Dlitelnost pirozench sel Obsah n n n n
Dělitelnost přirozených čísel
Obsah n n n n Znaky dělitelnosti Výpis všech dělitelů čísla Prvočísla a čísla složená Rozklad čísla na součin prvočísel Společný dělitel Společný násobek Slovní úlohy Řešení
Znaky dělitelnosti n n n n Číslo je dělitelné dvěmi, má-li na místě jednotek číslici 0, 2, 4, 6, 8 (sudou číslici) Číslo je dělitelné třemi, je-li jeho ciferný součet dělitelný třemi Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li jeho poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi Číslo je dělitelné pěti, má-li na místě jednotek číslici 0 nebo 5 Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné dvěmi a třemi zároveň Číslo je dělitelné osmi, je-li jeho poslední trojčíslí dělitelné osmi Číslo je dělitelné devíti, je-li jeho ciferný součet dělitelný devíti Číslo je dělitelné deseti, má-li na místě jednotek číslici 0 Složená pravidla: n Číslo je dělitelné dvanácti, je-li dělitelné třemi a čtyřmi zároveň n Číslo je dělitelné čtrnáctii, je-li dělitelné dvěmi a sedmi zároveň n Číslo je dělitelné patnácti, je-li dělitelné třemi a pěti zároveň n Číslo je dělitelné osmnácti, je-li dělitelné dvěmi a devíti zároveň
Příklad 1 Doplň tabulku dělitelnosti zadaných čísel: Výsledky: Číslo je dělitelné: 2 3 4 5 6 8 9 10 12 15 18 780 315 1602 936
Výpis všech dělitelů Najdi všechny dělitele čísla 90: Jak začít? 90 1 90 2 45 3 30 5 18 6 15 9 10 Ověř postupně dělitelnost od jedničky. Využij při tom znaků dělitelnosti nebo ověřuj dělením. Až se poprvé zopakuje dvojice dělitelů, končíme – na pořadí dělitelů nezáleží. • Každé číslo je dělitelné jedničkou … 1 * 90 • Má-li na místě jednotek sudou číslici, je dělitelné dvěmi … … 2 * 45 • Ověř ciferný součet (9), je dělitelný třemi … 3 * 30 • Čtyřku (sedmičku, osmičku) ověř dělením • Na místě jednotek je 0, číslo je dělitelné pěti … 5 * 18 • Číslo je dělitelné dvěmi a třemi, je tedy dělitelné i šesti … … 6 * 15 • Ciferný součet je 9, číslo je dělitelné devíti … 9 * 10 • Na místě jednotek je 0, číslo je dělitelné deseti … 10 * 9, tato dvojice se již opakuje, máme tedy všechny dělitele.
Příklad 2 Vypiš všechny dělitele čísel 80, 105 a 210 Výsledky: 80 105 210
Prvočísla a čísla složená n n Prvočíslo je číslo dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Ostatní čísla (která nejsou prvočísly) se nazývají čísla složená. Prvočísla jsou: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41 … Dvojka je jediné sudé prvočíslo. Ostatní prvočísla jsou lichá.
Rozklad čísel na prvočísla Složená čísla se dají rozložit na součin prvočísel (prvočíselný rozklad). Ten můžeme použít pro určení dělitelů, násobků, největšího společného dělitele, nejmenšího společného násobku… n Příklady: 6 = 2*3 9 = 3*3 10 = 2*5 8 = 2*4 = 2*2*2 12 = 2*6 = 2*2*3 n Čísla 4 a 6 nejsou prvočísla, musíme je dále rozložit: 4 = 2*2, 6 = 2*3
Další příklady 18 = 2*9 = 2*3*3 24 = 2*12 = 2*2*6 = 2*2*2*3 30 = 3*10 = 3*2*5 60 = 2*3*10 = 2*3*2*5 72 = 2* 35 = 2*5*7 100 = 2*50 = 2*2*25 = 2*2*5*5 128 = 2*64 = 2*2*32 = 2*2*2*16 = 2*2*8 = 2*2*2*4 = 2*2*2*2
Příklad 3 Proveďte prvočíselné rozklady zadaných čísel: 42, 44, 56, 68, 70, 75, 80, 82, 102, 210, 144 Výsledky:
Společný dělitel n n n Číslo, kterým jsou dělitelná dvě nebo více daných čísel, se nazývá společný dělitel. Největší ze společných dělitelů se nazývá největší společný dělitel. Největší společný dělitel čísel 12 a 30 se označuje D(12, 30) = 6. Příklady: D(10, 15) = 5 D(8, 14) =2 D(24, 42) = 6 D(10, 30) = 10 D(18, 45)=9 D(13, 9) = 1 D(12, 36) = 12 D(35, 56)=7 D(30, 75) = 15 D(15, 33) = 3 D(8, 25) =1 D(12, 28) = 4 Čísla, jejichž největším společným dělitelem je číslo větší než 1, se nazývají soudělná (např. 8, 12). Čísla, jejichž největším společným dělitelem je číslo 1, se nazývají nesoudělná (např. 7, 12).
