DRS SUPARYONO MT 1 NAMA DRS SUPARYONO MT

DRS. SUPARYONO, MT. 1

NAMA : DRS. SUPARYONO, MT. S-1 : MATEMATIKA MIPA UNDIP SEMARANG S-2 : TEKNIK INDUSTRI ITB BANDUNG ALAMAT : PERUM AU, BLOK P-1 HP : 08122747910

PENILAIAN Ø KEHADIRAN 20% ØTUGAS/PARTISIPASI SAAT KULIAH ØUJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) ØUJIAN AKHIR SEMESTER (UAS)

1. SILABUS a. Teknik Integrasi b. Integral Tak Wajar c. Penggunaan Integral d. Fungsi dua variabel e. Sistem Koordinat kutub f. Integral lipat Dua dan Tiga 2. Daftar Pustaka a. Matematika Universitas 2, M. Marga Ismail Besari, Armico Bandung b. Kalkulus, Frank Ayers, Jr. , Dra Leo Prasetio, Erlangga c. The Calculus With Analitic Geometry, Louis Leithod d. Calculus, Apostol, Tom M, Blaisdell e. Calculus And Analytic Geometry, Thomas 4

1). RUMUS 2 INTEGRASI 2). 3). 4 a). 4). 5). 6). 7 a). 5 arc =

8). 9). 10). 11). 12). 13). 14). 6

Sifat-sifat integral tertentu. 1. 2. = = 3. 4. C = konstanta = = 5. Jika M 1 < f(x) < M 2 Untuk a x b M 2 (b - a) M 1 (b - a) 7 Maka

6. 7. =0 8. = 9. ; (a > b) = = ; F (x) = 10. F (x) Kontinu untuk a, a x b maka = G (b) - G (a) ; G’ (x) = f (x) 8

PERSAMAAN TRIGONOMETRI YANG SERING DIGUNAKAN 1. 2. 3. 4. 5. 9

1. Teknik substitusi (penggantian) 2. Integrasi Parsial 3. Integrasi fungsi trigonometri 1. Teknik substitusi (penggantian) a. 10 = =

Maka : Mis = t = dt = b. 11 =

2. INTEGRAL PARSIAL Contoh : u = x du = dx dv = ex dx v = ex + c Hitung : a. b. 12

3. Integral Trigonometri Ada 3 Kasus : I. III. I. Jika m ganjil mis : = = 13

II. Jika m genap : III. 14 =

Latihan : 15

*). x 1 16 tg

1). RUMUS 2 INTEGRASI 2). 3). 4 a). 4). 5). 6). 7 a). 17 arc =

8). 9). 10). 11). 12). 13). 14). 18

Sifat-sifat integral tertentu. 1. 2. = = 3. 4. C = konstanta = = 5. Jika M 1 < f(x) < M 2 Untuk a x b M 2 (b - a) M 1 (b - a) 19 Maka

6. 7. =0 8. = 9. ; (a > b) = = ; F (x) = 10. F (x) Kontinu untuk a, a x b maka = G (b) - G (a) ; G’ (x) = f (x) 20

PERSAMAAN TRIGONOMETRI YANG SERING DIGUNAKAN 1. 2. 3. 4. 5. 21

1. Definisi. Integral tertentu Disebut integral tak wajar jika : a. Integran f(x) punyai 1 atau lebih titik diskontinu pada selang a x b b. Paling sedikit satu batas integrasinya tak hingga. 2. Integaran yang Diskontinu. a. Jika f (x) diskontinu di x = a dan dapat diintegralkan pada (z, b) untuk setiap z (a, b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh : 22

b. Jika f (x) diskontinu di x = b dan dapat diintegralkan pada (a, z) untuk setiap z (a, b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh : c. Jika f (x) diskontinu di x = c dimana c (a, b) maka integral tak wajar f dari a ke b dinyatakan oleh : 23

y RAJIN BELAJAR YA. . . Hitung 0 x Integran F(x)=1/x ; akan berharga tak hingga untuk x mendekati 0. Utk itu ambil x=z (0, 1) dimana F(x) bisa diintegralkan : 24

