DORUSAL DENKLEMLER DORUSAL ILIKI Tuba TIRAOLU 20120907003 1
DOĞRUSAL DENKLEMLER (DOĞRUSAL ILIŞKI) Tuba TIRAŞOĞLU 20120907003 1
BU KONUDA NELER ÖĞRENECEĞIZ? � Doğrusal İlişki Nedir? � Doğrusal Denklemler 2
DOĞRUSAL ILIŞKI Doğrusal ilişki nedir? sorusunun cevabına örneklerle ulaşalım. Yandaki tabloyu ve grafiği inceleyelim. Tabloda günde 50 soru çözen bir kişinin 7 gün boyunca toplam çözdüğü soru sayıları görünüyor. 3
�Tabloda da görüldüğü gibi gün sayısı arttıkça toplamda çözülen soru sayısı da artmaktadır. Tablodaki verilerin grafiğini çizersek grafiğin bir doğru şeklinde olduğunu görürüz. 4
� Çözülen soru sayısı ile geçen gün sayısı arasındaki ilişkiyi cebirsel ifade ile gösterirsek: SORU SAYISI = GÜN x 50 � Bu örnekte olduğu gibi iki değişken arasındaki ilişkinin grafiği doğru şeklinde ise bu iki değişken arasında doğrusal ilişki vardır deriz. 5
DOĞRUSAL DENKLEM NEDİR? � Doğrusal ilişkiyi ifade eden denklem doğrusal denklemdir. � Doğrusal ya da lineer denklem terimlerinin her biri ya birinci dereceden değişken ya da bir sabit olan denklemlerdir. 6
� Böyle denklemlere "doğrusal" denmesinin nedeni içerdikleri terim ve değişkenlerin sayısına bağlı olarak (n) düzlemde ya da uzayda bir doğru belirtmesindendir. Doğrusal denklemlerin en yaygını bir x ve y değişkeni içeren formdur. 7
� Doğrusal denklem iki değişkenden oluşan ax+by+c=0 şeklinde gösterilir. Bu ifadedeki c sabit sayıdır. �a ve b katsayıları aynı anda sıfır olamaz. Grafiklerinde düz çizgiler vardır. Yamuk, dalgalı veya girintili çıkıntılı olmaz. 8
� Doğrusal denklemde a ve b katsayılarının ikisi birden 0 olamaz. Yani denklemde en az bir tane bilinmeyen bulunmalıdır. � Az önce verdiğimiz örneği incelersek: SORU SAYISI = GÜN x 50 � s = 50. g olarak yazabiliriz. Bu denklemde iki tane bilinmeyen vardır. � Bu denklem sabit terimi olmayan bir doğrusal denklemdir. 9
ŞİMDİ BAŞKA BİR ÖRNEK İNCELEYELİM : � Bir taksinin taksimetresi açılışta 3 TL ve gidilen her kilometrede 0, 5 TL yazmaktadır. Bu ilişkiyi tablo ve grafikle gösterirsek. 10
� Tablo ve grafik incelenirse veriler arasında doğrusal bir ilişki olduğu görülür. Bu ilişkiyi yazacak olursak: ÜCRET = 3 TL + YOL x 0, 5 TL ü=3+y. 0 denklemdir. Bu denklemimiz doğrusal 11
� Doğrusal ilişkiyi gösteren denklemlerin grafiği birer doğru grafiğidir. Koordinat sisteminde, doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar aynı doğru üzerinde olduklarından doğrudaştır. � (x, y), (1, 3), (-2, 1) bunlar sıralı ikilidir. 12
Doğrusal denklemler: �ax+by+c=0 �ax+by=0 �ax+c=0 �by+c=0 13
► 2 x+3 y+1=0 ► x+3 y=0 ► 4 x+2=0 ► 3 y+3=0 birer doğrusal denklemdir. 14
DOĞRUSAL DENKLEM GRAFİKLERİ � Doğrusal ilişkiyi gösteren denklemlerin grafiği birer doğru belirtir. � Koordinat sisteminde, doğruyu oluşturan sıralı ikililere karşılık gelen noktalar aynı doğru üzerinde olduklarından doğrusaldır. 15
