Dzlem Geometriye giri Kitabi giri Geometrinin tanm Terim

(Düzlem) Geometriye giriş: Kitabi giriş: Geometri’nin tanımı Terim, tanımsız terim, önerme nedir? İspat, aksiyom , teorem nedir? Nokta, doğru, düzlem terimleri. Doğrusal noktalar, kesişen doğrular, . . ENDER ÖZDEMİR

Önerme nedir, ne değildir? Doğru ya da yanlış fark etmez , bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir. . • Örneğin, biraz önce okuduğunuz cümle de bir önermedir. • Hüküm bildiren ifadelere, dilimizde önerme denmiyorsa da, o cümle matematiksel anlamda bir önermedir.

• Doğru ya da yanlış fark etmez, bir hüküm bildiren ifadelere armut denir cümlesi de bir önermedir. • Her üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 190 derecedir önermesi gibi, yanlıştır ama nihayetinde bir önermedir. • Karenin kenar uzunlukları birbirine esittir cümlesi de bir önermedir, ama bu doğrudur.

• Önermede bildirilen hüküm doğruysa önermeye doğru önerme, yanlışsa yanlış önerme deriz. • Önermeler soru, emir, ünlem, istek bildiremezler. • Yani, bu paragrafta geçen cümlelerin kaçı önermedir? cümlesi bir önerme değildir. • Çünkü doğru ya da yanlış bir hüküm bildirmiyor.

Teorem nedir? • Geometri Derslerimizde zamanı gelince kanıtlar vereceğiz ve doğruluğunu kanıtladığımız bu önermelere teorem diyeceğiz. • Yani anlayacağınız, doğruluğu kanıtlanmamıs önermeler teorem olamazlar.

Aksiyom nedir? • Bir önermenin doğruluğunu kanıtlarken doğal olarak önceki teoremlerden yararlanırız. • Önceki teoremlerin kanıtını da daha önceki teoremlere dayandıracağımızdan ilk birkaç önermeyi doğru kabul etmek zorunda kalacağız. • İşte doğruluğunu kabul etmek zorunda kalacağımız ve kanıtlayamayacağımız bu önermelere aksiyom veya belit adını vereceğiz. • Unutmayınız ki; aksiyomlar, kanıtlanamayan veya kanıtına gerek duyulmayan temel ilkelerdir. Bu nedenle rastgele önermeleri aksiyom kabul edemeyiz. • Aksiyomlar basit ve iyi anlaşılır, olabildiğince az sayıda, bununla birlikte birbirinden bağımsız yani birinden elde edilemeyen, birbirini tamamlayıcı ve sonuçları birbiriyle çelişkisiz olmalıdır.

• Aksiyomları matematiğin açık yanları gibi düşünmek abesle iştigalden başka bir şey olamaz. • Zira biz matematikçiler, kanıtlayamadığımız şeylere aksiyom diyor değiliz, sadece ona veya ona ama birine aksiyom demeliyiz diyoruz. • Çünkü mutlaka dön-dolaş bir şeyleri doğru kabul etmek zorunda kalıyoruz. Aslında hangisini seçelim diye düşündüğümüz şeylerin hepsi doğru. • Teşbihte hata olmasın, olmasın ateistleri aksiyomlara inanmayanlar olarak görüyorum. Çünkü onlar her şeyin kanıtını istiyorlar. • Adı üstünde, inananlar, tüm kanıtları görüp, kanıtlanamayacak olanları da öyle bilip, öyle inananlardır.

Tanımsız kavramlar neden tanımsız? • Buradaki durum da aslında aksiyom-teorem ilişkisi-ne çok benziyor. • Aksiyom da olsa teorem de olsa, bunu kanıtlamaya soyunan birinin başlangıçta önermeyi anlaması lazım. Yani, önermeyi oluşturan kelimeleri veya matematiksel ifadeleri bilmesi lazım ki anlasın. • İşte neyin ne olduğunu anlamak için önce tanımlar vereceğiz; örneğin açıyı, üçgeni tanımlayacağız. Bunu yaparken başka kavramları kullanmak zorunda kalacağız. • Bu kavramlar da daha başka kavramlara dayanacağından sonunda bazı kavramları tanımsız olarak kabulleneceğiz. • Kabullenmeliyiz de. İşte bu ilkel kavramlara tanımsız kavramlar diyeceğiz. Geometrimizde bu tanımsız kavramların sayısı 3 tane.