Pro velká čísla určujeme největšího společného dělitele pomocí prvočíselného rozkladu. Příklad: Určete největšího společného dělitele čísel 84 a 196. Postup: 1. pro obě zadaná čísla provedeme prvočíselný rozklad 84 = 2*42 = 2*6*7 = 2*2*3*7 2. 2. 196 = 2*98 = 2*2*49 = 2*2*7*7 Podtrhneme společná prvočísla v obou rozkladech ( v obou rozkladech se opakují dvě dvojky a sedmička) 84 = 2*2*3*7 196 = 2*2*7*7 3. Největší společný dělitel se rovná součinu podtržených prvočísel z jednoho rozkladu … tedy D(84, 196) = 2*2*7 = 28
Společný násobek Číslo, které je násobkem každého ze dvou nebo více daných čísel, je společným násobkem těchto čísel. Nejmenší ze společných násobků se nazývá nejmenší společný násobek. Nejmenší společný násobek čísel 6 a 8 se označuje n(6, 8) = 24. Příklady: n(3, 6) = 6 n(9, 6) = 18 n(4, 7) = 28 n(20, 30) = 60 n(4, 5, 10) = 20 n(3, 4) = 12 n(5, 15) = 15 n(6, 8) = 24 n(15, 9) =45 n(6, 8, 12) = 24 n(4, 5) = 20 n(4, 8) = 8 n(6, 18) = 18 n(8, 12) = 24 n(3, 4, 9) = 36
Pro velká čísla určujeme nejmenší společný násobek pomocí prvočíselného rozkladu. Příklad: Určete nejmenší společný násobek čísel 84 a 105. Postup: 1. pro obě zadaná čísla provedeme prvočíselný rozklad 84 = 2*42 = 2*6*7 = 2*2*3*7 2. 2. 105 = 5*21 = 5*3*7 Podtrhneme společná prvočísla v obou rozkladech ( v obou rozkladech se opakují trojka a sedmička) 84 = 2*2*3*7 105 = 5*3*7 3. Nejmenší společný násobek se rovná součinu jednoho zadaného čísla a nepodtržených prvočísel z druhého rozkladu … tedy n(84, 105) = 84*5 nebo 105*2*2 = 420
Slovní úlohy n n Výpis všech dělitelů čísla Společný dělitel Společný násobek Další
Slovní úlohy – výpis všech dělitelů 1. Určete všechny možné rozměry obdélníku s obsahem 90 cm 2. Máme 120 kachliček. Zapište všechny možnosti, jak lze z těchto kachliček sestavit obdélník. 3. Do kina přišlo 520 diváků a bylo vyprodáno. Kolik může být v kině řad sedadel, jestliže víme, že jich je víc než 12 a méně než 50 a všechny mají stejný počet sedadel?
