e A Histria de um Nmero Eli Maor

e: A História de um Número Eli Maor Diogo Guilherme

Temas presentes no livro • • • • Origens do logaritmo Matemática financeira (juros) Limite (do muito pequeno ao infinitamente grande) História do cálculo diferencial e integral Séries Método das Fluxões de Newton O cálculo de Leibniz Características das funções exponenciais A família Bernoulli Matemática na Arte e na Natureza A catenária e as funções hiperbólicas Números complexos Os trabalhos de Euler Álgebra Filosofia dos números

Sobre o autor • É um historiador da matemática nascido em 1937 em Israel • Atualmente leciona na Universidade de Chicago (Loyola University Chicago) • É autor de vários livros sobre a História da Matemática: • • • To Infinity and Beyond: A Cultural History of the Infinite The Pythagorean Theorem: A 4, 000 -Year History Trigonometric Delights

Motivação do autor • O autor conhecia vários livros que retratavam a história do número p, mas nenhum que fosse dedicado ao número e. • É um número que está presente em várias áreas da matemática e importante para os estudos das ciências naturais. • Crítica à forma com que a Matemática é ensinada nas escolas que desconsideram a história de sua evolução.

Muito importante • O autor sempre alerta aos leitores que existem discordâncias entre fontes diferentes e que algumas não são muito precisas • Sempre quando conta apresenta uma “história fantástica” sobre as pessoas, o autor cita a fonte e aconselha os leitores a serem críticos

John Napier (1550 -1617): o primeiro “personagem” desta história • Era escocês e teve uma vida voltada à prática religiosa • Era protestante, totalmente contra a Igreja Católica, à qual dedicou um livro inteiramente para fazer críticas • Desenvolveu estudos práticos à agricultura (adubo, sistema hidráulico) • Participou de projetos militares para defender sua terra natal, mas não se sabe se as máquinas imaginadas foram de fato construídas

O que acontecia nos séculos XVI e XVII? • Nesta época ocorreu um enorme avanço científico • O sistema heliocêntrico tinha uma maior aceitação • Gerhard Mercator viaja o circunavega o mundo e faz um novo mapa novo do mundo • Galileu estabelece os alicerces da Mecânica • Kepler fazia seus estudos movimentos celestes

O logaritmo • Os avanços científicos requeriam uma quantidade enorme de cálculos numéricos • Não se tem certeza das intenções de Napier ao desenvolver os logaritmos • A ideia era: dado qualquer número positivo, podemos escrevê-los em potências de um número fixo conhecido (a base) e o produto (ou divisão) dos números seria a soma (ou subtração) de seus expoentes.

O que há de novo? • Para certos números inteiros, este método não era necessário. • Napier construiu uma tabela que usava este método para vários números, inteiros e decimais • O problema foi só a base utilizada para fazer seus cálculos. • A primeira base usada para as tabelas logarítmicas foi 0, 9999999

E depois? • Após a publicação do trabalho sobre os logaritmos, Briggs vai à Escócia à procura de Napier • Briggs propõe algumas mudanças na ideia dos logaritmos, como o uso da base 10 • Briggs então se prontifica para fazer as tabelas com a base 10 • Construção de aparelhos para calcular logaritmos • Difusão do logaritmo no meio científico

A primeira aparição do número e • O número e manifestou-se pela primeira vez relacionado com uma das maiores preocupações da humanidade até os dias atuais: $$ O dinheiro $$ “Se emprestares dinheiro a alguém do meu povo, a um pobre que vive ao teu lado, não agirás como um agiota. Não lhe deves cobrar juros. ” Exôdo 22: 25

Mas como assim? • O número e apareceu primeiramente em problemas que envolviam juros compostos • Primeiro, o autor apresenta um problema de juros da época dos babilônicos. • Após explicar a operação de juros compostos, o autor apresenta a expressão que fornece o montante após um período de aplicação

• Para uma transação hipotética, onde r = 1, t = 1 ano e P = R$ 1, 00, a expressão fica simplesmente: • O autor chama a atenção para o caso em que • Em seguida, ele faz uma tabela da expressão acima com o valor de n crescendo

