DIZILER D 11 6 1 GEREK SAYI DIZILERI

DIZILER

İD. 11. 6. 1 GERÇEK SAYI DIZILERI • İD. 11. 6. 1. 1 Dizi, sonlu dizi, sabit dizi kavramlarını ve dizilerin eşitliğini açıklar. • İD. 11. 6. 1. 2 Genel terimi veya indirgeme bağıntısı verilen bir sayı dizisinin terimlerini hesaplar. • İD. 11. 6. 1. 3 Aritmetik ve geometrik dizilerin özelliklerini gösterir ve dizinin ilk n terimlerinin toplamını bulur.

DİZİLER • Tanım kümesi pozitif tamsayılar olan her fonksiyona dizi denir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Değer kümesi reel sayılar olan dizilere reel sayı dizisi denir. Tanım kümesi N+ = {1, 2, 3, …, n, …} olan her fonksiyona dizi denir. Fonksiyonun değer kümesi R reel (gerçel) sayılar kümesi ise diziye gerçel sayı dizisi adı verilir. Yani gerçel sayı dizisi f : N+ à R şeklinde bir fonksiyondur. f fonksiyonunun görüntü kümesi, {f(1), f(2), f(3), … , f(n), … } dir. f(1) = a 1, f(2) = a 2, f(3) = a 3, … , f(n) = an, … ile gösterilirse dizi { a 1, a 2, a 3, …, an, … } sıralı yazılışı ile ifade edilir. Burada a 1’e dizinin ilk terimi, a 2’ye dizinin ikinci terimi…, an’e dizinin n. terimi yada genel terimi denir. Genel terimi an olan bir dizi kısaca ( an ) biçiminde gösterilir. Yani; ( an ) = ( a 1, a 2, a 3, …, an, … ) dir.

• NOT: Dizinin sonlu sayıda teriminin verilmesi diziyi tanımlamaz. Dizinin tanımlı olabilmesi için genel terimin de verilmesi gerekir. • Örnek 1: Genel terimi (an) = (n!) olan dizi (an) = (1, 2, 6, …, n!, …) dir. Genel terimi (an) = (1/n) olan dizi (an) = (1, 1/2, 1/3, …, 1/n, …) dir.

ÖRNEK 2 ( n 2 -8 n+1 /n+2) dizisinin kaç terimi 1/2, den küçüktür?

SONLU DİZİ AP={1, 2, 3, …, P} N+ olmak üzere tanım kümesi AP olan her fonksiyona bir p terimli sonlu dizi denir.

ÖRNEK 3 A 7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } olmak üzere f : A 7 R, f(n) = (2 n+3 / 2 ) dizisinin terimlerini bulunuz.

ALT DİZİ • Her n E N+ için kn E N+ ve 1 < k 1< … < (kp) <…< (kn) < (kn+1) olmak üzere (an) dizisinde n yerine (kn) yazılarak elde edilen akn dizisine (an) in bir alt dizisi denir.

ÖRNEK ALT DIZI; • (a 2 n+1) = ( 5 n+7 / 4 n+3 ) ise (an) dizisini bulunuz?

SABİT DİZİ • Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit dizi denir.

ÖRNEK 4 dizisi sabit ise k kaçtır ? (a n) =

DİZİLERİN EŞİTLİĞİ Her n E N + için an =bn ise ( an), ( bn ) dizileri eşittir denir ve ( an ) = ( bn ) ile gösterilir.

ÖRNEK 5 ( an ) = ( n 2+n / 2 ) ve ( bn ) = ( 1+2+…+n ) dizilerinin eşit diziler olduğunu gösteriniz.

DİZİLERDE İŞLEMLER ( an ) ve ( bn ) birer gerçel terimli dizi ve k E R olsun 1 - k ile ( an) in çarpımı : k. ( an ) = ( k. an ) 2 - ( an ) ile ( bn ) nin toplamı: ( an ) + ( bn ) = ( an + bn ) 3 - ( an ) ile ( bn ) nin farkı : ( an ) - ( bn ) = ( an - bn ) 4 - ( an ) ile ( bn ) nin çarpımı : ( an ). ( bn ) = ( an . bn ) 5 - Her n E N için bn=0 değil ise ( an ) dizisinin ( bn ) dizisine bölümü: ( an ) / ( bn ) = ( an / bn )

ÖRNEK 6 ( an ) = ( 5 n / n+1 ) ve ( bn ) = ( 7 / 2 n+2 ) ise ( an ) / ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz.

ÖRNEK 7 ( an ) = ( 1, 2, 3, 4, …, n ) ( bn ) = ( 2, 4, 6, 8, …, 2 n) ( an ) - ( bn ) işleminin sonucunu bulunuz. Hatırlamadıysan Bir Kere Daha Bakalım Sorunun Cevabına Götürür

MONOTON DİZİLER • KURAL Herhangi bir ( an ) dizisinde Her n E N+ için , an+1 < an ise an monoton azalandır. an+1 > an ise an monoton azalandır. an+1 ≤ an ise an monoton artmayandır. an+1 ≥ an ise an monoton azalmayandır. Bu şartları sağlayan diziler monoton dizilerdir Hadi Soruya Tekrar Bakalım

KURAL 1. Her n E N+ İçin an+1 – an > 0 ise (an) monoton artan dizidir 2. Her n E N+ İçin an+1 – an < 0 ise (an) monoton artan dizidir

ÖRNEK 8 ( n+5 / n+9 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz. Kuralları Hatırlamak İçin Tıkla Sorunun Cevabı İçin Tıkla

NOT a, b, c, d reel sayılar olmak üzere genel terimleri an+b / cn+d biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir. 1 - Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır. 2 - -d/c<1 ise dizi monotondur. Ayrıca eğer ad-bc>0 ise artan, ad-bc<0 ise azalandır. 3 - ad-bc=0 ise dizi sabit dizidir.

