Dualidad Multiplicadores n Importantes en problemas de optimizacin

Dualidad Multiplicadores n Importantes en problemas de optimización Dualidad Justificación de esta importancia n Resultados teóricos n Aplicación práctica: n Análisis de sensibilidad 1

Dualidad n Problema lineal (primal) y condiciones de extremo: min c. Tx s. a Ax b n Ax b A T = c 0 T (Ax - b ) = 0 Condiciones lineales y cuadráticas n Tanto en x como en 2

Dualidad n ¿Existe un problema en con las condiciones de extremo anteriores? Ax b A T = c 0 T(Ax - b ) = 0 n max b. T s. a AT = c 0 Problema dual n Las variables son los multiplicadores 3

Dualidad Propiedades: n Solución de ambos problemas es la misma n Multiplicadores del primal: variables del dual n Variables del primal: multiplicadores del dual n Es indiferente resolver uno u otro n Pero n el coste computacional no es el mismo Problema dual del dual: primal 4

Dualidad Otras propiedades: n Dualidad débil n Para dos puntos factibles: x (factible primal) y (factible dual) c T x b. T n n En Los valores del dual son cotas del primal los óptimos respectivos, c T x * = b. T * 5

Dualidad n Justificación del resultado de dualidad débil x y son factibles, AT = c TAx = c. Tx Ax b , 0 TAx b. T c T x b. T n Si x y son además óptimos, T(Ax - b ) = 0 TAx = b. T c T x = b. T n Si 6

Dualidad Otras propiedades: n Dualidad fuerte n Para n n n un problema primal (P) y su dual (D), Si (P) es óptimo, (D) es óptimo (con la misma solución) Si (P) no está acotado, (D) no es factible Si (P) no es factible, (D) no es factible o no está acotado 7

Dualidad Justificación de dualidad fuerte n Si uno de los problemas es óptimo, los multiplicadores son óptimos para el otro n Si un problema no está acotado, por dualidad débil no puede existir un punto factible del otro n Si un problema no es factible, el otro no puede ser óptimo n Primal y dual son intercambiables 8

Dualidad Construcción del problema dual: n Función objetivo: min max Lado derecho multiplicadores n Restricciones: 1. (Matriz de coeficientes)T multiplicadores 2. = coefs. fn. objetivo Signo de multiplicadores 9

Dualidad Ejemplo: n max c. Tx + d. Ty min b. T + h. T s. a Ax + y = b s. a AT + = c By h + B T = d x 0 , 0 Agrupando términos: min b. T - h. T s. a A T c - B T = d 0 10

Dualidad Interpretación económica: n Problema primal: n n n Determinar mejor nivel de utilización de procesos x Para hacer frente a una demanda b Con coste mínimo n Decisión n min c. Tx s. a Ax = b x 0 centralizada para toda la empresa Planificador central 11

Dualidad n Problema dual: max b. T s. a AT + = c 0 n n n Determinar precios de productos demandados Para obtener máximo ingreso Beneficio cero n Decisión n max b. T s. a AT c descentralizada Mecanismo basado en precios (mercado) 12

Dualidad Ejemplo: problema de transporte n Planteamiento: min ijk cijkxijk s. a i xijk djk jk skxijk vi x 0 n Variables: n cantidades transportadas de cada almacén i a cada cliente j de cada producto k 13

Dualidad Problema dual: max i vi i + i djk jk s. a sk i + jk cijk i 0 , jk 0 n Interpretación: n i es el precio a pagar por el uso de cada unidad de espacio de almacenamiento n jk es el precio a percibir por cada unidad de producto entregada al cliente 14

Dualidad Aplicación: n Análisis de sensibilidad n ¿Cómo cambia la solución si los datos cambian? n Importancia: n Datos no son conocidos con exactitud • Están sujetos a incertidumbre • Varían con el tiempo n Estudio n n paramétrico: Forma de función objetivo óptima En función de los datos 15

Dualidad n Cambios en la función objetivo: n El coeficiente ci cambia a c’i n Las restricciones no se ven afectadas n Efecto n sobre la última solución: Basta comprobar optimalidad ’n = c’n - N TB -Tc’b n B y N mismos valores que antes del cambio 16

Dualidad n Ejemplo: min x 1 - 2 x 2 - x 3 s. a x 1 + x 3 1 - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 2 x 0 n Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T n Supongamos que el coeficiente c 1 cambia n Pasa de valer 1 a valer 3/2 n Calcular n el nuevo vector de multiplicadores Cambia cb pero no cn 17

Dualidad n Nuevo vector de multiplicadores: ’n = cn - N TB -Tc’b -1 ’ n = 0 0 1 2 - -1 0 0 1 1 -1 0 2 -1 1/2 3/2 = 1/2 -2 1 n El punto sigue siendo solución n ¿Y si c 1 pasa a valer 1/2 ? ’n = ( 3/2 -1/2 1 )T 18

Dualidad El vértice deja de ser solución n Nueva solución n n Método Simplex desde el vértice dado 0 1 0 pn = 1 , Bpb = -Npn pb = -1 2 0 n Problema 1 1 pb = 0 1/2 no acotado 19