Um pouco sobre a história do Cálculo • O livro retorna aos tempos de Arquimedes para contar um pouco sobre os métodos desenvolvidos para calcular o valor de p e o cálculo de áreas • Segundo o autor, o desconhecimento da álgebra pode ser um dos motivos que não levaram os gregos a desenvolver o cálculo. • Os gregos tinham dificuldades em aceitar que uma soma infinita convergia para um limite finito (o autor discute um dos paradoxos de Zenão)

• Dando um grande salto, em 1593 aparece o primeiro processo infinito escrito explicitamente como uma fórmula matemática • Várias destas foram criadas para se calcular o valor de p • Kepler fez alguns estudos que envolviam o uso de elementos indivisíveis (sua 2ª Lei e volume de sólidos) • Segundo o autor, Kepler deu um grande avanço no desenvolvimento do cálculo

A quadratura da hipérbole entra na história • Dentro deste contexto, o autor discuti vários temas pertencentes à Matemática • Explicação do processo de quadratura, desde a origem • Preocupação com a quadratura da hipérbole • As cônicas e as representações após o desenvolvimento da Geometria Analítica. • A vida e obra de Descartes

• Fermat foi uma das pessoas que se preocuparam com a quadratura de curvas cuja equação era y = xn, com n inteiro positivo • Fermat chegou a um método que resolvia o problema para qualquer função cujo para qualquer valor de n, exceto n = -1 • Em 1647, Grégoire percebeu que a área sob uma hipérbole (y = x-1) tem uma relação com a função logarítmica (sendo esta, talvez, o seu primeiro uso) • Só faltava ter certeza que a função logarítmica realmente dava a área sob a hipérbole

O grande confronto Newton Leibniz X

Método das fluxões de Newton • O cálculo de Newton foi caracterizado basicamente por um ponto se deslocando sobre um plano cartesiano, ou seja, duas variáveis se relacionando através de uma equação. • Após estruturar sua ideia de fluxão, ele pensou sobre o processo inverso: encontrar o fluente. Algo como encontrar “aquilo que fluiu” no tempo.

Notação Para um intervalo de tempo e, ficamos com: Para a função , obtemos:

Notação

Idéia sobre o cálculo de Leibniz • Idéia mais abstrata que a Newton; • Pensava no cálculo como o acréscimo de pequenas taxas, os diferenciais. • Quanto menor forem os diferenciais, mais próxima da curva estará a reta tangente.

Triângulo característico

Notação

Notação

Notação Generalizando:

Disputa pela patente • Newton não tinha o costume de publicar seus trabalhos, sempre os mantinha restrito ao seu grupo dentro da universidade • Leibniz sempre que possível publicava seus trabalhos.

Disputa pela patente • Segundo o autor, Newton já havia terminado o seu cálculo 10 anos antes de Leibniz publicar. • Pessoas ligadas a Newton mostraram para Leibniz uma parte de seu trabalho • Newton sempre acusou Leibniz de plágio e tentou mostrar este ato mesmo após a morte deste.

Consequências • Grande escassez na matemática e na ciência britânica nos séculos subsequentes, devido ao isolamento causado pela disputa. • Enquanto isto, matemáticos na Europa continental aderem à notação de Leibniz que foi mais bem difundida. • Mas mesmo assim, alguns matemáticos e cientistas debatiam sobre o autor “original” do cálculo

Casos de família • Oito integrantes da família se empenharam no estudo da matemática e da física • Três deles tiveram grande destaque: Jakob I (Jacques ou James), Johann I (Jean ou John) e Daniel I • Johann I era irmão de Jakob I; Daniel I era filho de Johann I • Johann I foi o professor de L’Hospital, o mesmo da polêmica regra de mesmo nome

Os integrantes da família Bernoulli

• Ocorreram várias intrigas entre os familiares, principalmente entre Jakob e Johann • Uma das disputas entre os irmãos envolvia o problema de ciclóides: “encontrar a curva ao longo da qual uma partícula deslizará sob a força gravitacional no menor tempo possível” (braquistócrona)

• O problema, segundo o autor, teve cinco soluções diferentes, dados por: Newton, Leibniz, L’Hospital e os dois irmãos Bernoulli. • Porém, a solução de Johann apresentava um erro, corrigindo-o usando um dos resultados obtidos por Jakob, sem dar mencioná-lo, possivelmente piorando assim, a situação entre os dois • A braquistócrona é um caso particular das ciclóides

