Dydaktyka kognitywistyczna Wykad 7 Matematyka czyli krlowa nauk

Dydaktyka kognitywistyczna Wykład 7: Matematyka czyli „królowa nauk” Matematyka, jako umiejętność czytania liczb Część I: Logika, czyli umiejętność rozumowania Grzegorz Karwasz, Zakład Dydaktyki Fizyki, UMK dydaktyka. fizyka. umk. pl/Cogito „Pedagogika Medialna” Wydział Nauk Pedagogicznych Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu (C) Grzegorz Karwasz, 2017

Motywacja (1): J. Bruner – poszukiwanie teorii nauczania w matematyce • • • W niniejszym szkicu postaram się sformułować kilka prostych twierdzeń na temat istoty nauczania. Będę je ilustrował przykładami z nauczania i uczenia się matematyki. Jeżeli wybrałem w tym celu matematykę, zrobiłem to nie dlatego, bym ją uważał za dyscyplinę typową, gdyż matematyka ogranicza się do ściśle sformułowanych problemów i nie zajmuje się ich empirycznym sprawdzaniem w drodze doświadczeń lub obserwacji. Wybrałem ją dlatego, że matematyka stanowi prosty i przystępny przykład ilustrujący pewien – z konieczności uproszczony – zestaw tez na temat nauczania i uczenia się. […] Teoria nauczania musi określać sposoby nadawania dowolnemu zasobowi wiedzy takiej struktury, która czyniłaby tę wiedzę najłatwiej przyswajalną dla ucznia. [. . . ] Wartość struktury zależy od tego, czy posiada zdolność upraszczania informacji, tworzenia nowych twierdzeń oraz rozszerzania operatywności danego zasobu wiedzy; struktura musi być zawsze dostosowana do sytuacji ucznia i jego uzdolnień. J. Bruner, W poszukiwaniu teorii nauczania, PIW, 1974, str. 63 -65

Motywacja (1): J. Bruner – matematyka jako uproszczanie sposobu opisu świata • „Kategoria ekonomii w odniesieniu do sposobu przedstawiania jakiejś dziedziny wiedzy dotyczy kwantum informacji, które umysł musi wchłonąć i przetrawić, by osiągnąć zrozumienie. • - Np. znajomość połączeń lotniczych dostępnych między pięcioma miastami, Albany, Boston, Concord, Danbury i Elmira: z Bostonu do Concord z Danbury do Concord z Albany do Bostonu z Concord do Elmiry z Albany do Elmiry z Concorde do Danbury z Bostonu do Albany z Concord do Albany • „Jaką drogą można odbyć najkrótszą podróż powrotną z Albany do Danbury? ” J. Bruner, op. cit. str. 77 -78

Motywacja (1): J. Bruner – matematyka jako uproszczanie sposobu opisu świata Np. znajomość połączeń lotniczych dostępnych między pięcioma miastami, Albany, Boston, Concord, Danbury i Elmira: - z Bostonu do Concord - z Danbury do Concord - z Albany do Bostonu - z Concord do Elmiry - z Albany do Elmiry - z Concorde do Danbury - z Bostonu do Albany - z Concord do Albany • „Jaką drogą można odbyć najkrótszą podróż powrotną z Albany do Danbury? ” B A C E A B D Elmira jest pułapką C D E

Motywacja (2): Matura 2017 170 minut/ (26 stron + 34 zadania) < 3 minuty na zadanie/ stronę Jest to mniej więcej standard egzaminu na wyższej rangi urzędnika UE. Dla maturzystów sugerowana pomoc naukowa – po prawej…

Systemy oświatowe, nie tylko w Anglii, i to od pierwszej klasy, są zorganizowane tak, jakby wszyscy mieli zostać profesorami uniwersyteckimi… ani podstawa ani wykładnik nie jest taki sam - trzeba szybko coś strzelić: A pierwiastków nie wolno odejmować: trzeba szybko coś strzelić: C na co komu logarytmy, i to o podstawie „ 2”: chybił/ trafił !

