i und j ist.
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Bestimmung der Gewichte laut Voraussetzung E[ F(p 0) ] = 0, also W 1 + W 2 + W 3 = 1 die Hilfsvariable wird herangezogen um den kleinst möglichen Schätzfehler zu gewährleisten. In Form einer Matrix sieht es dann so aus: (d 11) (d 12) (d 13) 1 W 1 (d 1 p) (d 21) (d 22) (d 23) 1 W 2 (d 2 p) (d 31) (d 32) (d 33) 1 1 0 * W 3 = (d 3 p) 1 - Matrix wird nach der unbekannten W aufgemacht. Die anderen Werte erfährt man aus dem Variogramm.
1. Interpolation Vorteile des Kriging- Verfahrens 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel - es kann sowohl punktuelle Werte schätzen (point kriging), als auch einem Teilgebiet einen Schätzwert zuordnen - ist ein exakter Interpolator die Schätzung an Messpunkten entspricht genau dem gemessenen Wert an dieser Stelle - verträgt unregelmäßig verteilte Messpunkte - Schätzung des Schätzfehlers (Kriterium für die Güte der Schätzung) Krigingvarianz
1. Interpolation 2. Nichtstatistische Interpolationsverfahren 2. 1. Polygon – Methode 2. 2. Triangulierung 2. 3. Inverse- Distance Methode 3. Statistische Interpolationsverfahren 3. 1. Die Semivarianz 3. 2. Das Variogramm 3. 2. 1. Schätzung des Variogramms 3. 2. 1. 1. Schätzung des empirischen Variogramms 3. 2. 1. 2. Modellierung des theoretischen Variogramms 3. 3. Kriging 3. 3. 1. Krige- Schätzer 3. 3. 2. Bestimmung der Gewichte 3. 3. 3. Vorteile des Kriging- Verfahrens 4. Fallsbeispiel Fallbeispiel . . kommt auf Folien
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