Dlitelnost pirozench sel RNDr Ji Kocourek Dlitelnost pirozench

Dělitelnost přirozených čísel RNDr. Jiří Kocourek

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b|a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“.

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b|a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“. Příklady: 5 | 35 ; 2 | 5 468 ; 1 | 29 ; 91 | 91 ; . . . .

Dělitelnost přirozených čísel Násobek a dělitel: Číslo a je násobkem čísla b (číslo b je dělitelem čísla a) právě když existuje takové číslo k, že platí: a = k·b Zápis: b|a Čteme: „a je dělitelné b“, nebo „b dělí a“. Příklady: 5 | 35 ; 2 | 5 468 ; 1 | 29 ; 91 | 91 ; . . . . Poznámka: Číslo 1 je dělitelem každého přirozeného čísla n. Každé přirozené číslo n je dělitelem sama sebe 1 | n ; n | n

Soudělná čísla: Čísla a, b nazýváme soudělná, jestliže mají společného dělitele většího než jedna. Příklady: 4, 12. . společný dělitel 2 125, 35. . společný dělitel 5 13, 143. . společný dělitel 13

Soudělná čísla: Čísla a, b nazýváme soudělná, jestliže mají společného dělitele většího než jedna. Příklady: 4, 12. . společný dělitel 2 125, 35. . společný dělitel 5 13, 143. . společný dělitel 13 Nesoudělná čísla: Čísla a, b nazýváme nesoudělná, jestliže jejich společným dělitelem je pouze číslo jedna. Příklady: 4, 11 ; 15, 28 ; 11, 37

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z. . zbytek po dělení čísla n číslem b

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z. . zbytek po dělení čísla n číslem b Příklady: 15 = 2· 6 + 3 121 = 11· 11 + 0 „zbytek po dělení čísla 15 číslem 6 je 3“ „zbytek po dělení čísla 121 číslem 11 je 0“

Dělení se zbytkem: Libovolné přirozené číslo n lze pomocí přirozeného čísla b vyjádřit jako: n = k·b + z , kde k a z jsou přirozená čísla nebo nula a z < b z. . zbytek po dělení čísla n číslem b Příklady: 15 = 2· 6 + 3 121 = 11· 11 + 0 „zbytek po dělení čísla 15 číslem 6 je 3“ „zbytek po dělení čísla 121 číslem 11 je 0“ Libovolné přirozené číslo n lze vyjádřit jedním ze způsobů: n = 2 k, n = 2 k+1 nebo n = 3 k, n = 3 k + 1, n = 3 k +2 nebo n = 4 k, n = 4 k +1, n = 4 k +2, n = 4 k +3. . . atd.

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi Dělitelnost devíti: (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24) Ciferný součet je dělitelný devíti (315 288, je dělitelné devíti 3+1+5+2+8+8=27)

Znaky dělitelnosti: Dělitelnost dvěma: Poslední cifra je dělitelná dvěma (23 985 674 je dělitelné dvěma) Dělitelnost třemi: Ciferný součet je dělitelný třemi (5 361 je dělitelné třemi 5+3+6+1=15) Dělitelnost čtyřmi: Poslední dvojčíslí je dělitelné čtyřmi (267 148 je dělitelné čtyřmi) Dělitelnost pěti: Poslední cifra je 0 nebo 5 (1 079 620, 2 225 jsou dělitelná pěti) Dělitelnost šesti: Číslo je dělitelné zároveň dvěma a třemi Dělitelnost devíti: (4 109 640, je dělitelné šesti 4+1+0+9+6+4+0=24) Ciferný součet je dělitelný devíti (315 288, je dělitelné devíti 3+1+5+2+8+8=27) Dělitelnost deseti: Poslední cifra je 0 (34 077 120 je dělitelné deseti)

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . 1, 2, 4

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 1, 233

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 1, 233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 1, 233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva dělitele. Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají alespoň tři dělitele.

Prvočísla a složená čísla Úlohy: Najděte všechny dělitele čísel: 4 5 12 13 64 9 231 233 . . . . 1, 2, 4 1, 5 1, 2, 3, 4, 6, 12 1, 13 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 9 1, 3, 7, 11, 21, 33, 77, 231 1, 233 Každé přirozené číslo n > 1 má alespoň dva dělitele: 1 a n Prvočísla jsou všechna přirozená čísla, která mají právě dva dělitele. Složená čísla jsou všechna přirozená čísla, která mají alespoň tři dělitele. Poznámka: Číslo 1 není ani prvočíslo, ani číslo složené.

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 5 12 13 64 9 231 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2· 2 5=5 12 = 2· 2· 3 13 = 13 64 = 2· 2· 2· 2 9 = 3· 3 231 = 3· 7· 11 233 = 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2· 2 5=5 12 = 2· 2· 3 13 = 13 64 = 2· 2· 2· 2 9 = 3· 3 231 = 3· 7· 11 233 = 233 Libovolné přirozené číslo lze zapsat jako součin prvočísel.

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2· 2 = 22 5=5 12 = 2· 2· 3 = 22· 3 13 = 13 64 = 2· 2· 2· 2 = 26 9 = 3· 3 = 32 231 = 3· 7· 11 233 = 233

Prvočíselný rozklad Úlohy: Napište daná přirozená čísla jako součin co nejmenších přirozených čísel větších než jedna: 4 = 2· 2 = 22 5=5 12 = 2· 2· 3 = 22· 3 13 = 13 64 = 2· 2· 2· 2 = 26 9 = 3· 3 = 32 231 = 3· 7· 11 233 = 233 Základní věta aritmetiky: Každé přirozené číslo n >1 lze napsat jediným způsobem ve tvaru: , kde p 1 , p 2 , . . , pk jsou prvočísla a r 1 , r 2 , . . , rk jsou přirozená čísla.

Největší společný dělitel čísel a, b Značíme D(a, b) Určujeme: 1. Výpisem společných dělitelů a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete D(1 260, 1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 72 Prvočíselný rozklad největšího společného dělitele obsahuje jen prvočísla, která se vyskytují v rozkladech obou čísel, a to vždy v nejmenší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. D(1 260, 1 176) = 22 · 3 · 7 = 84 Poznámka: Obdobným způsobem určujeme největší společný dělitel tří a více čísel.

Nejmenší společný násobek čísel a, b Značíme n(a, b) Určujeme: 1. Výpisem společných násobků a jejich porovnáním (zdlouhavé u větších čísel) 2. Pomocí prvočíselného rozkladu Příklad: Určete n(1 260, 1 176) 1 260 = 22 · 32 · 5 · 7 1 176 = 23 · 72 Prvočíselný rozklad nejmenšího společného násobku obsahuje všechna prvočísla, která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu, a to vždy v nejvyšší mocnině, která se v rozkladech vyskytuje. n(1 260, 1 176) = 23 · 32 · 5 · 72 = 17 640 Poznámka: Obdobným způsobem určujeme nejmenší společný násobek tří a více čísel.