A czy coś jeszcze w „programie”* matematyki uda się znaleźć? Co z tych zadań kształtuje kompetencje inne niż matematyczne? Innymi słowy, co z tej wiedzy przyda się uczniowi „w życiu”? *gdzie przez „program” nazywamy, co CKE przyszło do głowy wstawić jeszcze do matury…

Potęga matematyki: lot Voyagera Dwie sondy, wysłane w 1977 roku, przeleciały w ciągu 12 lat, jak po sznurku 6 mld km koło wszystkich większych planet i poszybowały w międzygwiezdny kosmos. Parę lat temu dotarły do granic Układu Słonecznego, i nadal działają

Lot do Plutona (2005 -2015) Zdjęcia Plutona wykonane 13. 07. 2015 r. przez sondę New Horizons Odległość do Plutona: 30 j. a. (x 150 mln km = 4, 5 mld km Sonda przeleciała w odległości 12 500 km (= średnica Ziemi) od Plutona To jakby trafić piłką golfową w dołek z odległości 45 km

Potęga matematyki: piramida Cheopsa Egipcjanie (2, 5 tys. p. n. e. ) znali twierdzenie Pitagorasa, liczbę π (budowali koła!) i położenia gwiazd (w tym Polarnej, którą był wówczas Tuban) http: //guardians. net/hawass/articles/news_on_the_robot_Dec_2005. htm http: //www. greatdreams. com/dogstar. htm

„Matematyka dla oby-wateli” „Czy można zacząć prezentację książki o Matematyce, rozpoczynając od jej trudności? Mało wskazane dla celów promocji… Pomijając obecne i pilne problemy, związane z relacjami w klasie szkolnej i środowisku, powodem zasadniczej trudności jest rozbieżność między programami, treściami i sposobami nauczania z jednej strony, a percepcją, czego „należy” nauczać. Programy, treści i sposoby nauczania wykazują mierne skłonności do dostosowania się, mają szybkość zmian inną (znacznie wolniejszą) niż percepcja przedmiotu przez nauczyciela. […] Również we Włoszech, wreszcie, wskaźniki przesuwają się w tę stronę. Nauczanie matematyki, w szczególności, nie jest już zarezerwowane dla przyszłych klas rządzących, dla przyszłych nauczycieli, ale skierowane do młodzieży, która w czasie swego życia wykonywać będzie zupełnie inne zawody. Matematycy są przekonani, że ich język, ich logika, ich instrumenty ukazują się użyteczne również dla obywatela – to jest trzecie słowo kluczowe – czyli dla osoby, która niekoniecznie będzie nauczycielem czy naukowcem. Matematyka służy w codziennym życiu. Służy do rozwiązywania określonych sytuacji, jest potrzebna jako „umysłowy garnitur” (tj. wyposażenie). Jest szóstym zmysłem, jeszcze jednym kanałem komunikacji i interpretacji rzeczywistości. ” Angelo Guerraggio, Wstęp, w: Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadini, Zanichelli, Bologna, 2008, str. 7 tłum. GK

„Matematyka dla oby-wateli” 1. Kwadrat magiczny (Chiny, IV w. p. n. e. : suma w wierszach, w kolumnach i po przekątnych jest taka sama Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadini, Zanichelli, Bologna, 2008, str. 12 English: The "Mystic Tablet". According to Carus' explanation, it contains, on the shield of a tortoise (alluding to the animal that has revealed the Eight Trigrams to Fu Xi, and which was, in more canonical accounts, a "dragon horse") a chart with the 8 Trigrams, the 12 figures of Chinese animal cycle, etc. The centerpiece is another, smaller, tortoise, the one that revealed the Luoshu magic square to Yu the Great. https: //en. wikipedia. org/wiki/Lo_Shu_Square#/media/File: Carus-p 48 -Mystic-table. jpg

Kwadrat magiczny Lo Shu: używa wszystkich liczb, od 1 do 9 i suma wynosi 15 7 5 4 5 6 4 =15 5 6 4 8 4 3 8 5 6 4 2 3 5 7 8 0 7 6 4 5 6 2 3 10 2 prawie dobrze…

Kwadrat magiczny Lo Shu: używa wszystkich liczb, od 1 do 9 i suma wynosi 15 4 5 3 5 7 3 =15 5 7 8 4 3 8 5 6 2 4 9 2 8 1 6 7 3 5 7 6 8 1 6 4 9 2 =15 też dobrze…

Operacje symetrii 8 1 6 3 5 7 4 9 2 +1 5 10 3 4 6 8 9 2 7 =18 Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadini, Zanichelli, Bologna, 2008, str. 12

Matematyka: królestwo symboli a b c d 5 e f g h a + b + c = 15 d + e = 10 f + g + h = 10 a + d + f = 15 b + g =10 c + e + h = 15 a + h = 10 c + f = 10 8 równań, 9 niewiadomych → układ równań ma więcej niż jedno rozwiązanie Rozwiązując ogólnie, otrzymujemy warunek, że suma „kontrolna” musi spełniać warunek 3 k, gdzie k jest liczbą w komórce centralnej. Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadino, Zanichelli, Bologna, 2008, str. 12

Logika: Zabawa w myślenie Zdzisław Nowak, Po rozum do głowy (wesoła logika). Zagadki, algebrafy, anegdoty, łamigłówki. Wydawnictwo Harcerskie, Warszawa, 1970

