DMBO Dualno i gry Problem pakowania plecaka ilustracja

DMBO Dualność i gry

Problem pakowania plecaka – ilustracja dualności • Złodziej napada na magazyn z plecakiem. • Plecak nie może być zbyt ciężki, bo złodziej go nie uniesie. • W magazynie znajduje się dużo dobrze podzielnych towarów np. złoto, srebro, pył diamentowy. • Złodziej chce zapełnić plecak najbardziej cennymi towarami. Jak zdecyduje co wziąć do plecaka?

Model • Parametry: W – maksymalna waga plecaka N – ilość towarów w magazynie wi – waga dobra i vi – wartość dobra i • Zmienne decyzyjne: xi – jak dużo towaru i włożyć do plecaka (udział całości tego co jest w magazynie) • Funkcja celu: Maksymalizuj wartość towarów • Ograniczenia: (a) Złodziej nie może wziąć więcej danego towaru niż jest w magazynie. (b) Złodziej nie uniesie więcej niż plecak i siły pozwolą. (c) Złodziej nie może ukraść ujemnej ilości towarów (jeśli jest złodziejem)

Model • Problem można zatem sformułować jako ZPL: Max

Przykład problemu prymalnego: Problem złodzieja • Podstawmy N=3, W=4, w=(2, 3, 4) i v=(5, 20, 3) złoto, diamenty i srebro. max p. w. Rozwiązanie problemu złodzieja: (x 1, x 2, x 3)=(0. 5, 1, 0) Wartość funkcji celu: 22. 5

Analiza • Tylko jeden towar (złoto) jest wybrany w części ułamkowej. Jest to ogólna zasada w problemach z pakowaniem plecaka z N towarami. • Intuicja: – Optymalne rozwiązanie w tym przykładzie jest jednoznaczne. – Aby jednoznacznie wyznaczyć 3 niewiadome, potrzebujemy 3 równania liniowe. – Czyli przynajmniej 3 nasze ograniczenia muszą być spełnione w postaci równości. – Jedno ograniczenie to waga plecaka, ale pozostałe dwa dotyczą ilości towarów 0≤xi≤ 1. – Zatem tylko jeden towar może być wybrany w postaci ułamkowej w optimum.

Syndyk wykupuje złodzieja • Przypuśćmy, że syndykat przestępczy chce wykupić skradzione towary od złodzieja. • Proponują ceny y 1 za złoto, y 2 za diamenty, y 3 za srebro oraz y 4 za kilogram plecaka. • Ale złodziej może użyć 2 kilogramy pojemności plecaka i całe swoje złoto, aby wygenerować zysk 5 jednostek, czyli 2 y 4+y 1 powinno wynosić przynajmniej 5. Podobnie w przypadku pozostałych towarów. • Syndykat chciałby zminimalizować całkowitą cenę, którą płaci złodziejowi y 1+y 2+y 3+4 y 4 • Ceny powinny być nieujemne, inaczej złodziej nie sprzeda towarów i plecaka.

Przykład problemu dualnego: Problem syndyka • Problem syndyka można zatem przedstawić następująco: min p. w. Rozwiązanie problemu syndyka: (y 1, y 2, y 3, y 4)=(0, 12. 5, 0, 2. 5) Optymalna wartość funkcji celu: 22. 5

Problem złodzieja: Jest równoważny: Ponieważ np. Przekształcamy: Ponieważ np. To jest równoważny problemowi syndyka:

Rozwiązanie problemu syndyka: (y 1, y 2, y 3, y 4)=(0, 12. 5, 0, 2. 5) ceny dualne Optymalna wartość funkcji celu: 22. 5 Rozwiązanie problemu złodzieja: (x 1, x 2, x 3)=(0. 5, 1, 0) Optymalna wartość funkcji celu: 22. 5 PROBLEM DUALNY: SYNDYKA Microsoft Excel 14. 1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook 3]Sheet 5 Report Created: 11/1/2011 4: 06: 44 PM Variable Cells Cell $B$2 y 1 $B$3 y 2 $B$4 y 3 $B$5 y 4 Name Final Reduced Objective Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 0 0. 5 1 1 E+30 0. 5 12. 5 0 1 0. 333333333 0 1 1 1 E+30 1 2. 5 0 4 1 1 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Cell Name Value Price R. H. Side Increase $F$7 min cena za złoto 5 0. 5 5 8. 33333 $F$8 min cena za diamenty 20 1 E+30 $F$9 min cena za srebro 10 0 3 7 Allowable Decrease 3. 5 12. 5 1 E+30