� Grafiği çizebilmemiz için bu doğrunun geçtiği iki tane noktayı bulmamız yeterlidir. Ayrıca koordinat düzlemini de bilmek gerekir. 16
� Şimdi bu iki noktayı nasıl bulacağımızı görelim: ► Doğru denkleminde x yerine bir değer vererek o noktanın y değerini veya y yerine değer vererek x değerini bulabiliriz. ► Böylece bir tane (x, y) sıralı ikilisi yani bir nokta buluruz. 17
► Aynı şekilde başka değerler vererek istediğimiz kadar nokta bulabiliriz. Ama bize 2 tane nokta yeterli. ► Bulduğumuz noktaları koordinat sisteminde işaretleyerek bu noktalardan geçecek şekilde bir doğru çizeriz. 18
Örnek: y=x+1 doğrusal denkleminin grafiğini çizelim. � Denklemde x yerine değerler vererek y değerleri bulalım. � x yerine 0 yazarsak y=x+1 olduğundan y=1 bulunur. İlk noktamız (0, 1) oldu. � x yerine 2 yazarsak y=x+1 olduğundan y=3 bulunur. İkinci noktamız da (2, 3) oldu. � Bu iki noktayı kartezyen koordinat sisteminde bularak 19 bu noktalardan geçen doğruyu çiziyoruz.
20
Grafikleri yukarıdaki gibi çizebildiğimiz gibi daha çok şu yöntemi kullanırız: ► x’e sıfır (0) değeri verilerek y değeri bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun y eksenini kestiği noktadır. ) ► y’ye sıfır (0) değeri verilerek x değeri bulunur. (Bulduğumuz nokta doğrunun x eksenini kestiği noktadır) ► Bulduğumuz iki noktayı koordinat sisteminde işaretleyerek bu noktalardan geçecek şekilde bir doğru çizeriz. 21
� Örnek: 2 x + y = 4 doğrusunun grafiğini çizelim. x yerine 0 yazarsak 2. 0 + y = 4'den y=4 bulunur. İlk noktamız (0, 4) oldu. � Bu nokta aynı zamanda doğrunun y eksenini kestiği noktadır. � y yerine 0 yazarsak 2 x + 0 = 4'den x=2 bulunur. İkinci noktamız (2, 0) oldu. � Bu nokta aynı zamanda doğrunun x eksenini kestiği noktadır. � Şimdi bu noktaları koordinat düzleminde bularak grafiğimizi çizelim. � 22
23
ORİJİNDEN GEÇEN DOĞRUNUN GRAFİĞİ � Doğrusal denklemde x yerine sıfır (0) yazdığımızda y de sıfır (0) çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. � İkinci bir nokta bulmak için x veya y yerine sıfırdan farklı bir değer veririz. (Orijinden geçen doğruların denkleminde sabit terim olmaz. Eğer sabit terim yoksa orijinden geçtiğini anlayabiliriz) 24
�Örnek: y=-2 x doğrusunu ele alalım. � x yerine 0 yazarsak y de 0 çıkar. (0, 0) orijinden geçer. x yerine 2 yazarsak y=-4 çıkar. (2, -4) noktasından da geçer. � Bu iki noktayı koordinat sisteminde buluruz ve grafiği çizeriz. 25
26
EKSENLERE PARALEL DOĞRULARIN GRAFİĞİ � Doğrusal denklemde eğer bir tane değişken varsa bu denklemin grafiği x veya y eksenine paraleldir. ► Eğer denklemimizde sadece x değişkeni varsa bu denklemin grafiği y eksenine paraleldir. 27
► Eğer denklemimizde sadece y değişkeni varsa bu denklemin grafiği x eksenine paraleldir. Örneğin y=-3 denkleminin grafiğini çizecek olursak bu doğru y eksenindeki -3 noktasından dik geçer ve x eksenine paraleldir. 28
KAYNAKÇA � www. matematikciler. org � www. vitaminegitim. com � www. matematikcihoca. com 29
30
31
32
- Slides: 32