Matematyka: narzędzie analiz • „Sylwia zmienia mieszkanie. Z trzech przedsiębiorstw transportowych otrzymała oferty przeprowadzki. ” • Przedsiębiorstwo A: do 200 kg opłata stała 500 zł; powyżej 200 kg – opłata stała 500 zł i 1 zł za każdy kilogram powyżej 200 kg. • Przedsiębiorstwo B: opłata stała 425 zł + 0, 75 zł za każdy kg • Przedsiębiorstwo C: - do 300 kg opłata stała 400 zł + 1 zł/kg; powyżej 300 kg opłata stała 700 zł + 0, 5 zł za każdy kg powyżej 300 kg. • Jaka przedsiębiorstwo należy wybrać, jeśli do przetransportowania jest t=400 kg? A: K = 500 gdy< 200 kg; K = 500 +1∙(t-200) gdy t>200 B: K = 425 +0, 75 t C: K = 400 + 1 t, gdy t<300; K=700+0, 5∙(t-300) Sprawdźmy warunki „zszywania”. A: 500 zł dla 200 kg. C: 700 zł dla 300 kg • Uratuje nas tylko wykres… Wykres z Excella jest nieco tragiczny… Odp: Firma A Barozzi et al. str. 63 400 kg

Matematyka: kształtowanie wyobraźni Czterech uczniów ogląda szkołę z różnych stron. Przypisz osobom określone widoki Barozzi et al. Rozwiązanie: 1=B, 2=C, 3=A, 4=D

Wspólne urodziny: prawdopodobieństwo • • • „Jakie jest prawdopodobieństwo, że w 30 -osobowej klasie znajdują się dwie lub więcej osób obchodzących urodziny w tym samym dniu? Większość sądzi, że jest ono bardzo małe, chociaż w istocie tak nie jest. Rozpoczniemy od obliczenia, że dwie osoby nie obchodzą urodzin tego samego dnia. ” Prawdopodobieństwo, że pierwsza osoba obchodzi urodziny w jakiś dzień w ciągu roku wynosi 365/365 Prawdopodobieństwo, że druga osoba nie obchodzi urodzin tego samego dnia jest 364/365 (może ona obchodzić w jakikolwiek dzień, oby nie w ten sam). Łączne prawdopodobieństwo wynosi (365/365)x(364/365)=0, 9973 Prawdopodobieństwo, że trzy osoby obchodzą urodziny w różnych dniach wynosi 365/365)x(364/365)x(363/365)=0, 9918 Prawdopodobieństwo, że żadna z 30 osób nie obchodzi urodzin tego samego dnia wynosi (365/365)x(364/365)x…(336/365)=0, 2937 Co oznacza, że prawdopodobieństwo, że przynajmniej dwie osoby z 30 obchodzą urodziny tego samego dnia wynosi 1 - 0, 2937 = 0, 7063 Przy 40 osobach w klasie prawdopodobieństwo wspólnych urodzin wynosi 89%! Pere Grima, Absolutna pewność i inne funkcje. Tajniki statystyki. RBA Barcelona, 2010, Seria: Świat jest matematyczny, str. 73

Wacław Sierpiński: Fraktale http: //winnersedgetrading. com/how-to-trade-the-fractal-indicator , https: //commons. wikimedia. org/w/index. php? curid=322029

Funkcje wykładnicze (kredyt hipoteczny) Adam i Ewa kupują mieszkanie i chcą zaciągnąć kredyt hipoteczny na kwotę 200 tys. zł. • • W Polsce, w odróżnieniu od wielu innych krajów, są one niezwykle wysoko oprocentowane. Oprocentowanie rzeczywiste przekracza często 5% w skali rocznej. Zarobki Adama i Ewy wynoszą łącznie 5 tysięcy miesięcznie. Bank A proponuje kredyt na 12 lat. Bank B – kredyt na 24 lata. Dokonaj zgrubnego oszacowania sumarycznej wielkości odsetek w obu przypadkach. Wiemy, że bank życzy sobie najpierw spłaty odsetek, a dopiero później zaczyna odliczać kwotę podstawy oprocentowania. Załóżmy, dal zgrubnego przybliżenia, że spłata kwoty kredytu zaczyna się po upływie 2/3 okresu Oblicz sumaryczną kwotę do spłaty (z odsetkami). Oblicz ratę miesięczną. Oblicz kwotę dostępną miesięcznie dla Adama i Ewy na wydatki, po odliczeniu spłaty raty i kosztów bieżących mieszkania (gaz, woda, prąd).