Rozwiązanie problemu złodzieja: (x 1, x 2, x 3)=(0. 5, 1, 0) Optymalna wartość funkcji celu: 22. 5 Rozwiązanie problemu syndyka: (y 1, y 2, y 3, y 4)=(0, 12. 5, 0, 2. 5) ceny dualne Optymalna wartość funkcji celu: 22. 5 PROBLEM PRYMALNY: ZŁODZIEJA Microsoft Excel 14. 1 Sensitivity Report Worksheet: [Workbook 3]Sheet 1 Report Created: 11/1/2011 1: 53: 00 PM Variable Cells Cell Name $B$2 x 1 $B$3 x 2 $B$4 x 3 Final Reduced Objective Allowable Value Cost Coefficient Increase 0. 5 0 5 8. 33333 1 0 20 1 E+30 0 -7 3 7 Allowable Decrease 3. 5 12. 5 1 E+30 Constraints Final Shadow Constraint Allowable Cell Name Value Price R. H. Side Increase Decrease $F$6 waga plecaka 4 2. 5 4 1 1 $F$7 ilość x 1 0. 5 0 1 1 E+30 0. 5 $F$8 ilość x 2 1 12. 5 1 0. 333333333 $F$9 ilość x 3 0 0 1 1 E+30 1

Gry o sumie zerowej • W grach o sumie zerowej wypłaty sumują się do zera w każdym stanie • Diagram przesunięć

Gry o sumie zerowej • Minimax = maximin = wartość gry • Gra może mieć wiele punktów siodłowych

Gry o sumie zerowej • Albo nie mieć ich wcale • Jaka jest wartość gry w takim przypadku? – Jeśli gra nie ma punktu siodłowego, trzeba wprowadzić strategie mieszane

Gry o sumie zerowej • Jeśli jest więcej niż dwie strategie dla jednego gracza i gra nie ma punktu siodłowego, nie wiadomo, które strategie będą częścią optymalnej strategii mieszanej • Niech mieszana strategia Kolumny będzie (x, 1 -x) • Wypłata Wiersza dla każdej jego strategii

Gry o sumie zerowej • Kolumna będzie wybierała x, aby zmaksymalizować „górną kopertę” (upper envelope)

Gry o sumie zerowej • Przekształcamy w problem programowania liniowego

Studium przypadku: Teoria gier i dualność • W latach pięćdziesiątych, Davenport studiował zachowanie rybaków w małej wiosce na Jamajce.

• Twenty-six fishing crews in sailing, dugout canoes fish this area [fishing grounds extend outward from shore about 22 miles] by setting fish pots, which are drawn and reset, weather and sea permitting, on three regular fishing days each week … The fishing grounds are divided into inside and outside banks. The inside banks lie from 5 -15 miles offshore, while the outside banks all lie beyond … Because of special underwater contours and the location of one prominent headland, very strong currents set across the outside banks at frequent intervals … These currents are not related in any apparent way to weather and sea conditions of the local region. The inside banks are almost fully protected from the currents. [Davenport 1960]

Jamajka

Strategie 26 drewnianych kanoe. Kapitanowie tych kanoe mają do dyspozycji 3 strategie połowu: • IN – ustawić wszystkie kosze w zatokach • OUT – ustawić wszystkie kosze na wodach odsłoniętych • IN-OUT – część koszy w zatokach część na zewnątrz

