EANLI DENKLEML MODELLER EANLI DENKLEML MODELLER Eanl denklem

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER • Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. • Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. • Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir. • Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte yer alan bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

İÇSEL DEĞİŞKEN: • Sistemin bağımlı yani tayin edilen değişkenleridir. değişkenlerin değerleri, modelin dışsal değişkenleri parametreleri tarafından tayin edilirler. Bu ve • Sistemin içinde belirlenmektedir. • Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı değişkenlere içsel değişken denir. olarak etkileyen • Eşanlı modelde denklemlerin hem solunda hem de sağında aynı anda yer alan değişkenlerdir. DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde etkileyici, belirleyici değişkenlerdir. Eşanlı modelde değişkenlerdir. denklemlerin sadece sağında yer alan Tam bağımsız ve gecikmeli içsel değişken olarak iki gruba ayrılırlar.

Örnek 1 1. Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Y 1: Miktar Yağış miktarı(X) Y 2: Fiyat X: Yağış Miktarı Arz Miktarı Y 1 Buğday Fiyatı Y 2 X

Örnek 2 Y=f(X)=a 0+a 1 X +u 1 X=f(Y)=b 0+b 1 Y+b 2 I+u 2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi Yatırım seviyesi X Y I I=

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y 1=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, u 1) Y 2=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, Y 1, u 2) Y 3=f(X 1, X 2, X 3, . . . . Xk, Y 1, Y 2, u 3) • Modelin GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkeni yer alır. • İkinci denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y 1 yer alır. • Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. • Geri dönüşlü modellerin denklemleri tek basit EKKY ile çözülebilir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y 1=a 0+a 1 Y 2+a 3 Y 3+b 1 X 1+b 2 X 2+u 1 Y 2=a 3+a 4 Y 1+a 5 Y 3+b 3 X 3+u 2 Y 3=a 6+a 7 Y 1+a 8 Y 2+b 4 X 2+b 5 X 3+u 3 EŞANLI MODEL Y 1 Y 2 X 1 X 2 X 3 Y 1=a 0+b 1 X 1+b 2 X 2+u 1 Y 2=a 1+a 2 Y 1+b 3 X 3+u 2 Y 3=a 3+a 4 Y 1+a 5 Y 2+b 4 X 1+b 5 X 2+u 3 GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y 3 Y 1 X 1 Y 2 X 2 Y 3 X 3

Geri Dönüşlü Model Y 1=a 10 +b 11 X 1+b 12 X 2+u 1 Y 2=a 20+a 21 Y 1 +b 21 X 1+b 22 X 2+u 2 Y 3=a 30+a 31 Y 1+a 32 Y 2 +b 31 X 1+b 32 X 2 +u 3 • Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. • Farklı hata terimleri arasında ilişki yoktur. kov(u 1, u 2)=kov(u 1, u 3)=kov(u 2, u 3)=0 • Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı Basit EKKY uygulanabilir. • Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. • Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir, bu nedenle nedensel modeller olarak da adlandırılır.

YAPISAL MODEL • Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. • Yapısal denklemler içsel değişkenleri; • Diğer içsel değişkenlerin • Dışsal değişkenlerin ve • Hata teriminin bir fonksiyonu olarak ifade ederler.

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER • Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı = Y 1=a 12 Y 2+a 13 Y 3+……. a 1 MYM+b 11 X 1+b 12 X 2+……. . +b 1 k. Xk+u 1 Y 2=a 21 Y 1+a 23 Y 3+……. a 2 MYM+b 21 X 1+b 22 X 2+……. . +b 2 k. Xk+u 2 Y 3=a 31 Y 1+a 32 Y 2+……. a 3 MYM+b 31 X 1+b 32 X 2+……. . +b 3 k. Xk+u 3 YM=a. M 1 Y 1+a. M 2 Y 2+…. a. MMYM-1+b. M 1 X 1+b. M 2 X 2+……. . +b. Mk. Xk+u. M a= Y içsel değişkenlerinin yapısal katsayıları b= X dışsal değişkenlerinin yapısal katsayıları

EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y 1, Y 2, …. YM= İçsel (Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X 1, X 2, …. . , XK= Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler 1. Değerleri model içinde tayin edilir. 2. Stokastiktir Dışsal Değişkenler 1. Değerleri model dışında tayin edilir. Önceden belli değişkenlerdir. 2. Stokastik değildir. 3. İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri (Yt-1) dışsal değişken olarak kabul edilir (ut hata terimi otokorelasyonsuz olduğunda geçerlidir. ) 4. Xt, Xt-1, Yt-1 dışsal değişkenler grubundadır.