Funkcje wykładnicze (c. d. ) • Odsetki 5% rocznie oznaczają, że po roku kwota kredytu zostaje pomnożona o 1, 05, w kolejnym roku znów o 1, 05 itd. Np. po 10 latach daje to (1, 05)10 = 1, 629 (w przybliżeniu) W zadaniu, dla ułatwienia obliczeń przyjęliśmy, że cała kwota kredytu podlega oprocentowaniu przez 2/3 jego trwania, czyli 16 lat w pierwszym przypadku i 8 lat w drugim. • Jeśli nie mamy kalkulatora, który pozwala znaleźć bezpośrednio (1, 05)8 (i nie chce się nam mnożyć 8 razy 1, 05), możemy skorzystać z klawisza x 2 na kalkulatorze, korzystając z zależności x 8 = x 2∙ 2∙ 2 = ((x 2)2)2 • Na kalkulatorze piszemy 1, 05, po czym przyciskamy 3 razy x 2 lub 4 razy (dla x 16). Oto wyniki oba

Funkcje wykładnicze (c. d. ) • • • Obliczmy teraz całkowite kwoty do spłaty przy kredycie 200 tys. zł A = 200 tys. ∙ 1, 477 = 295 tys. (czyli 95 tys. odsetek) B = 200 tys. ∙ 2, 183 = 436 tys. (czyli 236 tys. Odsetek) • • • Miesięczne raty wyniosą: A = 295 tys. /(144 miesiące) = 2052 zł/ mies. B = 436 tys. / (288 miesięcy) = 1514 zł/ mies. Odp. W tym modelu matematycznym, mimo znacznie większych odsetek, „opłaca się” zaciągnąć kredyt na 24 lata. Uwaga 1! W przypadku kredytu na 48 lat, miesięczne raty, przy tych założeniach, wyniosłyby 1654 zł a całkowita kwota do spłaty 953 tys. zł (czyli czterokrotnie więcej, niż zaciągnięty kredyt). Sprawdź! Uwaga 2! Przy stopie procentowej 8% raty kredytu przy 12 latach kredytowania zwiększyłyby się do 2571 zł natomiast do aż 2379 zł dla kredytu na 24 lata. Poproś bank o szczegółowe wyliczenie rat w różnych wariantach kredytowania! PS. I nie zaciągaj kredytu w walutach, w których nie otrzymujesz wynagrodzenia….

Logarytmy są wszędzie • • • Kiedy mówimy, „sto razy większy” używamy właśnie skali logarytmicznej: o dwa zera więcej. Oko ludzkie widzi w skali logarytmicznej: od ciemnej jaskini (pojedyncze fotony) do blasku tarczy Słońca (1021 fotonów/m 2/ s) – czyli 15 -16 „rzędów” wielkości Podobnie ucho: 120 d. B to jest różnica mocy 1012 razy (12 rzędów wielkości) http: //www. animations. physics. unsw. edu. au/jw/d. B. htm • p. H = 5 oznacza, że w wodzie stężenie jonów wodorowych H+ wynosi 10 -5 p. H = 3 oznacza, że jonów H+ w stosunku do cząsteczek wody jest jak 1: 1000 • Najsłabsze widoczne gołym okiem gwiazdy mają jasność „ 6” (Hiparch, II w pne. ). Gwiazda o jasności „ 5” jest 2, 5 razy jaśniejsza. Oznacza to, że między gwiazdą „ 5” a „ 0” (najjaśniejsza gwiazda Oriona) różnica mocy światła wynosi 100 razy.

Logarytmy są wszędzie • Nawet historię wszechświata, Ziemi, życia na Ziemi, ewolucji człowieka i historię ludzkości warto pokazać w skali logarytmicznej http: //commonfossilsofoklahoma. snomnh. ou. edu/geological-time-scale 5 x 109 5. 000 5 x 108 500. 000 7 5 x 10 50. 000 5 x 106 5. 000 5 x 105 500. 000 5 x 104 50. 000 3 5 x 10 5. 000 2 5 x 10 500 5 x 101 50 5 x 100 5 Powstanie Ziemi Kręgowce Ssaki naczelne Człowiek (neandertalczyk) Człowiek z Cro Magnon (Homo sapiens w Europie) Pierwsze cywilizacje (i pismo) Druk i powstanie nowożytnej nauki (Kopernik) Telewizja i komputer Smartfon Pomysł: J. Bruner, op. cit. , str. 60

Pytania maturalne - profesorowie uniwersyteccy, szczególnie fizycy lub matematycy rozwiązać potrafią…, Zauważmy, że 16=24; wówczas mamy 58∙ 2 -8 = (5/2)8 Zauważmy, że 54=2∙ 27; więc 3√ 54=33√ 2; odpowiedź C Różnica logarytmów, to logarytm ilorazu (czyli 3/5) a 2 logx = log x 2; odp. A

