DmEyer dallanmas iin ele alnan nrnee yksek mertebeden
Düğüm-Eyer dallanması için ele alınan ön-örneğe yüksek mertebeden terimler eklense davranışı yapısal olarak değişir mi? Hatırlatma Lemma sistemi topolojik olarak eşdeğerdir. Bu soru neden önemli sistemine orijin civarında Topolojik Eşdeğerlilik: h homeomorfizm Zamanla değişimin yönünü koruyarak ve topolojik eşdeğerdir Tanıt iki aşamalı (1) Denge noktalarının analizi yapılıyor Kapalı fonksiyon (Implicit Function) teoreminden yararlanılarak denge noktalarını içeren manifoldun yerel olarak dallanma parametresini durum değişkenine bağlı olacak şekilde ifade edilebildiği gösterilip, her iki sistem için denge noktalarının birbirlerine yakın olduğu gösterilir.
Teorem: (İmplicit function ) Hatırlatma ’de bir noktayı ile belirtelim matrisi tersinir ise U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere öyle ki: (2) Homeomorfizm oluşturuluyor Nasıl belirlenecek? a ‘yı içeren bir açık küme vardır,
Düğüm-Eyer dallanması için ele alınan ön-örneğe yüksek mertebeden terimler eklense de topolojik eşdeğerliğin korunduğu görüldü. sisteminin parametre değeri için noktası olsun ve bu denge noktası civarında ‘da denge olsun. Bu koşul neye karşı geliyor? Nasıl yazıldı? Nasıl ? denge noktası Hiperbolik değil Dallanma noktasında kuadratik terimler içermekte Çaprazlık koşulu
Teorem Kuznetsov’ 04 (84) * * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. Tanıt * Sisteminin verilen koşullar altında dönüşümler ile sistemine dönüştüğünü gösterilecek. Neden yararlanabiliriz? Hatırlatma denge noktası Hiperbolik değil
Koordinat-ötelemesi: Bu terimin yok olması için koşul yazılabilir. Hipotezden
Teorem: (İmplicit function ) ’de bir noktayı Hatırlatma ile belirtelim matrisi tersinir ise U ve b’yi içeren bir açık küme V olmak üzere öyle ki: a ‘yı içeren bir açık küme vardır, Hipotezden Kapalı fonksiyon teoreminden yerel olarak ve fonksiyonu var ve tektir, Nasıl?
Yeni bir parametre tanımlama: Hipotezden Ters fonksiyon teoreminden Ölçekleme:
Lemma sistemi topolojik olarak eşdeğerdir. Teorem sistemine orijin civarında * * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. * Sistemi orijin civarında olarak eşdeğerdir. sistemine topolojik
Bir parametreye bağlı yerel dallanmalar için basit koşullar Hatırlatma Dallanmanın eşboyutu=1 Düğüm-Eyer Katlanma Limit nokta Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004. Hopf Andronov-Hopf
Hopf Dallanması Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
Hopf Dallanması Teorem * yeterince küçük tüm özdeğerleri ‘lar için ‘da olan denge noktası olsun. birinci Lyapunov katsayısı * Sistemini ** dönüştüren tersinir koordinat, parametre ve zamanı ölçekleyen dönüşümler vardır. Lemma sistemi orijin civarında (**) sistemine topolojik olarak eşdeğerdir. http: //www. scholarpedia. org/article/Andronov-Hopf_bifurcation
Bazı diğer yerel dallanmalar için koşullar Uç Dallanması: denge noktasının parametre değerinde bir uç dallanma noktası olması için sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerdir: denge noktası Hiperbolik değil Dallanma noktasında kuadratik terimler içermemekte ancak kübik terimler içermekte Çaprazlık koşulu ile tanımlanan ve lineer bağımsız Uç Dallanması için önörnek: F. C. Hoppensteadt, E. M. Izhikevich, “Weakly Connected Neural networks”, Springer, 1997.
Diren Dallanması: denge noktasının parametre değerinde bir uç dallanma noktası olması için sağlaması gereken koşullar aşağıdakilerdir: denge noktası Hiperbolik değil Dallanma noktasında kuadratik terimler içermemekte ancak kübik terimler içermekte Çaprazlık koşulu Diren Dallanması için önörnek:
Ayrık zamanda bir parametreye bağlı yerel dallanmalar için basit koşullar Katlanma Dallanması : Çevirme Dallanması : Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
Teorem Kuznetsov’ 04 (123) * * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır. Teorem Kuznetsov’ 04 (127) * * Sistemini dönüştüren tersinir koordinat ve parametre dönüşümleri vardır.
Hiperbolik olmazsa ne yapabiliriz? x* hiperbolik olmayan denge noktası olsun ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sol kompleks düzlemde olanlara ilişkin özvektörlerin oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay “kararlı altuzay”, ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sağ kompleks düzlemde olanlara ilişkin özvektörlerin oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay “kararsız altuzay”, ‘in özdeğerlerinden reel kısımları sıfır olanlara ilişkin özvektörlerin oluşturduğu genelleştirilmiş özuzay “merkez altuzay” ise Neyi temsil ediyor?
¤ * Teorem 11: (Merkez Manifold ) ‘de ‘ın bir komşuluğu olsun, manifoldu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa “merkez manifold”’dur (değişmezlik) (çekicilik) , ‘nun komşuluğunda * veya ¤ için yerel olarak değişmez kümedir. ise yerel olarak çekici bir kümedir. Y. A. Kuznetsov, “Elements of Applied Bifurcation Theory”, Springer, 2004.
Kaos’a varmanın yolları Düzen Nasıl? Umulmadık yapısal değişiklikler ile Kaos Bu nasıl oluşabilir? Ardışıl bir dizi dallanma ile, peryod katlanmasına yol açan dallanmalar ile durum uzayındaki davranış değişmeye başlayıp durum uzayında kalıcı çözüm tuhaf çekiciye dönüşebilir. Bir örnek: Lorenz Sistemi Hangi dallanma? Denge noktaları
Lineerleştirelim: Özdeğerler Ne zaman kararlı, ne zaman kararsız ? Lineerleştirelim: Özdeğerler
Denge noktalarının var olması için olmalı http: //www. cg. tuwien. ac. at/~fischel/Lorenz 97/raleigh. html
http: //www. cg. tuwien. ac. at/~fischel/Lorenz 97/raleigh. html
- Slides: 23