Dr Adi Setiawan DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL ACAK DISKRIT
Dr Adi Setiawan DISTRIBUSI TEORITIS VARIABEL ACAK DISKRIT
Distribusi Bernoulli Percobaan Bernoulli Suatu distribusi bernoulli dibentuk oleh suatu percoabaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat: keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “ sukses” atau “ gagal” Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p
Distribusi Probabilitas Bernoulli Dalam sebuah percobaan Bernoulli, di mana : p probabilitas “sukses”, q = 1 – p probabilitas gagal, dan jika X adalah variable acak yang menyatakan banyaknya sukses, maka dapat dibentuk sebuah distribusi probabilitas Bernoulli sebagai fungsi probabilitas Bernoulli :
Fungsi dengan satu buah parameter yaitu p
Contoh Di awal tahun ajaran baru, mahasiswa fakultas teknik biasanya membeli rapido untuk keperluan mengambar teknik. Di koperasi tersedia dua jenis rapido, yang tintanya dapat di isi ulang (refill) dan yang tintanya harus diganti bersama dengan catridgenya. Data yang ada selama ini menunjukan bahwa 30% mahasisiwa membeli rapindo yang tintanya dapat di isi ulang.
Jika variable acak X menyatakan mahasiswa yang membeli rapindo yang tintanya dapat diisi ulang, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas sebagai berikut : X = 1 jika mahasiswa membeli rapido yang tintanya dapat diisi ulang, X = 0 jika mahasiswa membeli rapido yang cartridge harus diganti p(1) = P(X = 1) = 0, 3, p(0) = P(X = 0 ) = 1 -0, 3 = 0, 7, p(x≠ 0 atau x 1) = P( X≠ 0 atau X≠ 1) = 0, Maka fungsi probabilitasnya adalah fungsi Bernoulli dengan satu parameter p = 0, 3 dinotasikan: Pn(x; 0, 3) = (0, 3)x(0, 7)1 -x ; x= 0, 1
Statistik Deskriptif Distribusi Bernoulli Mean Variansi Kemencengan (skewness): Keruncingan (kurtosis) :
Distribusi Binomial Distribusi binomial adalah satu distribusi probabilitas diskrit yang paling sering digunakan dalam analisis statistik modern. Di bidang teknik, distribusi ini erat kaitannya dengan pengendalian kualitas (quality control)
Eksperimen Binomial Suatu distribusi binomial dibentuk oleh suatu eksperimen binomial. Eksperimen ini merupakan n kali percobaan Bernoulli, sehingga harus memenuhi kondisi-kondisi berikut: Jumlah percobaan n adalah konstanta yang telah ditentukan sebelumnya (dinyatakan sebelum eksperimen dimulai) Setiap pengulangan eksperimen, biasa disebut percobaan (trial), hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 – p selalu konstan dalam setiap percobaan. Setiap percobaan paling bebas secara statistik, yang berarti keluaran suatu percobaaan tidak berpengaruh pada keluaran percobaan lainnya.
Contoh 1 Suatu kuis terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif. Jika seseorang yang tidak mengetahui jawaban pasti dari semua soal tersebut namum tetap menjawab dengan cara menerka, dia telah melalukan eksperimen binomial. Dalam hal ini : n= jumlah percobaan = jumlah soal = 5, p = probabilitas sukses menjawab (jawaban benar) = ¼, q = probabilitas gagal menjawab (jawaban salah) = ( 1 - p) = ¾.