Wnioski: • Matematyka jest królową nauk • W niewytłumaczalny sposób jest przez nas pojmowalna • W niewytłumaczalny sposób pasuje do świata zewnętrznego (piramid, orbit planet, mechaniki kwantowej, kryptografii kwantowej, geometrii Wszechświata itd. ) • Uczenie matematyki bez pokazania jej użyteczności jest jednak społecznie szkodliwe! [Komeński: uczymy tylko tego, co jest natychmiastowo użyteczne] • Należy więc wybrać: uczymy formuł albo dowodów albo szybkiego a w miarę logicznego wstrzelenia się w odpowiedź (= matura) albo matematyki użytecznej w dorosłym życiu (jako dekoder rzeczywistości fizycznej/ społecznej/ historycznej) • bo, jak pokazują przykłady polskich podręczników, wiedza matematyczna autorów jest czasem znikoma… • Konieczne więc potraktowanie serio Matematyki, jako kompetencji społecznej, na równi w gramatyką i ortografią. Koledzy matematycy/ fizycy/ biologowie! Może lepiej nie stresować, a wyrabiać pasję poznawczą?

Literatura • Zdzisław Nowak, Po rozum do głowy (wesoła logika). Zagadki, algebrafy, anegdoty, łamigłówki. Wydawnictwo Harcerskie, Warszawa, 1970 • Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadini, Zanichelli, Bologna, 2008 • Ian Steward, Histerie matematyczne. Gry i zabawy z matematyką. Prószyński i S-ka, Warszawa, Oxford University Press, 2004 • Ian Steward, 17 równań, które zmieniły świat, Prószyński i Ska, Wwa 2013 • Tony Crilly, 50 mathematical ideas you relly need to know, Quercus Publishing, London, 2007, ed. wł. 2009 Dedalo • Giuliano Spirito, Matematica senza numeri, Il Sapere „ 100 pagine 1000 lire. Tascabili Economici Newton, Roma, 1995 • J. Bruner, W poszukiwaniu teorii nauczania, Biblioteka myśli współczesnej, PIW, 1974, (oryginał Harvard 1966) • Pere Grima, Absolutna pewność i inne funkcje. Tajniki statystyki. RBA Barcelona, 2010, Seria: Świat jest matematyczny i 39 innych książek z tej serii…

Dydaktyka kognitywistyczna Wykład 7: Matematyka czyli „królowa nauk” Matematyka, jako umiejętność czytania liczb Część II: Statystyka, jako narzędzie społeczne Grzegorz Karwasz, Zakład Dydaktyki Fizyki, UMK dydaktyka. fizyka. umk. pl/Cogito „Pedagogika Medialna” Wydział Nauk Pedagogicznych Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu (C) Grzegorz Karwasz, 2017

Statystyka: jak (szybko) czytać dane? • „Spis ludności we Włoszech w 2001 roku dał następujący rozkład w grupach wiekowych: Barozzi op cit. str. 91 • • • Ile wynosi w przybliżeniu liczba ludności (mężczyzn i kobiet razem) w przedziale 15 -19 lat: a) 1, 5 mln, b) 2 mln, c) 3 mln, d) 4 mln? Ile, w przybliżeniu, jest kobiet w wieku 35 -49 lat? Jeśli ludność wyniosła 56 305 568 osób, to ile było mężczyzn (przyjąć 56, 3 mln)?

Statystyka: jak czytelnie przedstawiać dane? Ceny ropy Zasoby ropy, gazu, węgla GK, Climate, environment, energy Zasoby uranu

Statystyka: jak analizować dane? • • „Badania statystyczne mają kilka różnych faz: wybór zagadnienia (pytania), wybór populacji badanej, wybór sposobów badania (telefon, „exit pool”), wybór próbki reprezentatywnej, zbieranie danych, opracowanie, przedstawienie” W każdej fazie dokonuje się wyborów, które mogą-rzutować/ rzutują na wynik • Np. przewidywania wyników wyborów parlamentarnych są regularnie obarczone błędem (np. wybór Donalda Trumpa w USA): respondenci nie przyznają się do preferencji negatywnie przedstawianych w prasie i TV • Przykład: W grupie osób ich waga (masa) wynosi 50, 54, 56, 60, 61, 70, 73, 80. Ile wynosi średnia masa tych osób? Odp. 63 → A po co nam ta średnia? Do oceny nośności windy? OK! - Do oceny nadwagi? Źle! Kobiety czy mężczyźni? „Wartość oczekiwana” „Proponują nam następującą grę: rzucasz raz kostką. Jeśli wypadnie liczba nieparzysta płacisz 10 zł. Jeśli wypadnie „ 2”, dostajesz 1 zł; jeśli wypadnie „ 4” dostajesz 12 zł, jeśli wypadnie „ 6”, dostajesz 14 zł. Warto grać w tę grę? → Mówi o tym tzw. wartość oczekiwana: zysk albo strata pomnożona przez ich prawdopodobieństwa. Prwd. „nieparzysta” = ½; prdw. „ 2”, albo „ 4” albo „ 6” = 1/6 → Wartość oczekiwana: W = ½∙(-10) + (1/6)∙ 12 + (1/6)∙ 14 = -0, 5 zł „Gra przynosi umiarkowany zysk, ale jej organizatorowi” G. Spirito, Matematyka niepewności, Tascabili Economici Newton, 1995 „ 100 str. 100 groszy”,