Hitung Jika f(x) didefinisikan Untuk x=0 Oleh y f(x) 0 1 x Untuk x>0 Dari grafik terlihat F(x) diskontinu pd x mendekati 0. Utk itu ambil z (0, 1) dimana F(x) diintegralkan shgg: Jadi Mendekati 2 25

a. Jika f(x) kontinu pada selang a x u maka integral tak wajar f dari a ke + dinyatakan oleh : b. Jika f(x) kontinu pada selang w x b maka integral tak wajar f dari - ke b dinyatakan oleh : c. Jika f(x) kontinu pada selang w x u maka integral tak wajar f dari - ke dinyatakan oleh : Jika nilai llimit definisi ada maka dikatakan integral tak wajar konvergen 26

Hitung Batas integrasinya tak hingga : Jadi =¼ 27

1. Konsep luas daerah. Mis daerah D daerah yg dibatasi grafik y = f(x) yg kontinu dlm selang [a, b] dan f(x) 0, grs x=a, grs x=b dan sumbu x positif spt gbr: y y D 0 1 2 x 0 xo=a x 1 x 2 Xa-1 xa=b 28

Akan ditentukan luas daerah D dgn cara sbb : bagi selang terrtutup [a, b] menjadi n bagian yaitu dgn ttk a=x 0<x 1<x 2. . . <xn=b, buat segi empat. Shg berlaku : L segi empat bawah luas D luas segi empat atas : dimana : Jika segi empat tsb dibuat sbyk mungkin mk dgn mengambil D menuju tak hingga akan berlaku atau Shg berlaku 29

2. Dgn konsep perhit. L daerah dpt diturunkan rumus sbb : a. Jika f(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a, b] dan C di titik dalam [a, b] sehingga f(x) 0 di dlm [a, c], f(x) 0 di dlm [c, b] mk luas D= (L daerah yg di batasi lengkungan Y=f(x), grs x=a, x=b) dpt dihitung dgn rumus : y 0 a b x c b. Jika f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu diselang tutup [a, b] dimana f(x) g(x) untuk setiap x di [a, b] dan mis D adl daerah yg di batasi lengkungan grafik f(x), grs x=a & x=b maka: y f(x) g(x) 0 x a b 30

1. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh y =cos x, grs x=0, x= dan sumbu x 2. Tentukan luas daerah yg di batasi oleh grafik 2 y=x 2 dany=x 3 1 0 Karena cos x 0 di [0, ½ ] dan cos x 0 [½ , ] maka : Luas daerah : y b x 2 -1 =2 31

2. Titik potong kedua grafik didapat dr pers x 2=x 3 atau x 2(1 x) = 0 yg dipenuhi oleh x=0 atau x=1. Jd titik potongnya (0, 0) dan (1, 1) 1 y Y=x 3 Y=x 2 Karena x 2 x 3 utk setiap 0 x 1 maka : 0 1 x Luas daerah : 32

3. Menghitung isi benda putar a. Sumbu putarnya sumbu x (Metode kulit) 1). Mis y = f(x) fungsi yg kontinu dlm selang tertutup [a, b] spt gbr : y 1 x a 0 b Akan ditentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh lengkungan y=f(x), sumbu x, grs x=a dan x=b, diputar mengelilingi sumbu x, dgn cara sbb : Jika segi empat ini diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi silinder dgn ukuran : jari 2 lingkaran f(c 1) dan tinggi i. V= {f(ci)}2. ix, spt gbr di blkg 33

1 y f(c 1) 0 a xi-1 ci xi b ix x ix Karena ada n buah segi empat maka akan tdpt silinder dgn jmlh isi Isi benda putar yang terjadi dapat didekati dengan : 34

2. Jika daerah D=daerah yg di batasi oleh fungsi f(x) dan g(x) garis x=a, x=b dimana f(x) dan g(x) fungsi yg kontinu dan f(x) g(x) dlm [a, b], diputar mengelilingi sumbu x maka isi benda putar yg terjadi dpt ditentukan sbb : f(x) y f(c 1) f(x) g(c 1) 0 a xi-1 ci xi b g(x) x Isi = isi silinder luar- isi silinder dlm ix 35

1. Mis y = f(x) : Akan ditentukan isi benda putar yang terjadi jika daerah yg dibatasi y = f(x), sumbu x, garis x=a & grs x=b diputar mengelilingi sumbu y dgn cr sbb : y 0 a xi-1 ci xi b x 36