• Os Bernoulli eram defensores dos estudos de Leibniz, com quem se correspondiam • Não bastasse as brigas com o irmão, Johann teve um péssimo relacionamento com o filho Daniel, por este ter um destaque maior • É creditado a Daniel a relação entre pressão e velocidade de um fluido em movimento

Spira Mirabilis: A espiral logarítmica • Dentre os estudos de Jakob, encontramos o fascínio dele pela espiral logarítmica • O autor apresenta vários detalhes desta curva: suas propriedades, particularidades, matemáticos que a estudaram

• Imagine quatro insetos posicionados nos cantos de um quadrado. Ao tocar um apito, cada inseto começa a se mover em direção ao seu vizinho. Quais são as trajetórias dos insetos e onde eles irão se encontrar? • A trajetória das quatro é uma espiral logarítmica. • Além desta situação, o autor comenta sobre outras aplicações da função

Um encontro fictício • Dentro do contexto da espiral logarítmica, Eli Maor cria uma pequena história, contando como seria um encontro entre Johann Bernoulli e Johann Sebastian Bach • Sabastian havia feito estudos referentes às frequências das notas musicais da escala maior e percebeu que havia algumas incoerências • Ele então propõe uma escala temperada composta por 12 notas no lugar da escala de 7 notas.

• Após uma breve conversa entre os dois, eles concluem a escala musical temperada sendo representada por uma espiral logarítmica

Além da espiral: a catenária • Jakob Bernoulli propõe em 1690, um problema cuja solução é uma catenária: “encontrar a curva formada por um fio pendente, livremente suspenso a partir de dois pontos fixos” • Apareceram três soluções corretas: Huygens, Leibniz e Johann Bernoulli.

• As tensões entre os irmãos pioraram e um tempo depois Jakob apresenta uma solução para espessuras variáveis • Na época da resolução do problema, o número e ainda não possuía um símbolo • Apenas em 1757, Riccati apresenta uma notação para a catenária, assim como para uma função semelhante

Parecidas mas nem tanto • Riccati inicia um estudo das funções hiperbólicas e percebe que há muitas semelhanças destas com as funções trigonométricas Funções hiperbólicas

Funções trigonométricas Funções hiperbólicas

• As funções hiperbólicas não apresentam periodicidade como as funções trigonométricas • Os parâmetros x e y não podem ser interpretados como ângulos quando nos referimos às funções hiperbólicas, mas pode representar o dobro da área de um setor hiperbólico • O autor apresenta uma notação diferente para representar

Um amigo dos Bernoulli • A família de Leonhard Euler (nascido em 1707)possuía um laço com os Bernoulli. • O pai de Euler estudou matemática com Jakob • Euler teve aulas com Johann e se tornou amigo de seus dois filhos, Daniel e Nicolaus.

Alguns trabalhos de Euler • Euler desenvolveu estudos sobre a teoria dos números (matemática pura) e sobre a mecânica analítica (matemática aplicada) • Fez um trabalho sobre funções, no qual introduziu sua definição e sua notação, usada atualmente • Possivelmente foi o primeiro a usar a letra “e” para se referir ao número 2, 71828. . . • Representou a função exponencial como uma série de potências

• Segundo o autor, Euler começou a “brincar” com as relações matemáticas, fazendo alguns procedimentos não muito corretos • Primeiramente substitui x na função exponencial por ix, obtendo uma função exponencial imaginária • Escrevendo-a em séries de potências e rearranjando os termos, chegou à relação: • A demonstração formal desta relação só ocorreu tempos depois

No campo dos números complexos • O autor faz um breve histórico referente aos problemas que envolviam raiz quadrada de um número negativo • A partir de então ele apresenta vários estudos que envolvem o número i: Ø Ø representações polares; logaritmo de números negativos [ln(-1)] e de números imaginários [ln(i)] potências imaginárias de números imaginários [ii] funções complexas

Por fim. . . O autor faz uma discussão sobre a filosofia e um histórico dos números, discutindo a visão que alguns povos e matemáticos tiveram sobre os números, assim como a “natureza” dos mesmos, focando-se mais no número e, apresentando suas particularidades e importância à ciência e à matemática