Statystyka: jak analizować dane? • „Badania statystyczne mają kilka różnych faz: wybór zagadnienia (pytania), wybór populacji badanej, wybór sposobów badania (telefon, „exit pool”), wybór próbki reprezentatywnej, zbieranie danych, opracowanie, przedstawienie” [1] Czy występuje efekt cieplarniany? Co to za pora roku stycznio-czerwiec? NIE! Źródło: GK „Climate, environment, energy”, 2017, and references therein TAK!!

Korelacja? Jak nie czytać danych • „ 28 grudnia 1994 r. w dzienniku New York Times opublikowano artykuł o wpływie picia wina na zdrowie. … zależność między spożyciem wina a wskaźnikiem zgonów z powodu choroby serca. Oto graficzna prezentacja tych danych. ” • • Wynikało by z nich, że picie wina zabezpiecza przed zgonem z powodu chorób serca „Kraje, w których konsumpcja wina jest największa – jest odpowiedni klimat, wzorce żywieniowe, zwyczaje – to wszystko może zmniejszać ryzyko chorób serca. ” • Albo – są to kraje, gdzie najmniej pije się whiskey i wódki… Pere Grima, Absolutna pewność i inne funkcje. Tajniki statystyki. str. 38

„Średnia płaca w Polsce rośnie…” Źródło: GUS (stat. gov. pl) http: //wynagrodzenia. pl/artykul/wynagrodzenia-w-polsce-na-tle-innych-krajow-unii-europejskiej

„Średnia pensja nie istnieje” (Gazeta Wyborcza) Patrycja Maciejewicz 05 sierpnia 2013 | 01: 00 „Czy gdy idę na spacer z psem, mam razem z nim statystycznie po trzy nogi? Mam. I nie oburza mnie to. Ze średnią pensją jest gorzej. ” Gdy opisujemy dane GUS dotyczące zarobków, zaraz rozbrzmiewa głos krytyki: to zafałszowane wyniki, żaden z moich znajomych nie dostaje takiej pensji. Pojawiają się też alternatywne wyliczenia: szef zarabia 11 tys. zł, a jego dziewięciu pracowników po 1 tys. , średnio przypada na głowę 2 tys. zł. […] Średnia krajowa jest nieosiągalna dla niemal wszystkich pracowników wykonujących najprostsze prace, dla 93 proc. sprzedawców, dla trzech czwartych pracowników biurowych. […] http: //wyborcza. pl/1, 75968, 14387464, Srednia_pensja_nie_istnieje. html? disable. Redirects=true

Czy istnieje średnia? Średnia arytmetyczna: (wartość x liczba zliczeń)/ całkowita liczba zliczeń Np. średnia ocena = (44% x 1 + 38% x 2 + 18%x 3) /100% = = 0, 44+0, 76+0, 54 = 1, 74 (z fizyki, z tradycyjnego podręcznika) Średnia geometryczna: dla prostokąta a x b jest to bok Kwadratu o takim samy polu r = √(a∙b) Ale średnia nie oddaje całej informacji „Pożądany” rozkład ocen, w dydaktyce tradycyjnej, winien mieć kształt, jak rozkład kulek z tej gry obok. Nazywamy taki rozkład „normalnym”, albo Gaussa. Taki rozkład mają np. waga ziarenek grochu jednego gatunku, albo wysokość dorosłych mężczyzn w Polsce. https: //www. mathsisfun. com/data/quincunx. html

Rozkład normalny (Gaussa) 1. Rozkład normalny jest opisany przez średnią ale też przez średnie odchylenie σ W rozkładzie „normalnym” 68% wartości zawiera się między średnią (x 0 – σ) a (x 0 + σ) (a między ± 2 σ aż 95%) Rozważmy dwie maszyny pakujące cukier w torebki 1 kg: σ= 20 g https: //www. mathsisfun. com http: //www. intmath. com σ= 4 g Poprawiono ustawienia maszyny, poprawiono wyniki ekonomiczne