Zalety i wady połowu na otwartym morzu WADY ZALETY • Dopłynięcie do łowiska zabiera więcej czasu, więc można postawić mniej koszy • Jak prąd jest aktywny, powoduje duże zagrożenie dla koszy ustawionych na otwartym morzu • Ryby na łowiskach zewnętrznych są dużo lepszej jakości – Znosi znaczniki – Uszkadza kosze podczas przesuwania – Zmiany temperatury wody mogą zabijać ryby wewnątrz koszy – Jeśli jest ich dosyć, mogą wyprzeć ryby z łowisk wewnętrznych zupełnie z rynku • Rybołóstwo na łowiskach zewnętrznych wymaga dużo lepszych kanoe – Zazwyczaj ci, którzy łowią na łowiskach wewnętrznych kupują używane kanoe od tych, którzy łowią na łowiskach zewnętrznych – Posiadanie lepszych kanoe daje dużo prestiżu, ponieważ ich kapitanowie dominują w corocznych wyścigach kanoe

Dane • Davenport zebrał dane dotyczące średnich dziennych zysków w zależności od strategii połowu oraz obecności/nieobecności prądu RybacyPrąd Płynie Nie płynie IN 17, 3 11, 5 OUT -4, 4 20, 6 IN-OUT 5, 2 17, 0

Strategia OUT

1 Gra o sumie zerowej? ? • Nie ma punktu siodłowego • Strategia mieszana – załóżmy, że „złośliwy” prąd „stosuje” strategię „Płynę” z prawdopodobieństwem p 1, „Nie płynę” z prawdopodobieństwem p 2 • Strategia rybaków: IN z prawd. q 1, OUT z prawd. q 2, IN-OUT z prawd. Q 3 • Dla każdego p rybacy wybierają strategię (q) z maksymalną wypłatą • A „złośliwy” prąd wybiera p tak, aby rybacy zarobili jak najmniej

Rozwiązanie graficzne problemu prądu 21 19 17 15 Solution: p=0. 31 IN 13 OUT 11 IN-OUT 9 7 Optymalna strategia mieszana prądu 0 0. 05 0. 15 0. 25 0. 35 0. 45 0. 55 0. 65 0. 75 0. 85 0. 95 1 5

Podobnie w przypadku odwrotnym: • Dla każdej strategii rybaków q, prąd „wybiera” taką, dla której rybacy zarobią najmniej: • Rybacy natomiast będą się starali tak wybrać q, aby zmaksymalizować swoją wypłatę

Maxmin i minimax funkcja celu minimalizuj 13. 31 Oczekiwana wypłata ze strategii wewnętrznej zewnętrznej in-out prawdopodobieństwa 13. 31 12. 79 13. 31 1. 00 funkcja celu maksymalizuj 13. 31 Oczekiwana wypłata prądu gdy: płynę nie płynę prawdopodobieństwa 13. 31 1. 00 q 1 >= >= = Strategia prądu p 1 -p 0. 31 0. 69 <= <= <= = 13. 31 1. 00 Strategia rybaków q 2 0. 67 0. 00 13. 31 1. 00 q 3 0. 33

Raport wrażliwości minimax Microsoft Excel 14. 1 Sensitivity Report Worksheet: [maximinnowe. xlsx]minimax Report Created: 11/16/2011 12: 19: 08 PM Variable Cells Cell Name $B$3 minimalizuj funkcja celu $C$3 minimalizuj p $D$3 minimalizuj 1 -p Final Value 13. 3125 0. 6875 Reduced Cost Constraints Cell Name $B$6 wewnętrznej funkcja celu $B$7 zewnętrznej funkcja celu $B$8 in-out funkcja celu $B$9 prawdopodobieństwa funkcja celu Final Value 13. 3125 12. 7875 13. 3125 1 Shadow Constraint Allowable Price R. H. Side Increase Decrease -0. 670454545 0 12. 1 0. 7 0 0 1 E+30 0. 525 -0. 329545455 0 0. 3 12. 1 13. 3125 1 1 E+30 1 Objective Allowable Coefficient Increase Decrease 0 1 1 E+30 1 0 0 11. 8 5. 8 0 0 5. 8 11. 8