Dualidad Otro problema a resolver n Efecto para un cambio dado n ¿Cuál es el mayor cambio que no afecta a la solución? n Forma del cambio: c’ = c + c n Condición: ’n = cn + cn - N TB -T (c’b + cb ) = n + ( cn - N TB -T cb ) = n + n 0 = min { - ( n )i /( n )i | ( n )i < 0 } 20

Dualidad n Ejemplo: min x 1 - 2 x 2 - x 3 s. a x 1 + x 3 1 - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 2 x 0 n Solución: n Máximo x* = ( 1 3/2 0 )T cambio para c’ = c - e 1 21

Dualidad n Criterio para el máximo cambio: ’n = n + ( cn - N TB -T cb ) = n + n 0 n 1 Valores para el caso considerado: 0 1 -1 0 0 + 0 2 0 1 1 0 n T 1 0 -1 2 -T 1 1 -1 = 0 + -1 0 0 1 0 Máximo cambio: =0 22

Dualidad n Cambios en el lado derecho de restricciones n El cambio no afecta a los multiplicadores: n Optimalidad no cambia n Valores n de las variables tienen que cambiar El último vértice es infactible Ax = b b’ n ¿Cambia el conjunto de variables básicas? n Solo si xb = B -1 b’ i , (B -1 b’ )i < 0 23

Dualidad n Ejemplo: min x 1 - 2 x 2 - x 3 s. a x 1 + x 3 1 - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 2 x 0 n Solución: x* = ( 1 3/2 0 )T n Supongamos que b 1 = 1 2 24

Dualidad n Condición para que se mantenga la base: B -1 b = 1 0 -1 2 2 = 2 2 0 n La base no cambia n Sí varían los valores de las variables básicas: x’b = ( 2 2 )T n Supongamos ahora que b 1 = 1 -1 25

Dualidad n Condición para que se mantenga la base: B n La n -1 b = 1 0 -1 2 -1 -1 2 = -1 ½ base óptima cambia Cálculo de la nueva solución: n Método Simplex desde el principio, o n Método Simplex dual desde la última solución n Lo veremos más adelante 26

Dualidad n ¿Máximo cambio que no afecta a la base? n Forma del cambio: b’ = b + b n Condición: B -1 b’ 0 B -1 b + B -1 b = xb + B -1 b 0 = min { - (xb )i /(B -1 b )i | (B -1 b )i < 0 } 27

Dualidad Ejemplo: min s. a n Solución: n Estudiar x 1 - 2 x 2 - x 3 x 1 + x 3 1 - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 2 x 0 x* = ( 1 3/2 0 )T cambios para b = -e 1 28

Dualidad n Condición: xb + B -1 b 0 1 3/2 + 1 0 -1 2 -1 -1 0 = 1 3/2 + -1 -1/2 0 1 n Si > 1 , la base óptima cambia 29

Dualidad Método dual del Simplex: n Método Simplex aplicado al problema dual n Empleando la información en su forma primal n Calculando valores para x n Inicio del método n Vértice factible pero no óptimo para el dual n Vértice óptimo pero no factible para el primal 30

Dualidad Condiciones del vértice inicial n Respecto del problema primal: n Vértice (base) con multiplicadores óptimos n = cn - N TB -Tcb 0 n Variables no factibles i , (xb )i = (B -1 b )i < 0 n No se puede aplicar el método Simplex normal n Pero el vértice tiene información de interés 31

Dualidad Movimiento a partir del vértice n Cálculo de la dirección de movimiento n Seleccionar componente más negativa de B -1 b n Definir dirección para b = ei , BT + b = 0 = -B -T b = -B -Tei NT + n = 0 n = N TB -Tei n Definir la longitud de paso para = min { - ( n )i /( n )i | ( n )i < 0 } 32

Dualidad Valores del problema primal n Se actualiza la base n Variable n La que tenga el valor más negativo de B -1 b n Variable n que pasa a ser básica La que defina el valor de n Nuevo n que deja de ser básica valor de las variables básicas Calcular B -1 b para la nueva base 33

Dualidad Cálculos del método Simplex dual n Dado un vértice óptimo pero no factible n Calcular B -1 b n Determinar la componente más negativa n Calcular n = cn - N TB -Tcb y n = N TB -Tei n Calcular = min { - ( n )i /( n )i | ( n )i < 0 } n Determinar la variable que pasa a ser básica n Actualizar B , N , cb , cn 34

Dualidad Ejemplo: min x 1 - 2 x 2 - x 3 s. a x 1 + x 3 -1 - x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 2 x 0 n Vértice óptimo: xb* = B -1 b = ( -1 ½ )T n Variables básicas: x 1 y x 2 n Variable que deja de ser básica: x 1 n Multiplicadores: n = cn - N TB -Tcb = ( 1 0 1 )T 35

Dualidad n Dirección de movimiento de multiplicadores n = N TB -Tei = ( 1 -1 0 )T n Longitud de paso = 0/(-1) = 0 n Nueva variable básica: s 1 n Nuevo valor de las variables básicas ( x 2 y s 1 ): B -1 b = ( 1 1 )T n El vértice es óptimo 36