Rozkład zdarzeń rzadkich (Poissona) Ladislaus (Władysław) von Bortkiewicz: liczba zgonów w oddziałach pruskiej kawalerii w skutek kopnięcia konia”: po 20 latach badań okazało się, że liczba zgonów wynosi 0, 61 na oddział, czyli nie jest zbyt duża. Ile, średnio, włosów może zdarzyć się w hamburgerze Mc. Donalda? Czasem jeden, ale bardzo rzadko, a dwa – praktycznie nigdy. = rozkład zdarzeń rzadkich (Poissona) Trudno w tym przypadku mówić o średniej – Należy mówić raczej o zdarzeniach najbardziej prawdopodobnych https: //www. mathsisfun. com http: //www. intmath. com

Średnia, mediana, dominanta http: //stat. gov. pl/obszary-tematyczne/rynek-pracy/ pracujacy-zatrudnieni-wynagrodzenia-koszty-pracy/struktura-wynagrodzen-wedlug-zawodow-w-pazdzierniku-2014 -r-, 5, 4. html Okazało się, że w 2014 roku mediana wynagrodzenia w naszym kraju wynosiła 2359 zł netto miesięcznie. To oznacza, że aż 50% zatrudnionych ludzi zarabiało mniej niż wspomniana kwota, stanowiąca obecnie równowartość zaledwie ok. 550 euro. Z kolei najczęściej wypłacanym wynagrodzeniem (dominantą) w 2014 roku była kwota 1786 zł netto (415 euro). Jakby tego było mało aż 1, 36 mln zatrudnionych osób otrzymywało wynagrodzenie wyższe od minimalnego, czyli 1237 zł netto miesięcznie (ok. 290 E)! http: //niewygodne. info. pl/artykul 6/02692 -GUS-ujawnia-dramatyczne-dane-nt-wynagrodzen. htm

Średnia, mediana, dominanta http: //faktyliczby. stronazen. pl/wordpress/wp-content/uploads/2015/04/image 36. png http: //www. repubblica. it/economia/2015/02/16/news/stipendi_salari_jobpricing_operai_dirigenti-107441843/

Średnia zdekomponowana 1. Władze publiczne, wyżsi urzędnicy, kierownicy 2. Specjaliści 7. Robotnicy 4. Urzędnicy 5. Sprzedawcy Dane: GUS (stat. gov. pl)

Dwa przykłady z podręczników: biologia ze statystyką? A? na próbie <1000 osobników można podać cztery cyfry znaczące? A może, po prostu, nieumiejętność zaokrąglania (tj. użycia kalkulatora)?

historia (z ekonomią) ? Nożyce cen? A może, po prostu, nieumiejętność analizy regresji liniowej? I ekonomii? Odkrycie Ameryki spowodowało napływ taniego kruszcu, przez co na jednostkę produktu przypadało więcej jednostek złota (=talarów).

„Kiedy liczby oszukują? Żyć z niepewnością” • Matematyka staje się szczególnie istotna, gdy w grę wchodzi medycyna. Powiedzenie na podstawie próbki DNA, że prawdopodobieństwo, że ktoś inny jest mordercą wynosi jak 1: 100 000, jest praktycznie wyrokiem skazującym. Powiedzenie, na podstawie tej samej próbki, że „w Warszawie może być jeszcze 10 innych osób o tym samym profilu DNA”, jest ułaskawieniem. ________ Jak powiedzieć na zebraniu, że sprzedaż od początku roku drastycznie spadła, jak to widać na wykresie? Wystarczy wykresu nie pokazywać, a powiedzieć, że „sprzedaż, co prawda spadła początkowo o 50%, ale później podniosła się o 67%”. Nikt nie skojarzy, że taki sposób liczenia procentów oznacza netto spadek. Gerd Gigerenzer, Calculated Risks, 2002, ed. wł. Rafaello Cortina, 2003

Statystyka: jak dane chcemy? • Dydaktyka USA/ EU: „no student left behind” • „Toruński po-ręcznik do fizyki”: narracja zamiast wiadomości Grupa kontrolna Grupa pożądana? Źródło: K. Wyborska, M. Sadowska, 2014 Few students left behind