Contoh 2 Dalam suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil didapati bahwa 67 persennya memiliki jarak tempuh lebih dari 400 ribu kilometer sampai harus turun mesin (overhaul) yang pertama kalinya. Dua belas mobil jenis yang bersangkutan dipilih secara acak dan jarak tempuh rata-rata sampai turun mesin diperiksa. Eksperimen di atas adalah eksperiman binomial dengan n = 12, p = 0, 67 dan q = (1 - p) = 0, 33
Distribusi Probabilitas Binomial Dalam sebuah eksperimen binomial dengan n percobaan (trial), dengan p adalah probabilitas “sukses”, q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam sekali percobaan. Variable acak menyatakan banyaknya x sukses, yang terjadi pada n percobaan tersebut, dapat dibentuk suatu ditribusi probabilitas binomial denganfungsi probabilitasnya: Pb(x; n, p)= n. Cx px(1 - p)n-x x = 0, 1, 2, 3, …, n n = 1, 2, 3, . . . 0≤p≤ 1 dengan n. Cx = kombinasi dari n objek untuk setiap pemilihan diambil x objek
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi probabilitas binomial di atas dapat dinyatakan sebagai: Fb(x; n; p) = x = 0, 1, 2, 3, . . , n b = 1, 2, 3, … 0≤ p ≤ 1 Jadi fungsi probabilitas binomial adalah fungsi dengan dua buah parameter yaitu n dan p.
Contoh Distribusi probabilitas pada contoh 1, mengenai suatu kuis yang terdiri dari 5 soal pilihan ganda dengan empat buah jawaban alternatif, yang merupakan suatu eksperimen binomial dengan n = 5, p = ¼, q = (1 -p) = 3/4 variable acak diskrit (X) adalah banyaknya jawaban benar, dapat di tentukan sebagai berikut: Fungsi probabilitasnya Pb(x; n; p) = Pb(x; 5; 1/4) = 5 Cx (1/4)x (3/4)5 -x x = 0, 1, 2, 3, 4, 5
Distribusi probabilitas:
Distribusi kumulatifnya:
Statistik Deskriptif Distribusi Binomial
Contoh Pada distribusi probabilitas dalam contoh 2 mengenai suatu kajian tentang ketangguhan mesin suatu jenis mobil yang merupakan eksperiment binomial dengan n=12, p =0, 67 , q = 0, 33 diperoleh:
Distribusi Binomial Negatif Eksperimen Binomial Negatif : - Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas - Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin, sukses atau gagal. - Probabilitas sukses p dan, demikian pula, probabilitas gagal q = 1 – p selalu konstan dalam setiap percobaan. - Eksperiment terus berlanjut (percobaan terus dilalukan) sampai sejumlah total r sukses diperoleh, dengan r berupa bilangan bulat tertentu.
Apabila sebuah eksperimen binomial negatif dari serangkaian percobaan dengan p adalah probabilitas sukses dan q = 1 – p adalah probabilitas gagal dalam setiap percobaan, Variable acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum r sukses tercapai pada eksperiment tersebut, dapat diperoleh distribusi probabilitas binomial negatif dengan fungsi probabilitasnya: Pnb(x; r; p) = x+r-1 Cr-1 px (1 - p)x x = 0, 1, 2, . . r > 0; r bil. bulat 0 p 1 Jadi jumlah percobaan yang harus dilakukan : x +r.
Disebuah balai pemeriksaan (kir) truk angkutan berat, catatan yang ada selama ini menunjukan bahwa sekitar 45% kendaraan angkutan berat yang diperiksa memenuhi persyaratan kelayakan. Banyaknya truk angkutan berat yang harus diperiksa agar diperoleh probabilitas lebih dari 0, 95 bahwa 3 truk memenuhi persyaratan kelayakan dapat ditentukan dengan menggunakan distribusi binomial negatif. Dalam hal ini p = 0, 45 dan r = 3, X : variable acak menunjukan banyaknya x truk yang tidak memenuhi syarat kelayakan sebelum diperolehnya 3 truk yang memenuhi syarat. Dalam persoalan ini hendak dicari nilai x sehingga fungsi distribusi kumulatifnya lebih dari 0, 95.
Statistik Deskriptif Distribusi Binomial Negatif
Distribusi Geometri Jika pada eksperimen binomial negatif, percobaan terus dilakukan sampai diperolehnya sukses pertama (diperoleh hanya satu sukses, r = 1), maka eksperimen itu disebut eksperimen geometrik.