Slovní úlohy – společný dělitel 1. 2. 3. 4. 5. 6. Pan Křeček má v kůlně zbytky prken. Všechna jsou stejně široká, ale jinak dlouhá: 12 dm, 24 dm a 30 dm. Pan Křeček si z nich chce vyrobit co možná nejdelší stejné police do sklepa. Rozhoduje se, jak má prkna rozřezat, aby využil všechen materiál. Kolik polic bude mít celkem a kolik budou měřit? Provázky délek 48 cm, 72 cm a 120 cm mají být nastříhány na stejné co nejdelší dílky tak, aby nebyl žádný odpad. Jak dlouhé budou jednotlivé dílky a kolik jich bude? Velitel má vytvořit ze 14 pancéřovníků, 21 kulometníků a 35 samopalníků co nejvíce stejných družstev. Kolik jich vytvoří? Jaká může být největší velikostek, které naskládáme do krabičky o rozměrech 16 cm, 12, 8 cm a 6, 4 cm, tak, aby se přesně vešly? Sad má délku 60 m a šířku 42 m. Kolik musíme mít nejméně sloupků na oplocení, mají-li být od sebe stejně vzdáleny Místnost, jejíž podlaha je obdélník s rozměry 4, 2 m a 6 m, má být vydlážděna čtvercovými dlaždicemi. Jaký je rozměr největších možných takových dlaždic, mají-li mít rozměr vyjádřen v celých centimetrech? Kolik je takových dlaždic potřeba?
7. Podlaha místnosti o rozměrech 480 cm a 288 cm má být pokryta co největšími korkovými čtverci. Určete velikost čtverců. Kolik bude třeba takových čtverců? 8. Klempíři mají rozřezat plech s rozměry 220 cm a 308 cm na stejně velké čtverce tak, aby čtverce byly co největší a plech byl použit beze zbytku. Kolik takových čtverců nařežou? Určete stranu tohoto čtverce. 9. Najděte dvojciferné číslo, které má s číslem 52 největšího společného dělitele 13. Uveďte všechny možnosti. 10. 11. Kontejner tvaru kvádru má být naplněn největšími možnými krychlovými bednami. Kolik jich bude a jaký je jejich rozměr, je-li vyjádřen v celých centimetrech? Rozměry kontejneru jsou 4, 2 m, 5, 6 m a 2, 8 m.
Slovní úlohy – společný násobek 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. V pět hodin vyjely z konečné stanice 2 autobusy. První linka má interval 20 minut a druhá ¾ hodiny. V kolik hodin vyjedou obě linky z této stanice opět společně? První tramvaj vyjíždí každých 10 minut, druhá co čtvrť hodiny a třetí každých 18 minut. V poledne vyjely společně ze stanice U parku. V kolik hodin se tam opět všechny potkají? Cvičenci nastoupili do čtyřřadu a poté do šestiřadu a nikdy žádný nezbýval. Urči počet cvičenců, víme-li, že jich bylo více než 30 a méně než 50. Jestliže cvičenci nastoupili do trojřadu, osmiřadu a poté do šestiřadu, vždy jim jeden nadbýval. Urči počet cvičenců, víme-li, že jich bylo více než 40 a méně než 100. Třída je dlouhá 9 metrů. Šířka třídy je menší a lze ji přejít stejně dlouhými kroky délky 70 cm nebo 55 cm. Určete šířku třídy. Švadlena odhadla zbytek látky v balíku na 12 m. Měřením pak zjistila, že tuto látku může stříhat (aniž by něco zbylo) na stejně dlouhé kusy buď po 180 cm nebo po 210 cm. Kolik metrů látky bylo v balíku? Určete délku strany nejmenšího čtverce, který můžeme vytvořit z obdélníků o rozměrech 36 cm a 24 cm.
8. Zahradník má k dispozici více než 50 a méně než 100 květin. Váže-li kytice po 4, 6 nebo 9 květinách, nezbude mu žádná. Kolik květin má zahradník?
