Dpartement de Mathmatiques 1 Objectifs de Comprendre comment
Département de Mathématiques 1
Objectifs de Comprendre comment les ordinateurs 2 l’exposé ØReprésentent Ies nombres Øconvertissent des entiers ou des nombres à virgule flottante en représentation binaire et vice versa Ø réalisent des opérations mathématiques de base (addition, soustraction et multiplication) ØReprésentent (les caractères et les images …)
Système décimal Dix chiffres différents de 0 à 9 pour écrire 100) tous les nombres. 3 Soit un nombre décimal N = 2348. • Ce nombre est la somme de 8 unités, 4 • dizaines, 3 centaines et 2 milliers. Nous pouvons écrire • N = (2 x 103) + (3 x 102) + (4 x 101) + (8 x • 10 représente la base et les puissances de • 0 à 3 le rang de chaque chiffre.
Système binaire Dans les domaines de l'automatisme, de l'électronique et de l'informatique, nous utilisons la base 2 (0 et 1) 4 ü Un interrupteur est ouvert ou fermé ü Une diode est allumée ou éteinte ü Une tension est présente ou absente ü Une surface est réfléchissante ou pas (CD) ü Un champ magnétique est orienté Nord. Sud ou Sud-Nord (disque dur) A chaque état du système technologique, on associe un état logique (binaire).
2 Système binaire (Binary digit) Le chiffre binaire qui peut prendre ces deux états est nommé "Bit" (Binary digit) 5 Avec un bit nous pouvons coder deux états 1 0 2 1 1 0 0 Avec deux bits nous pouvons coder quatre états 2 = 21 4 = 22 2 0 1 3 1 0 0 0 4 1 1 2 0 0 1 3 0 1 0 8 = 23 4 0 Avec trois bits nous pouvons coder huit 5 1 états 6 1 1 1 0 0 0 1 7 1 1 0 8 1 1 1
2 Système binaire (Binary digit) Le chiffre binaire qui peut prendre ces deux états est nommé "Bit" (Binary digit) 6 Avec quatre bits nous pouvons coder seize états 16 = 24 1 0 0 2 0 0 1 0 3 0 1 0 0 4 0 1 1 0 5 1 0 0 0 6 1 0 7 1 1 0 0 8 1 1 1 0 9 0 0 0 1 1 11 0 1 12 0 1 13 1 0 0 1 14 1 0 1 1 15 1 1 0 1 16 1 1
Système binaire A chaque nouveau bit, le nombre de combinaisons possibles est doublé. Ce nombre est égal à 2 puissance N (N étant le nombre de bits). Un groupe de bits est appelé un mot, 7 un mot de huit bits est nommé un octet (byte). 0 1 0 0 0 1 Avec un octet, nous pouvons écrire 28 = 256 nombres binaires de 0 à 255 1011(2)=(1 x 23)+(0 x 22)+(1 x 21)+(1 x 20) 1011(2)=(1 x 8)+(0 x 4)+(1 x 2)+(1 x 1) 1011(2)=11(10) Description d'un octet. Bit de poids fort 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 Bit de poids faible
Correspondance entre binaire et décimal Conversion d'un nombre binaire en décimal Bit de poids fort 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 1 27 26 25 24 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 Il suffit donc de faire la somme des poids de chaque bit à 1 Le nombre ci dessus est égal à 64 + 1 = 69 8 Bit de poids faible
Conversion d'un nombre décimal (entier) en binaire Méthode des divisions 9 Exemple : Conversion d'un nombre décimal en binaire (exemple : N = 128)
Conversion d'un nombre décimal (entier) en binaire Méthode des soustractions 10 Exemple : Conversion d'un nombre décimal en binaire
Conversion d'un nombre décimal (avec virgule) en binaire Exemple 1 : 0. 625 * 2 = 1. 250 0. 250 * 2 = 0. 500 * 2 = 1. 000 poids 1*2 -1 poids 0*2 -2 poids 1*2 -3 On a donc (0. 625)10 = (0. 101)2 Exemple 2 : 12. 625 11 (12)10 = (1100)2 (0. 625)10 = (0. 101)2 (12. 625)10 = (1100. 101)2
Codage hexadécimal Définition Pourquoi le codage hexadécimal ? 12 le système hexadécimal (base 16). La manipulation des nombres écrits en binaire est relativement fastidieuse en raison de la taille des codes obtenus. Les règles sont les mêmes que pour le système décimal.
