Dopravn loha Literatura Koskov I Distribun lohy I

Dopravní úloha Literatura Kosková I. : Distribuční úlohy I 1

Jednostupňová dvouindexová úloha • Přeprava zboží, materiálu, lidí …z míst zdrojů k místům spotřeby jediným způsobem • To, co odvážíme nebo přivážíme se jednoduše sčítá – Odkud - dodavatelé – Kam – spotřebitelé – Co (kolik)? – Za kolik? D S 2

Dopravní úloha • • • Matematický model Tabulkový zápis Vyvážení úlohy Nalezení výchozího řešení Test optima Přechod na lepší řešení 3

Matematický model • Najděte minimum (maximum) lineární funkce • za podmínek • a podmínek nezápornosti 4

Příklad • Ze tří kompostů rozvážíme hnojivo na čtyři hony. • Vzdálenosti v km mezi jednotlivými komposty a hony, kapacity kompostů a požadavky honů jsou uvedeny v dopravní tabulce. • Máme určit takový přepravní plán, při kterém bude celkový počet ujetých tkm minimální. S 1 S 2 S 3 S 4 ai D 3 5 4 1 10 D 2 1 3 2 20 D 4 5 1 3 10 bj 10 5 5 20 5

Políčko uvnitř tabulky Perspektivita ui+vj-cij ui+vj Hodnota testu optimality cij xij Qij Vzdálenost Propustnost Přepravované množství 6

Charakter dopravního systému • Kapacity dodavatelů • Požadavky spotřebitelů • Matice vzdáleností a = (10, 20, 10)T b = (10, 5, 5, 20) • Úloha je vyvážená 7

Vyvážení úlohy • Kapacita dodavatelů vyšší než požadavky spotřebitelů: přidáme fiktivního spotřebitele – převis nabídky – část dodávek se nerealizuje • Kapacita dodavatelů menší než požadavky spotřebitelů: přidáme fiktivního dodavatele – převis poptávky – určitá část poptávky bude neuspokojená 8

Vyvážení úlohy • Sazby ve fiktivním řádku i sloupci budou nulové • Kapacita fiktivního sloupce (spotřebitele) se rovná součtu kapacit dodavatelů mínus součet kapacit spotřebitelů • Kapacita fiktivního řádku se rovná součtu kapacit spotřebitelů mínus součet kapacit dodavatelů 9

Metody pro nalezení výchozího řešení • Metoda severozápadního rohu • Indexová metoda • Vogelova aproximační metoda 10

Metoda severozápadního rohu • 1. krok: – Dopravní tabulka má právě jeden severozápadní roh (buňku); – Obsadíme tuto buňku maximálním možným množstvím zboží xij, tj. hodnotou min(ai, bj) – Dodavatele, resp. spotřebitele, který má vyčerpanou kapacitu, resp. požadavek vypustíme z dalších úvah (vyškrtneme z dopravní tabulky). • 2. krok: – V nově vzniklé dopravní tabulce (bez vyškrtnutého dodavatele, resp. spotřebitele) opakujeme krok 1. • Konec algoritmu: – když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů 11 a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů.

Metoda severozápadního rohu • Výchozí řešení nalezené metodou SZ rohu 12

Indexová metoda 1. krok: – V dopravní tabulce najdeme nejmenší cenu a buňku, která tuto cenu obsahuje, obsadíme maximálním množstvím zboží xij, tj. hodnotou min(ai bj). – Dodavatele, resp. spotřebitele, jehož kapacitu jsme vyčerpali, resp. jehož požadavek jsme uspokojili, vyškrtneme z tabulky a vypustíme z dalších úvah. 2. krok: – V nově vzniklé tabulce (menší, bez vyškrtnutého dodavatele, resp. spotřebitele) opakujeme krok 1. Konec algoritmu: – když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a uspokojeny požadavky všech spotřebitelů. 13