Další slovní úlohy 1. 2. 3. 4. 5. 6. Součet tří po sobě jdoucích prvočísel je 31 (97). Která to jsou? Číslo 17 je prvočíslo. Záměnou jeho číslic dostaneme číslo 71, které je opět prvočíslem. Najděte další dvojciferná čísla, která mají tuto vlastnost. Pastýř pásl ovce. Kolemjdoucí pocestný se ho zeptal, kolik jich má. Pastýř odpověděl: Je jich méně něž 500. Kdybych je postavil do dvojřadu, trojřadu, čtyřřadu, pětiřadu nebo šestiřadu, pokaždé by zůstala 1 ovce. Mohu je však seřadit přesně do sedmiřadu. Kolik měl pastýř ovcí? Myslím si trojciferné číslo. Když od něho odečtu 7, bude výsledek dělitelný sedmi. Když od něho odečtu osm, bude výsledek dělitelný osmi a když od něj odečtu devět, výsledek bude dělitelný devíti. Jaké číslo si myslím? Nejmenší společný násobek dvou čísel je 60 a jejich největší společný dělitel je 4. Přitom žádné z nich není dělitelem druhého. Která jsou to čísla? Žáci dostali celkem 76 učebnic a 896 sešitů. Každý z nich dostal stejný počet sešitů a stejný počet knih. Kolik žáků je ve třídě, víte-li, že je jich méně než 40 a víc než 25? Kolik učebnic a kolik sešitů dostane každý žák?
Výsledky Příklad 1: Číslo je dělitelné: 780 315 1602 936 2 A - A A 3 A A 4 A - - A 5 A A - - 6 A - A A 8 A - - A 9 - A A A 10 A - - - 12 A - - A 15 A A - - 18 - - A A
Příklad 2 80 210 105 1 80 1 105 2 40 3 35 20 5 21 5 16 7 15 8 10 4 1 210 2 105 3 70 5 42 6 35 7 30 10 21 14 15
Příklad 3 42 = 2*3*7 44 = 2*2*11 56 = 2*2*2*7 68 = 2*2*17 70 = 2*5*7 75 = 3*5*5 80 = 2*2*5 82 = 2*41 102 = 2*3*17 210 = 2*3*5*7 144 = 2*2*3*3
ŘEŠENÍ Slovní úlohy – výpis všech dělitelů 1. Jelikož obsah obdélníku vypočteme podle vzorce S = a*b, musíme najít všechny dvojice čísel a, b , pro které je součin a*b = 90 cm 2. To jsou například: 3*30 cm, 9*10 cm, 1*90 cm, 2*45 cm atd. To jsou všechny dvojice dělitelů čísla 90. Vhodný způsob jak zapsat řešení je tedy „T“. 90 (cm 2 ) 9 1 0 4 2 5 3 3 0 1 5 8
2. Rozměry obdélníku budou dány počtem kachliček na délku a počtem na šířku, např. 3 x 40, 2 x 60, 4 x 30 … Vypíšeme tedy všechny dvojice dělitelů čísla 120 1 2 3 120 60 40 4 5 6 8 10 30 24 20 15 12
3. Součin počtu řad x počet sedadel v řadě je roven 520, např. 2 x 260, 4 x 130 … Vypíšeme si dvojice všech dělitelů. Z těchto dvojic budou vyhovovat pouze ty, kde počet řad bude od 12 do 50. To jsou: počet řad …. počet sedadel v 1 řadě 13 40 40 13 20 26 26 20 520 1 520 2 260 4 130 5 8 10 13 20 104 65 52 40 26
ŘEŠENÍ Slovní úlohy – společný dělitel 1. Jestliže prkno nařežeme na stejné díly = police, pak prkno je násobkem police a naopak police je dělitelem prkna. Protože ze všech prken se budou řezat stejné police, délka police bude dělitelem všech tří prken. Máme využít všechen materiál, což znamená, že nesmí nic zůstat (dělíme beze zbytku) a velikost 1 police má být co největší – hledáme tedy největšího společného dělitele: D(12, 24, 30) = 6 …délka 1 police je 6 dm. Počet polic … 12: 6 =2, 24: 6=4, 30: 6 = 5, celkem tedy 2+4+5 = 11 polic. 2. D (48, 72, 120) = 24 … délka 1 dílu= 24 cm, počet dílů = 10. 3. Jestliže 14 pancéřovníků máme rozdělit do několika družstev tak, že v každém družstvu jich bude stejný počet (např. 2 družstva po 7 p. nebo 7 družstev po 2 p. ) – musí být počet družstev dělitelem čísla 14. Totéž platí pro kulometníky a samopalníky. Hledáme tedy D (14, 21, 35) = 7. Počet družstev je 7.