2. Jika daerah D = daerah yg di batasi lengkungan grafik fungsi 2 f(x), grs x=a, x=b, dimana f(x), g(x) kontinu dan f(x) g(x) di [a, b] diputar mengelilingi sumbu y maka isi benda putar ditentukan sbb : x 2 y f(x) f(c 1)-g(c 2) f(x) 0 a b x 37

x=-c y f(x) Gbr 1 D 0 a b x f(x) Gbr 2 D 0 a g(x) b x y=-d a. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus : b. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs y=-d(d>0) maka isi benda putar yg terjadi dpt dihitung dgn rumus : 38

c. Jika daerah Dpada gambar-1 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi : d. Jika daerah D pada gambar-2 diputar mengelilingi grs x=c(c>0) maka isi benda putar yg terjadi : Catatan : Jika sumbu putar pd gambar diatas diganti garis y = d dan x=c dgn d>0 dan c >0 maka rumus 2 tsb menjadi g. h. 39

Tentukan isi benda putar yg terjadi jika daerah yg di batasi oleh grafik y = x 2 dan y = x 3 diputar mengelilingi sumbu x : y=x 3 y=x 2 1 y 0 1 x 40

Mis f(x) kontinu & terdiferensial pd [a, b], jika daerah D = daerah yg dibts lengkungan y=f(x), grs x=a, x=b dan sumbu x diputar mengelilingi sumbu x akan terjadi suatu benda putar. y f(x 1) 0 f(x) f(x 1 -1) x 2 -1 x 2 b f(x 2) x 41

Luas permukaan benda putar dapat dihitung sebagai : 42

Tentukan luas permukaan benda putar yg terjadi jika daerah yg dibatasi oleh permukaan y=x 3, garis x=0, garis x=2 diputar mengelilingi sumbu x Jawab Luas permukaan : 43

Mis y=f(x) fungsi yang kontinu di [a, b] dan terdiferensial di B (a, b) dgn grafik sbb : . y Q Akan ditentukan panjang lengkung AB dgn cara sbb : A P x x 0 i b Bagi selang [a, b] menjadi n bagian & pd setiap selang dibuat trapesium. Tinjau selang ke i a xi-1 Panjang segmen garis PQ 44

Karena ada n selang maka terdapat n buah segmen garis dgn jumlah panjang : Panjang busur (lengkungan) dari A ke B di definisikan sebagai : 45

Jika lengkungan dinyatakan dlm bentuk persamaan parameter : maka Contoh : tentukan panjang lengkungan y=x 3/2 dari x=0 sampai x=2 46

Mencari Besarnya Kerja dengan Integrasi. Mis benda P digerakan dgn gaya menurut grs lurus, mis sumbu x. Akan ditentukan kerja yg digunakan utk menggerakan P dr titik x=a sampai titk x=b, sbb : x P xi xi+1 x=b x=a 0 Untuk n mendekati , akan didapat : 47

Contoh Suatu pegas diikat pada satu ujung (A) dan ujung lainnya dianggap sbg titk awal 0, pegas ditarik dgn gaya sejauh x sedangkan gaya yang digunakan sebesar f(x). Dik : panjang pegas dlm keadaan normal 10 cm. Jika utk merentang pegas sampai 12 cm diperlukan gaya 3 N, berapa kerja yg diperlukan utk merentang pegas dari posisi semula menjadi 18 cm jawab Menurut hukum Hooke : f(x)=K. x; K konstanta pegas ; x= jarak peregangan/rentangan f(x)=fungsi jarak rentangan. Karena utk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah : f(x)= Kx f(2)= K. 2 = 3 48

Kerja yg diperlukan untuk merentang pegas dari 10 cm menjadi 18 cm adalah : Prhatikan Pelajaran Jangan pada ngobrol sendiri! 49

2. Mencari Titik Berat dengan Integrasi. a. Titk Berat Bangun Datar y 0 x Bentuk dari bangun dinyatakan homogen sehingga dapat dianggap rapat massa = 1 Dapat ditentukan bahwa momen suatu benda thd suatu sumbu X adalah Mi. Yi & thd sumbu Y adalah Mi. Xi shg dpt didef momen slrh bangun datar thd sumbu X adalah : dan thd sumbu Y adalah : 50