Indexová metoda • První krok indexové metody 14

Indexová metoda • Výchozí řešení nalezené indexovou metodou 15

Vogelova aproximační metoda 1. krok: – V každém řádku a každém sloupci (dále jen v každé řadě tabulky) určíme rozdíly mezi dvěma nejvýhodnějšími cenami; nazveme je řádkové, resp. sloupcové diference (dále jen řadové diference). 2. krok: – V řadě (řádku nebo sloupci) s největší diferencí se vyhledá buňka s nejvýhodnější cenou a obsadí se maximálním přípustným množstvím zboží xij. Dodavatel, resp. spotřebitel, u kterého je vyčerpána kapacita, resp. splněn požadavek, se z tabulky vyškrtne a vypustí z dalších úvah. 3. krok: V nově vzniklé (menší) tabulce se opakuje krok 1. a 2. Konec algoritmu: – když jsou vyčerpány kapacity všech dodavatelů a splněny požadavky všech spotřebitelů. 16

Vogelova aproximační metoda • Volba první trasy 17

Test optimality 1. krok: – Určíme m+n hodnot duálních proměnných ui, vj ze vztahu ui+vj = cij, tj. pro (i, j) B (obsazená pole). Protože soustava rovnic má jeden stupeň volnosti (o jednu proměnnou víc než je rovnic), volíme ji libovolně (např. položíme u 1= 0). 2. krok: – – – Pro všechny indexy (i, j) B (neobsazená pole) prověříme, zda platí ui+vj = cij. Platí-li to pro všechny (i, j) B, řešení DÚ je optimální. V opačném případě se dá řešení zlepšit: 3. krok – Vybereme největší z rozdílů ui+vj - cij 0 a buňku Di. Sj obsadíme maximálním možným množstvím zboží (to se provede tzv. Dantzigovým uzavřeným obvodem). 18

První krok testu optimality 19

Druhý krok testu optimality • Řešení je optimální 20

Test optimality • Jiné výchozí řešení • Řešení není optimální 21

Přechod na nové řešení • Jedná se o změnu báze • Změna přepravovaného množství musí být vyrovnána pro všechny dodavatele i spotřebitele • Provádíme graficky v dopravní tabulce • Grafické schéma se nazývá Dantzigův uzavřený obvod 22

Dantzigův obvod - definice • Je to lomená čára, která vychází z neobsazené buňky (i, j) B, lomí se v obsazených buňkách (r, s) B a končí v původní buňce. • Buňky, ve kterých se obvod lomí, označujeme střídavě znaménky + a podle toho, zda příslušnou hodnotu xij k trase přidáváme nebo z trasy odebíráme. • Aby nové řešení bylo bazické, tj. obsahovalo opět m+n 1 kladných hodnot cij, volíme za přesunovanou hodnotu xij minimální z hodnot xij na rozích uzavřeného obvodu označených znaménkem . 23

Danzigův uzavřený obvod + - - + 24

Nové řešení • Přesun t=5 po Danzigově obvodu • Řešení je degenerované 25

Degenerace • Říkáme, že řešení je degenerované, když počet • kladných hodnot xij (tj. počet obsazených spojů) je menší než m+n-1. Degenerace vzniká: 1. Při konstrukci výchozího řešení 2. Při přesunech po Dantzigových obvodech • Odstranění degenerace – Vložíme malé množství ε na neobsazené pole, které s ostatními obsazenými netvoří uzavřený okruh. Toto pole pak považujeme za obsazené. 26

Degerace při přesunu po Dantzigově obvodu 27

Odstranění degenerace • Vložíme malé množství ε na neobsazené pole, které s ostatními obsazenými netvoří uzavřený okruh. Toto pole pak považujeme za obsazené. 28

Degenerace ve výchozím řešení • Vyčerpána zároveň kapacita i požadavek 29

Nové řešení + + - 30

Nové řešení 31

Optimální řešení 32

33