4. Jestliže se kostky mají vejít do krabičky přesně, musí být hrana kostky dělitelem délky, šířky i výšky krabičky. Velikostek má být co největší, takže hledáme D(160, 128, 640) = 32 (délky převedeme na mm, musíme pracovat s přirozenými čísly). 5. Má-li být sloupků co nejméně, vzdálenost mezi nimi musí být co největší. Jejich vzdálenost má být stejná na délce i šířce pozemku (obdélníku), musí se vejít přesně (beze zbytku) do obou rozměrů, takže bude jejich dělitelem. Hledáme tedy D( 60, 42) = 6. Počet sloupků bude: 60: 6=10, 42: 6=7, celkem tedy 2* (10+7) = 34. 6. Rozměr jedné dlaždice D(42, 60)= 6 dm, počet dlaždic = 70. (42: 6=7, 60: 6=10, 7*10 = 70). 7. strana čtverce = 96 cm, 15 čtverců. 8. 35 čtverců se stranou 44 cm. 9. 13, 26, 39, 65, 78, 91. 10. a= 140 cm, 24 beden.
ŘEŠENÍ Slovní úlohy – společný násobek 1. První autobus se vrátí za 20, 40, 60 minut atd. , tedy v násobcích čísla 20. Druhý autobus se vrátí za 3/4 hodiny = 45 minut, potom za 90, 135 minut atd. , tedy v násobcích čísla 45. První společný čas musí být nejmenší společný násobek n(20, 45) = 180 minut = 3 hodiny. Obě linky opět vyjedou společně ze stanice v 8 hodin. 2. n(10, 15, 18)= 90 minut = 1 hodina 30 minut. Potkají se v 13: 30 hodin. 3. Jestliže cvičenci nastoupí do čtyřřadu, pak jejich počet musí být násobek 4, pokud nastoupí přesně do šestiřadu, pak jejich počet musí být i násobkem 6. Hledáme tedy společné násobky 4 a 6. Začneme nejmenším z nich – n(4, 6) = 12. Další společné násobky jsou násobky 12 – 24, 36, 48, 60… Řešením budou ty násobky, které jsou větší než 30 a zároveň menší než 50. To jsou 36 a 48. 4. Postupujeme jako v předešlém příkladě, určíme n(3, 6, 8) = 24, další společné násobky jsou 48, 72, 96… Z těchto vyhovují zadání 48, 72, 96. Vzhledem k tomu, že jim 1 cvičenec nadbýval, musíme ho k násobkům přičíst. Cvičenců mohlo být 49, 73 nebo 97.
5. Šířka třídy musí být násobkem 70 cm a 55 cm, určíme n(70, 55) = 770 (cm). Další násobek 1540 cm nevyhovuje zadání – šířka musí být menší než 900 cm. Šířka třídy je 7, 7 metrů. 6. Hledáme společný násobek blížící se hodnotě 12 m = 1200 cm. n(180, 210) = 1260 (cm), což je nejbližší hodnota k 12 metrům. 7. Strana čtverce musí být násobkem 36 a zároveň 24 cm, má být co nejmenší, takže a = n(36, 24) = 72 cm. 8. Jestliže květiny jdou vázat do kytic po 4, jejich počet musí být násobek 4. Totéž platí pro vázání po 6 a po 9. Hledáme společné násobky 4, 6 a 9, které jsou větší než 50 a menší než 100. Určíme n(4, 6, 9) = 36, další násobky jsou 72, 108, … Vyhovuje pouze počet 72 květin.
ŘEŠENÍ Další slovní úlohy 1. 7, 11, 13 (29, 31, 37) 2. 11, 13, 37 3. 301 4. 504 5. 12, 20 6. 32 žáků, 18 učebnic, 28 sešitů
Prezentace byla vytvořena v rámci projektu CZ. 1. 07/1. 1. 08/01. 0025 Podpora realizace počítačového zaměření ŠVP ZŠ Valašská Bystřice. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. I N V E S T I C E D O R O Z V OJ E V Z D Ě L Á V Á N Í
- Slides: 33