Variable acak X menyatakan banyaknya x gagal sebelum sebuah sukses tercapai maka dapat dibentuk suatu distribusi probabilitas geometrik dengan menetapkan harga r = 1 pada distribusi probabilitasnya binomial negatif. Fungsi probabilitas geometrik : Pg(x; p) = p (1 - p)x = p qx x = 0, 1, 2, . .
Statistik Deskriptif Distribusi Geometrik
Distribusi Hipergeometrik Suatu distribusi hipergeometrik dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi berikut: Populasi ukuran N (anggotanya terdiri dari N obyek). Setiap anggota populasi dapat dinyatakan sebagai sukses atau gagal dan terdapat M buah sukses dalam populasi, jadi p = M/N. Suatu sample ukuran n (anggotanya terdiri dari n obyek) dipilih dari s populasi tanpa penggantian dimana himpunan bagian dimana n yang dapat dibentuk dari populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terpilih menjadi sampel
Statistik Deskriptif Distribusi Hipergeometrik
Variable acak X menyatakan jumlah x sukses dalam suatu sampel berukuran n yang dipilih secara acak dari populasi berukuran N yang memiliki M sukses dan N – M gagal, maka dapat dibentuk distribusi probabilitas hipergeometrik dan fungsi probabilitasnya adalah: x = 0, 1, 2, 3, …n
Contoh Sebuah lot produksi terdiri dari 100 buah produk yang 5 diantaranya cacat. Jika dari lot tersebut dipilih sampel sebanyak 5 buah produk tanpa adanya pergantian maka probabilitas banyaknya produk yang tidak cacat (x) dalam sampel tersebut membentuk suatu distribusi hipergeometrik dengan parameter-parameter N = 100, M = 100 – 5 = 95 dan n = 5.
Statistik Deskriptif Distribusi hipergeometrik
Distribusi Poisson Eksperimen poisson : - Suatu eksperimen yang meliputi pencacahan banyaknya suatu peristiwa terjadi dalam setiap satuan unit yang ditentukan. - Unit yang ditentukan ini biasanya adalah unit waktu atau ruang. - Probabilitas peristiwa tersebut adalah sama untuk setiap satuan unit - Banyaknya peristiwa yang terjadi dalam setiap satuan unit saling bebas terhadap banyaknya peristiwa yang terjadi pada setiap satuan unit yang lainnya.
Contoh eksperimen Poisson: Pencacahan banyaknya klaim asuransi kecelakaan mobil terhadap suatu perusahaan asuransi setiap tahunnya Pencacahan banyaknya panggilan telepon yang masuk setiap menitnya pada kantor pelayanan darurat jalan tol Penentuan jumlah bagian yang rusak setiap 3000 meter pita pada jalur manufaktur pita magnetik
Dalam eksperimen poisson, probabilitas memperoleh dengan tepat peristiwa sebanyak X sebanyak membentuk sebuah distibusi yang fungsi probabilitasnya adalah: dengan = laju kejadian (rata—rata banyaknya kejadian dalam satuan unit tertentu), e = konstanta dasar (basis) logaritma natural 2, 71828.
Contoh Peristiwa emisi dari partikel radioaktif yang diteksi dengan sebuah Geiger counter. Partikel-partikel ini diemisikan dalam waktu yang acak. Jumlah emisi tersebut untuk waktu yang “lama”, maka laju rata-rata emisi l partikel-partikel perdetik dapat dihitung. Kita ingin memperkirakan probabilitas banyaknya x partikel yang terdeteksi dalam selang satu detik Fungsi probabilitas Poisson dapat dipakai. Sebagai contoh, jika laju rata-rata adalah l=3 partikel per detik, maka probabilitas sebanyak 5 partikel yang terdeteksi dalam suatu pengukuran adalah:
Statistik Deskriptif Distribusi Poisson
- Slides: 38