DARALTILMIŞ MODEL ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y 1= f(X 1, X 2, ……. , Xk, v 1) Y 2= f(X 1, X 2, ……, Xk, v 2) Genel Daraltılmış Model YM= f(X 1, X 2, ……, Xk, v. M) Yi = πi 1 X 1+πi 2 X 2+……. +πik. Xk i=1, . . …M Daraltılmış modeldeki dışsal değişken katsayıları( i) kısa dönem çarpanlarıdır.

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: Tanım denklemleri (Özdeşlikler = Eşitlikler) Davranış Denklemleri Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model Ct=a 0+a 1 Yt +u 1 t It=b 0+b 1 Yt+b 2 Yt-1+u 2 t Tüketim Fonksiyonu Yatırım fonksiyonu Gelir Eşitliği Denklemi Yt=Ct+It+Gt Ct , Yt ve It üç içsel değişkendir. Yt-1 ve Gt dışsal değişkenlerdir. C: Toplam tüketim harcaması Y: Milli Gelir I: Yatırım G: Devlet(kamu)harcamaları Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1, Gt)=π1+π2 Yt-1+π3 Gt+v 1 It=f (Yt-1, Gt)=π4+π5 Yt-1+π6 Gt+v 2 Yt=f (Yt-1, Gt)=π7+π8 Yt-1+π9 Gt+v 3

Gelir eşitliği denkleminde 1 ve 2 numaralı denklemler yerine konursa p 7 p 8 p 9 v 3

Daraltılmış Kalıp Denklemleri Ct=f (Yt-1, Gt)=π1+π2 Yt-1+π3 Gt+v 1 π1 π2 π3 It=f (Yt-1, Gt)=π4+π5 Yt-1+π6 Gt+v 2 π4 π5 π6 Yt=f (Yt-1, Gt)=π7+π8 Yt-1+π9 Gt+v 3 π7 π8 π9 v 1 v 2 v 3

Daraltılmış model katsayılarının yapısal parametrelerle elde edilişi :

Yapısal model parametreleri (a, b) ve daraltılmış model parametreleri (p) farklı anlamlıdır. Yapısal parametre, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemdeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkileri gösterir. Yapısal modelin herhangi bir denkleminde açıkca görülmeyen bir değişken o denklemin bağımlı değişkenini dolaylı olarak etkileyebilir.

p 5 daraltılmış parametresine ilişkin doğrudan ve dolaylı etkilerini bulalım: Ct=a 0+a 1 Yt +u 1 t It=b 0+b 1 Yt+b 2 Yt-1+u 2 t Yt=Ct+It+Gt It=f (Yt-1, Gt)=π4+π5 Yt-1+π6 Gt+v 2 Birinci Kısım Etki p 5 Yt-1 deki birimlik artışın yatırım üzerinde yaptığı etkiyi ölçer It=b 0+b 1 Yt+b 2 Yt-1+u 2 t Yt-1→It , İkinci Kısım Etki It Yt It üzerindeki doğrudan etki Toplam Etki = Doğrudan Etki + Dolaylı Etki , Yt Ct

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Yapısal Model Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı Daraltılmış Kalıp Denklemleri: P yalnız bırakıldığında a 0+a 1 Pt+u 1=b 0+b 1 Pt+u 2 P’nin eşitini talep veya arz denkleminde yerine koyarsak p 1 v 1 p 2 v 2

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. EKK / Varsayım-5 : Kov(ui, Xi)=0

EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI 1. kov(Yt, ut) 0 İspatı Kov (Y, u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} - ; E(u)=0

EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI • Eşanlı bir modelde alınacak denklem sayısı, genelde modelin amacının ileriye yönelik tahmin mi yoksa belli parametrelerin en iyi tahminleri mi olduğuna bağlıdır. • Eşanlı bir modelin içsel değişkenlerinin sayısı modelin denklem sayısına eşit olmalıdır. • Dışsal değişken sayısı istenildiği kadar alınabilir. • Ancak değişken sayısının çok fazla artması modeli karmaşık hale getirir.

C: Tüketim Y: Gelir I : Yatırım G: Kamu harcamaları K: Sermaye stoku

Örnek Bu modeldeki içsel ve dışsal değişkenleri belirleyerek modelde Basit EKKY ile tahmin edilebilecek denklemler olup olmadığını tespit ediniz.