Raport wrażliwości maximin Microsoft Excel 14. 1 Sensitivity Report Worksheet: [maximinnowe. xlsx]maximin Report Created: 11/16/2011 12: 20: 13 PM Variable Cells Cell Name $B$3 maksymalizuj funkcja celu $C$3 maksymalizuj q 1 $D$3 maksymalizuj q 2 $E$3 maksymalizuj q 3 Final Reduced Objective Allowable Value Cost Coefficient Increase Decrease 13. 3125 0 1 1 E+30 1 0. 670454545 0 0 0. 7 12. 1 0 -0. 525 0 0. 525 1 E+30 0. 329545455 0 0 12. 1 0. 3 Constraints Cell Name $B$6 płynę funkcja celu $B$7 nie płynę funkcja celu $B$8 prawdopodobieństwa funkcja celu Final Value 13. 3125 1 Shadow Constraint Allowable Price R. H. Side Increase Decrease -0. 3125 0 5. 8 11. 8 -0. 6875 0 11. 8 5. 8 13. 3125 1 1 E+30 1

Prognoza i obserwacja Gra o sumie zerowej • Nikt nie ryzykuje zastawiania koszy na zewnętrznych łowiskach • Optymalna strategia rybaków: 67% IN, 33% IN-OUT [Oczekiwana wypłata: 13. 31] • Optymalna strategia prądu: 31% PŁYNIE, 69% NIE PŁYNIE Obserwacja • Nikt nie ryzykuje zastawiania koszy na zewnętrznych łowiskach • Strategia rybaków: 69% IN, 31% IN-OUT [Oczekiwana wypłata: 13. 38] • Prąd: 25% PŁYNIE, 75% NIE PŁYNIE Konkluzja Davenporta: rybacy są dobrze przystosowani Odkrycie Davenporta przez parę lat nie zostało zakwestionowane aż do momentu …

Prąd nie jest złośliwy • Kozelka 1969 oraz Read, Read 1970 zauważyli, że – Prąd nie dostosowuje swojej „strategii” do działań rybaków – Dlatego rybacy powinni zastosować zasadę oczekiwanych zysków • Oczekiwane zyski rybaków – IN: 0. 25 x 17. 3 + 0. 75 x 11. 5 = 12. 95 – OUT: 0. 25 x (-4. 4) + 0. 75 x 20. 6 = 14. 35 – IN-OUT: 0. 25 x 5. 2 + 0. 75 x 17. 0 = 14. 05 • Czyli wszyscy rybacy powinni łowić na zewnętrznych łowiskach • Może jednak nie są zbyt dobrze przystosowani RybacyPrąd Płynie (25%) Nie płynie (75%) IN 17, 3 11, 5 OUT -4, 4 20, 6 IN-OUT 5, 2 17, 0

Prąd może być jednak złośliwy • Prąd nie rozumuje, ale łowienie na otwartym morzu jest bardzo ryzykowne. • Nawet jeśli prąd płynie ŚREDNIO 25% czasu, to jednak może płynąć częściej w danym roku. • Załóżmy, że w jednym roku prąd płynie 35% czasu. Oczekiwana wypłata: – IN: 0. 35 x 17. 3 + 0. 65 x 11. 5 = 13. 53 – OUT: 0. 35 x (-4. 4) + 0. 65 x 11. 5 = 11. 85 – IN-OUT: 0. 35 x 5. 2 + 0. 65 x 17. 0 = 12. 87. • Poprzez potraktowanie prądu jak złośliwego gracza rybacy GWARANTUJĄ sobie wypłatę przynajmniej 13. 31, niezależnie od tego, jak często płynie prąd • Rybacy płacą $1. 05 składki ubezpieczeniowej Rzeczywisty (25%) Złośliwy (31%) Gra o sumie 0 13. 3125 Rzcezywista 13. 291 13. 31164 OUT 14. 35 12. 85 35% 13. 3125 13. 3254 11. 85

Skojarzenia x Dawid Edward Filip colsums Helena kompatyblino ść Helena Dawid Edward Filip funkcja celu Gosia 1 0 0 1 Irena 0 1 Gosia 1 0. 75 0. 5 rowsums 0 0 1 1 1 Irena 0 2 2. 5 0. 5 1 1. 5 4. 5 http: //mathsite. math. berkeley. edu/smp. html