E K O 5 0 0 M ATEMATIKA

E K O 5 0 0 M ATEMATIKA E KONOMI PENGOPTIMUMAN TOPIK LANJUTAN TONI BAKHTIAR INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2010

Kendala Ketaknegatifan 2 � Misalkan diberikan fungsi utilitas dengan 1 komoditas: � Ada tiga kemungkinan: Interior solution Boundary solution

Kendala Ketaknegatifan 3 � Syarat orde pertama: � Secara umum,

Kendala Pertidaksamaan 4 � Masalah pengoptimuman dengan kendala pertidaksamaan: � Dapat diubah menjadi kendala persamaan dengan menambahkan variabel dummy atau variabel slack: Dapat diselesaikan dengan metode Lagrange

Metode Lagrange 5 � Definisikan fungsi Lagrange: � Syarat orde pertama:

Metode Lagrange 6 � Karena maka kondisi (2) dapat ditulis menjadi � Kondisi (3) memberikan: � Kondisi (2) dapat ditulis ulang tanpa melibatkan variabel dummy: � Kondisi terakhir bersama-sama dengan kondisi (1) disebut sebagai kondisi Kuhn-Tucker (named after H. W. Kuhn & A. W. Tucker)

Kondisi Kuhn-Tucker 7 � Masalah: � Syarat orde-1 (Kondisi Kuhn-Tucker)

Kondisi Kuhn-Tucker 8 � Masalah: � Fungsi Lagrange: � Kondisi Kuhn-Tucker:

Kondisi Kuhn-Tucker: Trial & Error 9 �Trial and Error: �Jelas x 0 dan y 0, karena x = y = 0 menyebabkan U = 0. �Akibatnya, Fx = Fy = 0:

Kondisi Kuhn-Tucker: Trial & Error 10 �Misal 2 = 0, maka y = x, sehingga y = x = 50 (melanggar kendala x 40). �Haruslah 2 > 0, dan akibatnya F 1 = 0, yaitu 40 x = 0. Diperoleh x = 40 dan y = 60.

Feasible Region 11 y 100 U = xy maksimum 40 100 x

Kondisi Kuhn-Tucker: Minimization 12 � Masalah minimisasi: � Dapat diubah menjadi masalah maksimisasi: � Dengan perubahan ini, kondisi Kuhn-Tucker tidak perlu dimodifikasi

Syarat Orde-2 13 � Masalah: � x* merupakan maksimum global bagi = f(x) jika memenuhi kondisi-kondisi berikut: 1. Fungsi objektif f(x) terturunkan dan konkaf 2. Fungsi kendala gi(x) terturunkan dan konveks 3. x* memenuhi kondisi Kuhn-Tucker