Nokta: • Geometrimizde bu eleman tanımsız kavramlar arasında yer almaktadır. David Hilbert’ten önceki matematikçiler, diğer iki kavram gibi noktayı da tanımlamak için boşuna çaba harcamışlardır. • Aşağıda bazı matematikçilerin nokta için vermiş oldukları tanımları ve bu tanımlarda açıklamaları daha zor olan başka kavramların yer aldığını göreceksiniz. • • EUCLID: ‘’Nokta parçasız nesnedir. ’’ LEGENDRE: ‘’Çizgilerin ucuna nokta denir. ’’ ROCHE: ‘’Çizgilerin arakesitine nokta denir. ’’ Noktanın tanımı için açıklamaları hiç de kolay olmayan ‘parça’, ’çizgi’, ’uç’, ’arakesit’ gibi kavramlar yer almaktadır

Doğru: • Bu da bir başka tanımsız kavram ama doğruyu tanımlamak için de nafile uğraşlar verilmiş: • EUCLID: ‘Doğru, noktalarına göre düzgün yayılan nesnedir. ’ • HERON: ‘Sabit tutulan iki nokta etrafında döndürüldüğünde durumunu değiştirmeyen nesneye doğru denir. ’’ • GRASSMANN: ‘Hareketi esnasında yönünü koruyan bir noktanın çizdiği çizgiye doğru denir. ’’ • LEGENDRE: ‘’Doğru, iki nokta arasındaki en kısa yoldur. ’ • BARBARIN: ‘İki noktasıyla tamamen belirli nesneyedoğru denir. ’ • Bu tanımlarda da durum, noktanınkiyle aynıdır.

Düzlem: • Geometriye başlamak için sonuncu tanımsız kavramımız. • EUCLID: ‘’Düzlem doğrularına göre düzgün yayılan nesnedir. ’’ • LEIBNIZ: ‘’İki noktaya uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik yerine düzlem denir. ’’ • THEON – SIMSON - LEGENDRE: ‘’Düzlem, herhangi iki noktasından geçen doğruyu içine alan yüzeydir. ’’ • DUHAMEL: ‘’Bir noktadan bir doğruya dik olarak çizilen doğruların geometrik yerine düzlem denir. ’’ • Nokta ve doğru tanımsız olarak alındığında düzlemin tanımlanması için başarılı çalışmalar yapılmıştır. • (GAUSS – CRELLE – VERONESE – PEANO -VEBLEN). • Böyle bir tanımı vermek uzun süreceğinden biz de Hilbert’e katılarak düzlemi tanımsız nesne olarak alacağız.

• Eğer nokta ve doğrunun ne olduğunu sözlükten öğrenmeyi kendiniz deneyecek olsanız, örneğin Türk Dil Kurumu’nun sözlüğünde nokta için şu tanımı bulacaksınız: ‘Nokta: Hiçbir boyutu olmayan işaret. ’ • Noktanın tanımı boyut kavramına dayandırıldığı için boyutun ne olduğunu anlamak ister ve sözlükten sunu okursunuz: • Boyut: Doğruların, yüzeylerin veya cisimlerin ölçülmesinde ele alınan üç doğrultudan yani uzunluk, genişlik ve derinlikten biri. ’ • Boyut kavramının ‘’doğru’’, ‘’yüzey’’, ‘’ölçü’’, ‘’doğrultu’’, ‘’uzunluk’’, ‘’genişlik’’, ‘’derinlik’’gibi kavramlar yani sonuç olarak ‘‘nokta’’ nın tanımının ‘‘doğru’’ kavramına ve ‘‘doğru’’ kavramının da ‘‘nokta’’ kavramına dayandırıldığını görmüş oluyorsunuz, • O halde ‘‘nokta’’, ‘‘doğru’’ve ‘‘düzlem’’i tanımsız nesneler olarak ele almak zorundayız.

• Son