Sehingga y : M 51

Untuk pembahasan selanjutnya diambil ketetapan : 1) Benda dianggap homogen sehingga rapat massa=1 2) Massa dari benda yg mempunyai : a) Luas adalah sama dgn luas benda itu b) Panjang adalah sama dgn panjang benda itu c) Isi adalah sama dengan isi benda itu b. Titk Berat Bidang Datar. Akan dicari titik berat bidang datar yg terjadi karena perpotongan dari kurve y=f(x), garis x=a, x=b dan sumbu x spt gambar berikut : y yi f(x) T(xi 1/2 yi) 0 a x b 52

Contoh. Tentukan ttk berat seperempat lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari a : y y=x Lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jaria jari a mempunyai persamaan : 0 x Massa seperempat lingkaran ini adalah luas seperempat lingkaran ini, sehingga : Massa = Dengan subtitusi x = a sin , didapat : 53

Karena seperempat lingkaran ini mempunyai sumbu simetri yaitu : garis y=x maka titik beratnya terletak pada garis y=x jadi = Koordinat seperempat lingkaran 54

c. Titk Berat Benda Putaran. y=f(x) y Akan dicari titik berat benda yg terjadi jika bidang yg dibatasi oleh kurva y=f(x) grs x=a, x=b diputar mengelilingi sumbu x 0 a g x Misalkan titik berat benda putar berkoordinat Dan massanya M, maka momen benda ini thd sumbu y adalah : Jadi titik benda putaran adalah : 55

Contoh. Tentukan ttk berat yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y=x 2 dan garis y=x di kwadran I y a y=x 2 Massa benda putaran=isi benda putar yg y=x terjadi. x 0 Momen benda putaran thd sumbu y Jadi titik berat benda putaran : 56

1. Sistem Koordinat Cartesius Ruang. Sebelum mendefinisikan fungsi dua vaiabel secara formal akan diberikan pengertian sistem koordinat cartesius ruang sebagai berikut : Dalam ruangan dipilih 3 sumbu : x, y, z yang saling tegak lurus dan berpotongan di titik pangkal O z 5 Korespondensi satu-satu anatar titik z 0 -titik dalam ruang dgn trpile (x, y, z) B(3, -2, 5) A(x 0, y 0, z 0) dgn sifat seperti diatas, disebut 0 y sistem koordinat katesius ruang R 3 3 x 0 x 57

2. Definisi. F adalah fungsi dari E ke R dan disebut fungsi dua variabel jika untuk setiap pasangan (x, y) E menentukan secara tunggal Z R sehingga z=f(x, y). Dalam definisi f adalah E jika z 0=(x 0, y 0) maka Z 0 adalah nilai fungsi f di (x 0, y 0) 3. Grafik Fungsi Dua Variabel. Grafik fungsi z=f(x, y). Adalah himpunan semua titik (x, y, z) dalam ruang sedemikian hingga z=f(x, y). . Jika pers z=f(x, y). Atau f(x, y, z)=0 dilukis pd sistem koordinat katesius ruang pd umumnya berupa permukaan. Untuk menggambarkan suatu permukaan, hal yg perlu diperhatikan ialah : a. b. c. d. Domain dan Range dari f Sifat kesimetrisan (setangkup) dari f. Lengkungan perpotongan dgn bidang koordinat (xoy, xoz, yoz) Perpotongan dgn bidang lainnya 58

Contoh. Jawab Gambarkan grafik fungsi persamaan : a. Z=2 x+3 b. x+2 y+3 z-6=0 a. Dua titik yg terletak pd bidang ini ialah titik (0, 0, 3) dan (-3/2, 0, 0) karena dua titik ini memenuhi pers z=2 x+3. Grafik z=2 x+3 berupa bidang yang melalui kedua titik tsb tegak lurus bidang y=0 z 3 Z=2 x+3 x 0 -3/2 y 59

b. Bidang ini memotong sumbu x, y dan z masing di titik (6, 0, 0) (0, 3, 0) dan (0, 0, 2) Grafik dari (x+2 y+3 z-6=0) berupa bidang yang melalui ketiga titik tsb 2 z 6 x 0 X+2 y+3 z-6=0 3 Grafik Ellipsoida y Bagian grafik f yg terletak di bawah bidang z=4 digambarkan sbb : Grafik Paraboloida 60