Edgar Morin: Matematyka a filozofia • • • „Nauczanie matematyki, która oczywiście obejmuje obliczenia, musi wyjść poza same obliczenia. Musi ukazywać zasadniczą naturę matematyki, jako nauki formułującej problemy. Obliczenia sa instrumentem rozumowania matematycznego, które wyraża się przez problem solving i problem setting, i która wykazuje „wypracowaną ostrożność i niepodważalną logikę. Przez wszystkie lata nauczania matematyki winno się stopniowo uwidaczniać dialog myślenia matematycznego z rozwojem wiedzy naukowej, a w końcu także granice formalizacji i kwantyfikacji. Filozofia winna w istotny sposób współuczestniczyć w rozwoju ducha problematyzacji. Filozofia jest przede wszystkim siłą pytań i refleksji, która zmierza do wielkich problemów wiedzy i kondycji człowieka. Filozofia, dziś ograniczona do nauki zamkniętej sama w sobie winna odzyskać swą misję, którą spełniała od Arystotelesa aż do Bergsona i Husserla, ale bez porzucania pytań, które sa jej własnymi. Profesor filozofii winien rozciągnąć swą moc refleksji i pytań również na wiedzę naukową, jak i literaturę i poezję; w tym samym czasie żywić się nauką i literaturą. ” Edgar Morin, Tête biene faite, Seuil, 1999, str. 17, tłum. z wydania włoskiego GK

Wnioski – matematyka, jako nauka społeczna • Grecy nie używali kalendarza (stąd łacińskie powiedzenie ad calendam graecam, czyli „nigdy”. • U Rzymian kalendarz był do czasów Juliusza Cezara wiedzą zarezerwowaną dla wybranych, np. prawników. • Jak pisze prof. Angelo Guerraggio we wstępie do „Fizyki dla oby-wateli”, znajomość matematyki nie może być zarezerwowana dla przyszłych nauczycieli matematyki lub naukowców. • Umiejętność szybkiej i właściwej oceny danych liczbowych jest ważnym elementem sukcesu życiowego. • Znajomość matematyki staje się też elementem władzy politycznej: „jak zmienić strukturę dochodów społeczeństwa, aby uzyskać wyższą akceptację polityczną? ” – przesunąć rozkład z Poissona na Gaussa. Innymi słowy, wzmocnić dochody osób zarabiających poniżej mediany. • Matematyka staje się wówczas elementem dialogu społecznego/ rodzinnego/ zawodowego a nie elementem „szarlatanerii”. • Matematyka jest królową nauk, warto pozwolić jej współ-rządzić.

Wnioski – matematyka, jako nauka dydaktyczna • „Choć przykłady zaczerpnęliśmy z matematyki, niektóre wnioski dadzą się uogólnić na inne przedmioty. • Po pierwsze, ustalenie podstawowej struktury matematycznej, która miął być przedmiotem nauczania, wymagało wysiłku wielu wybitnych matematyków. • […] że system dziesiętny nie został nam zesłany przez jakiegoś boga matematyki. Tylko uczeń, który nauczył się operować innymi systemami, potrafi ocenić, jakim osiągnięciem jest system dziesiętny. • I wreszcie, teoria nauczania stara się uwzględnić fakt, że program nauczania odzwierciedla nie tylko charakter samej wiedzy, ale również charakter tego, który wiedzę posiada, i charakter procesu dochodzenia do wiedzy. […] • Zapoznanie uczącego z poszczególnymi dziedzinami wiedzy nie powinno polegać na wbijaniu mu do głowy ich wyników. • Celem uczenia danego przedmioty nie ma być produkowanie małych chodzących encyklopedii, lecz doprowadzenie do tego, by uczeń zaczął samodzielnie myśleć w sposób matematyczny. • Poznanie jest procesem, a nie gotowym produktem. ” J. Bruner, op. cit. str. 108

Literatura • Zdzisław Nowak, Po rozum do głowy (wesoła logika). Zagadki, algebrafy, anegdoty, łamigłówki. Wydawnictwo Harcerskie, Warszawa, 1970 • Barozzi, Bergamini, Boni, Cerani, Pagani, La matematica per il cittadini, (Matematyka dla obywateli) Zanichelli, Bologna, 2008 • Ian Steward, Histerie matematyczne. Gry i zabawy z matematyką. Prószyński i S-ka, Warszawa, Oxford University Press, 2004 • Tony Crilly, 50 mathematical ideas you relly need to know, Quercus Publishing, London, 2007, ed. wł. 2009 Dedalo • Giuliano Spirito, Matematica senza numeri, Il Sapere „ 100 pagine 1000 lire. Tascabili Economici Newton, Roma, 1995 • Gerd Gigerenzer, Calculated Risks, 2002, ed. wł. Rafaello Cortina, 2003 • Jerome Bruner, W poszukiwaniu teorii nauczania, PIW, Warszawa, 1974 • Pere Grima, Absolutna pewność i inne funkcje. Tajniki statystyki. RBA Barcelona, 2010, Seria: Świat jest matematyczny i 39 innych książek z tej serii…