Correspondance entre binaire et hexadécimal Conversion d'un mot de 16 bits entre binaire et hexadécimal Il suffit de faire correspondre un mot de quatre bits (quartet) à chaque chiffre hexadécimal. Conversion d'un mot de 16 bits entre binaire et hexadécimal 4 D 7 F 16 = 0101111111 2 13
Correspondance entre décimal et hexadécimal La méthode par divisions s'applique comme en binaire exemple : N = 1453 en base 10 1453 D 16 90 A (1453)10 = (5 AD)16 14 16 5
Opérations arithmétiques et logiques Addition en binaire L'addition est réalisée bit à bit. 0+0=0 1+0=1 1 + 1 = 10 10 en binaire correspond à 2 en décimal. 15
Exemple d’ddition en binaire 45 = 0 0 1 0 1 1 1 + 55 = 0 0 1 1 = 100 = 16 0 1 1 0 0
Produit logique en binaire La fonction ET (&) est appliquée bit à bit 0 0 1 1 17 * * 0 1 = = 0 0 0 1
Nombres signés En binaire, l’opposé d'un nombre est son complément à 2, c'est à dire son complément + 1. On considère le nombre B = 42. = 00101010 Son complément est B = 11010101 Son opposé est -B=B+1 = 11010110 Sa forme binaire est 18 B
Soustraction Soient deux nombres A = 104 et B = 42. A - B = A + (- B) Exercice 19 Calculer 82 - 31 Le plus grand nombre signé sur 8 bits est +127 ( 01111111 ) Le plus petit nombre signé sur 8 bits est -128 ( 10000000 ) -127 à +128 => 256 combinaisons (2 puissance 8)
Codage ASCII Pour coder les caractères, on associe à chacun d'entre eux un code binaire, c'est le codage ASCII (American Standard Code for Information Interchange). 20 Le caractère A a pour code 65 soit 01000001 en binaire. Le caractère f : 102 soit 00110 en binaire le point d'interrogation ? : 63 soit 00111100 en binaire Le caractère 2 : 50 soit 00110010 en binaire
Table des codes ASCII 21
ASCII étendu 22
Représentation des images Pixels 23 ØLes images sont formées de pixels (abréviation de picture elements). ØPixel : le plus petit point que l’on peut distinguer dans une image. ØPour les images noirs et blancs, un pixel est soit noir soit blanc.
Codage des images Pixel noir → état 0 Pixel blanc → état 1 24 ØEn noir et blanc chaque pixel est codé sur un bit. ØL’image présentée possède 25 pixels sur chaque ligne et 24 pixels sur chaque colonne. ØOn peut la représenter par une matrice 24 x 25 dont chaque élément a soit la valeur 0 soit la valeur 1.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A titre d’exemple 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 voici la 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 représentation 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 des éléments de la matrice de l’image précédente. 25
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A titre d’exemple 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 voici la 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 représentation 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 des éléments de la matrice de l’image précédente. 26
Traitement d’image ØUne fois l’image codée en binaire, l’ordinateur peut faire tous les calculs et les transformations demandés sur la matrice qui la représente. ØExemple : pour obtenir le négatif de cette image l’ordinateur inverse chaque élément de matrice. (l’inverse de 0 est 1, celui de 1 est 0). 27
Les images en niveaux de gris L’ordinateur ne traite pas que des images en noir et blanc, il sait aussi coder les images en niveaux de gris 28
Les images en niveaux de gris L’ordinateur ne traite pas que des images en noir et blanc, il sait aussi coder les images en niveaux de gris 29
Les images en niveaux de gris ØChaque pixel possède un niveau de gris qui le caractérise. ØQuestion: Combien de niveaux de gris sont-ils nécessaires pour avoir un bon rendu visuel ? Réponse: on constate que 256 niveaux de gris suffisent pour donner une excellente impression visuelle. ØChaque pixel va avoir un état parmi 256 possibles. 30
Codage sur 1 Octet = 8 bits En niveaux de gris chaque pixel est codé sur un octet (=8 bits, donc 28 = 256 valeurs possibles). 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 31 = 255 blanc = 170 = 85 moyen = 0 Correspond au gris clair Correspond au gris Correspond au noir
les images en couleurs 32 Sur un écran, on reconstitue une couleur quelconque en superposant trois couleurs principales à des intensités diverses : le Rouge, le Vert et le Bleu. RVB ou RGB G pour green.
les images en couleurs 33 Sur un écran, on reconstitue une couleur quelconque en superposant trois couleurs principales à des intensités diverses : le Rouge, le Vert et le Bleu. RVB ou RGB G pour green.
Codage sur 24 bits 34 • L’intensité de la couleur rouge peut prendre une valeur entre 0 et 255, elle est codée sur 8 bits, de même pour les couleurs verte et bleue. • Chaque pixel est donc codé sur 24 bits (3 x 8) • Le nombre de couleurs possibles (256 x 256) permet d’avoir des images très réalistes d’un excellent rendu.
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