Gambar permukaan dengan persamaan Dimana a, b, dan c bilangan positif. Permukaan ini disebut dengan Hiperbolaida berdaun satu z z y x 0 y x 61

1. Definisi dan Arti Geometris Turunan Parsial. Mis z=f(x, y) adalah fungsi dari sua variabel. Jika x berubah-ubah dan y dianggap sebagai konstanta maka z adalah fungsi dari x dan turunannya ke x : Disebut turunan pertama parsial dari z=f(x, y) ke x. Jika y berubah-ubah dan x dianggap sebagai konstanta maka z adalah fungsi dari y dan turunannya ke : 62

Disebut turunan pertama parsial dari z=f(x, y) ke y. Arti geometris turunan parsial yang didefinisikan diatas ialah : z x 2 Ki y 0 x 63

2. Turunan Parsial Tingkat Tinggi. Turunan Parsial. Dari z=f(x, y) dapat diturunkan parsial lagi ke x dan ke y, menghasilkan turunan parsial kedua : Dengan cara yang sama, dari dapat diperoleh 64

Contoh Z=x 2 + 3 yx + y 2 dan 65

3. Nilai Extrim Fungsi z=f(x, y) dan titik stasioner. a. Batasan-batasan 1) Fungsi z=f(x, y) disebut mencapai nilai maksimum di (x 0, y 0) jika terdpt bilangan-bilangan positif S 1, S 2 yg positif sehingga untuk setiap pasangan (x, y) H={(x, y)/|x=x 0|<S 1, |y=y 0|<S 2} berlaku : f(x 0, y 0) f(x, y) 2) Fungsi z=f(x, y) disebut mencapai nilai minimum di (x 0, y 0) jika terdpt bilangan-bilangan positif S 1 dan S 2 yg positif sehingga untuk setiap pasangan (x, y) H beraku f(x 0, y 0) f(x, y) 66

x S 1 x 0 S 2 3) Jika fungsi z=f(x, y) di (x 0, yo) mencapai nilai maksimum atau minimum maka dikatakan bahwa z=f(x, y) mencapai nilai ekstrim di (x 0, y 0). Titik (x 0, y 0) z 0=f(x 0, y 0) disebut titik ekstrim 4) Misalkan z=f(x, y) menyatakan suatu permukaan di R 3 dan T titik pada permukaan tersebut. Jika berlaku : dan maka T disebut titik stasioner dari permukaan z=f(x, y) 67

B. Hubungan antara Titik Stasioner dengan Nilai Ektrim Dalil. Jika fungsi dua variabel z=f(x, y) mencapai nilai ekstrim di (x 0, y 0) dengan titik ekstrim : T (x 0, y 0, z 0 = f(x 0, y 0)) maka berlaku : c. Menentukan Titik Ektrim dgn Turunan Parsial tk. 2 Dalil. Misalkan titik T (x 0, y 0, z 0 ) adalah titik stasioner dari fungsi z= f(x 0, y 0) dimana : dan Dan disebut : Diskriminan dari f : 68

Jadi di T berlaku ketentuan : 1) maka T = titik maks 2) maka T = titik min 3) maka T bukan titik ekstrim 4) maka jenis titik kritis. T tidak tertentu Contoh Tentukan nilai ekstrim & jenisnya dari f (x, y)=x 3+y 3+x 2 -5 y 2 -x+3 y Jawab f (x, y)=x 3+y 3+x 2 -5 y 2 -x+3 y 69

Titik stasioner didapat dari : (3 x-1)(x+1)-0 dan didapat : x=1/3 atau x=-1 (3 y-1)(y-3)=0 dan didapat : y=1/3 atau y=3 Jadi titik stasioner : A(1/3, 1/3) ; B(1/3, 3) C(-1, 1/3) ; D(-1, 3) 70

4. Diferensial total. Perhatikan fungsi 2 variabel z=f(x, y) deferensikan dx= x dan dy= y. Jika x berubah dan y tetap maka z merupakan fungsi dari x dan deferensial parsial z terhadap x didefinisikan oleh : Dgn cara yg sama, diferensial parsial z thd y didefinisikan oleh Deferensial total dz didefinisikan sebagai jumlah deferensial parsialnya yaitu : 71

Untuk fungsi W=F(x, y, . . . t) deferensial total dw didef. sebagai : Contoh : a. Z = x sin y - y sin x dan 72

5. Aturan Rantai untuk Fungsi besusun. a. Mis z=f(x, y) fungsi yg kontinu dgn turunan parsial dan kontinu. Jika x=g(t) dan y=h(t) merupakan fungsi dari t yg terdeferensiabel maka z adalah fungsi dari t dan turunan total dari z ke t dinyatakan oleh : b. Jika W=f(x, y, …. . . ) dan fungsi yg kontinu dr variabel x, y…. . Dgn turunan parsial yg juga kontinu & jika x, y, …… ialah fungsi dari variabel yg deferensial Maka turunan total W ke t dinyatakan oleh : 73

Contoh. Cari jika : z=x 2+3 xy+5 y 2 dan x=sin t ; y=cos t Jawab =(2 x+3 y)cos t- (3 x+10 y)sin t 74

6. Turunan Berarah dan Vektor Gradien. Mis z=f(x, y) fungsi dua variabel dan u = vektor satuam bidang XOY sedemikian hingga titik ujung vektor u terletak pd DF. Mis A di titik XOY shg A Df Vektor radius titik A Jika limit ini ada disebut turunan berarah dari f di titik A dalam arah U Contoh Tentukan turunan berarah dari z=f(x, y)=x 2+y 2 di A (1, 2) dalam arah vektor u = 75

Jawab Titik A : a =(1, 2) 76

7. Definisi. Vektor Gradien f di titik A dinyatakan dengan : 8. Dalil. Jika f ada di (x 0, y 0) maka setiap vektor satuan di XOY berlaku : a. b. = merupakan arah yg memberikan perub. Yg maksimum 77

Contoh. Tentukan turunan berarah dari fungsi berikut di suatu titik pd arah f(x, y)=exsin y; di A (1, ) dalam arah Jawab f(x, y)=exsin y ; di A (1, ) ; 78

BAB VII SISTEM KOORDINAT KUTUB 1. Fungsi dalam Sistem Koordinat Kutub. Dalam sistem koordinat kutub, kedudukan suatu titik P dinyatakan dgn sepasang bilangan riil (r, ø ) seperti : A 0 P(r, ) r r A 0 P(r, ) Dimana : r; merupakan jarak dari titik P ke O dinyatakan dalam satuan panjang : merupakan sudut antara garis OP dgn sumbu OX dinyatakan dalam radian 79

Contoh. Titik P dgn koordinat kutub digambar sbb P A 0 Pasangan lainnya yang juga menyatakan titik yg sama dgn titik P 1 P 0 A 80

2. Grafik lengkungan Fungsi r=f( ) dlm Sistem Koordinat Kutub a. Grafik fungsi dlm koordinat kutub berbentuk r=a±b sin atau r=a±b cos dengan a & b bilangan riil disebut limacon. Jika a=b disebut kardioda. b. Grafik fungsi dlm koordinat kutub berbentuk r=a cos n atau r=a sin n dengan a bilangan riil dan n bilangan bulat disebut Rose. Yang mempunyai n daun jika n ganjil dan mempunyai 2 n daun jika n genap. c. Grafik fungsi dgn pers r=c, c bilangan riil merupakan lengkungan dengan pusat 0 dengan jari-jari C d. Grafik fungsi =C, c bilangan riil merupakan suatu setengah garis yang berpangkal di titik 0 81

2 /3 3 /4 /2 /3 /4 /6 5 /6 = 7 /6 4 /6 5 /4 4 /3 7 /4 3 /2 5 /3 Banyaknya lingkaran-lingkaran (yang menyatakan tempat kedudukan titik-titik dgn r yang sama r: 1, 2, 3, . . . ) disesuaikan dgn kebutuhan. 82

Contoh 3. Gambarkan grafik fungsi r=1 -2 cos Jawab. R terbesar r=3 dicapai jika = karena cos ( )=cos (- ) maka grafik simetris thd sumbu pol 2 /3 3 /4 5 /6 /6 /3 /2 2 /3 5 /6 0 r 0 1 2 1+ 3 -1 1 /2 /3 /4 /6 =0 Grafiknya disebut Limacon 83

1. Definisi. Misal f(x, y) terdefinisi pd suatu daerah tertutup R pd bid XOY seperti pd gbr : D Y=f 2(x) B A Cy=f 1(x) Bagi R menjadi bagian k. R dengan luas k. A 2 untuk k=1 misalkan ( k, nk) sembarang titik pada R. Bentuk Pandang 84

2. Metode Integral Berulang. Utk nilai integral lipat dua, digunakan suatu metode yakni metode integral berulang mis R suatu daerah yg sedemikian rupa sehingga setiap garis yang sejajar dengan sumbu y membatasi R di dua titik D d Y=f 2(x) Y=f 1(x) B A c Cy=f 1(x) x a b 85

3. Definisi. Misalkan R daerah pd bid XY yg dibatasi oleh grafik Y=Q 2(x) & dibawah oleh grafik Y=Q 1(x) dimana Q 1 & Q 2 kontinu pd (a, b) f kontinu pd R maka : Y=Q 2(x) Y=Q 1(x) x= 2(x) 86

Analog dengan definisi diatas : Merupakan integral berulang dari gambar b, sehingga dpt : atau 87

Contoh 1. Nyatakan dalam integral lipat dua luas daerah D yg dibatasi oleh y=x 2 dan y=x+2 : (2, 4) (-1, 1) L= atau D 0 Contoh 2. Diketahui a. Gambarkan daerah integrasinya b. Ubahlah integrasinya c. Hitunglah nilai integral tersebut 88

Jawab a. (1, 3) D -2 x=1 2 B. Diintegrasikan lebih dahulu thd x dgn menganggap y konstan (0 y 3). Batas-batas x adalah x=1 dan dgn demikian integral lipat dua berbentuk : 89

c. Nilai integral tersebut adalah : 90

4. Volume di bawah suatu permukaan Z=f(x, y) Integral Lipat Dua. Dimana batas integral meliputi daerah R Contoh. Tentukan volume benda yg dibatasi oleh z=x+2 xy ; x+y=1 ; x=0 dan y=0 Jawab y x 0 Volume benda tsb dpt ditulis sbg integral lipat dua dari fungsi z=x+2 y dlm daerah integrasi yg dibatasi oleh x+y=1, x=0, dan y=0 z 91

Jadi v = 92

BAB IX INTEGRAL LIPAT TIGA 1. Definisi. . Integral diruang dimensi 3 (R 3) (susunan X O Y) dinyatakan sebagai integral lipat tiga : Dimana f adalah fungsi yg kontinu pd suatu interval R dan R 3 Jika F(x, y, z)=1 maka dpt diartikan sebagai ukuran vol daerah R 2. Menghitung Integral Lipat Tiga. . Untuk menghitung Integral lipat itga, gunakan metode integral berulang sbb : 93

z z=f 1(x, y) z=f 2(x, y) a b x 0 y y=g 1(x) y=g 2(x) 94

Contoh 95

3. Menghitung Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silinder. . Sistem koordinat silinder (tabung) dlm ruang dimensi 3 dinyatakan oleh (r, , z). Tranformasi untuk koordinat tabung dan koordinat xyz dinyatakan oleh persamaan : x=r cos y=r sin z=z z P(x, y, z) y x y x P 96

Integral lipat tiga dapat ditransformasikan kedalam koordinat silinder dan dihitung rumus : Contoh Tentukan nilai Integral jika daerah pd oktan pertama yg dibatasi oleh kerucut z 2=x 2+y 2 dan x 2+y 2=4 97

Jawab 2=x 2+y 2 z z y x 2+y 2=4 x Dalam koordinat tabung, pers kerucut dinyatakan oleh z=r & pers silinder dpt dinyatakan dgn r=2 Integran berubah menjadi : r(rcos ) (rsin ) sehingga didapat : 98

4. Menentukan Titik Pusat Benda dengan Integral Lipat Tiga. . Koordinat titik pusat suatu vol memenuhi hub : Contoh. Cari koordinat titik pusat volume di dalam silinder r = r 2 dan di bawa oleh bidang z = 0 z y 0 x 99

100

Karena simetri, Jadi koordinat titik pusat : (4/3, 0, 10/9) 101