ÖRNEK 9 ( 7 n+9 / 5 n+ 1 ) dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz.

KURAL Dizinin monotonluk durumu aşağıdaki gibi incelenir. 1. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den küçük ise dizi monotondur. Bu durumda ; a) ad-bc > 0 ise dizi monoton artandır. b) ad-bc < 0 ise dizi monoton azalandır. c) ad-bc = 0 ise dizi sabittir. 2. Paydanın kökü (cn + d = 0 denkleminin kökü) 1 den büyük ise dizi monoton değildir.

BIR DIZININ LIMITI • (an) bir reel sayı dizisi ve a E R olsun. a’nın her bir komşuluğu (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimi hariç geriye kalan tüm terimlerini içeriyorsa (an) dizisi a sayısına yakınsıyor veya (an) dizisinin limiti a’dır denir. • lim an = a veya ( an ) a şeklinde gösterilir. • Limiti olan diziye yakınsak dizi denir. • Limiti olmayan diziye de ıraksak dizi denir.

SONSUZA IRAKSAMA • Bir r E R için r den büyük gerçel sayılar kümesine ∞ un r komşuluğu diyor ve (r, ∞) ile gösteriyoruz. Benzer biçimde (-∞, r) aralığında -∞ un komşuluğudur. • Bir (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri (r, ∞) aralığında ise bu dizi ∞ a ıraksanıyor denir ve (an) ∞ yazılır. Eğer (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç geriye kalan tüm terimleri (-∞, r) aralığında ise bu dizi -∞ a ıraksıyor denir ve (an) -∞ yazılır.

ÖRNEK 10; • (an) = (2 n 2+1) dizisinin terimlerini yazarak ∞ a ıraksadığını gösteriniz.

ARİTMETİK DİZİ Tanım: Ardışık iki terimi arasındaki farkı sabit olan dizilere aritmetik diziler denir. a 2 -a 1=a 3 -a 2=a 4 -a 3=…=an-an-1 ise an bir aritmetik dizidir.

ARITMETIK DIZI ÖZELLIKLERI • Bir aritmetik dizinin ilk n terimini göz önüne alalım. Bu n terimden, baştan ve sondan eşit uzaklıkta olanların toplamı birbirine eşittir. • • Örneğin ilk terimi 1 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin ilk 10 terimini yazalım: • 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37 • (1+37)=(5+33)=(9+29)=(13+25)=(17+21)=38’dir.

• Bir aritmetik dizide herhangi bir terim, bu iki terimin sağından ve solundan eşit uzaklıkta olan terimlerin aritmetik ortalaması (toplamlarının yarısı) kadardır. • • Yani k<p için ap=(ap-k+ap+k) / 2’dir. • Örneğin; a 2=(a 3+a 1)/2 a 4=(a 1+a 7)/2

• Ortak farkı r olan bir (an ) aritmetik dizisinin ilk n terimi toplamı • • Sn = a 1+a 2+a 3+…. +an • = a 1+(a 1+r)+(a 1+2 r)+…. . +(a 1+(n-1)r) • = na 1+(1+2+3+…+(n-1)r • = na 1+(n-1)nr/2 = (n/2)(2 a 1+(n-1)r olur.

O HALDE ; ilk terimi a 1 , ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı: • ilk terimi a 1 , • Sn=a 1+a 2+…+an • =a 1+(a 1+r)+…+(a 1+(n-1)r) • =na 1+(1+2+…+(n-1))r • =na 1 + (n-1)nr/2 • =n/n[2 a 1+(n-1)r] • olur. O halde ilk terimi a 1, ortak farkı r olan bir aritmetik dizinin baştan ilk n teriminin toplamı; • Sn=n[2 a 1+(n-1)r]/2=n(a 1+an)/2 • Şeklinde ifade edilebilir.

ÖRNEK 11 Birinci terimi 5 ve ikinci terimi 8 olan aritmetik dizinin genel terimini bulunuz ve ilk 9 teriminin toplamını hesaplayınız.

EK ÖRNEK; Bir aritmetik dizinin a. terimi b, b. terimi a ise 4. terimi nedir.

ÖRNEK 11. 1 ; İlk terimi – 5 ve ortak farkı 4 olan bir aritmetik dizinin terimini bulunuz.

ÖRNEK 11. 2 Bir aritmetik dizinin 8. terimi x olduğuna göre, 2. ve 14. terimleri toplamı nedir ?

GEOMETRİK DİZİ Ardışık iki terimi oranı aynı olan dizilere geometrik dizi denir. Yani r R olmak üzere her N+ İçin an+1/an=r ise (an) bir geometrik dizidir. r’ye dizinin ortak çarpanı denir.

• Bir geometrik dizinin ilk terimi a 1, ortak çarpanı r ise bu dinin terimleri ; • a 1, a 1 r 2, …, a 1 r(n-1) • bir geometrik dizinin genel terimi: • an= a 1 r(n-1) • an= an-prp • şeklinde yazılır.

GEOMETRIK DIZININ ÖZELLIKLERI • 1) İlk terimi a 1, ortak çarpanı r olan bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı; • Sn=a 1+a 1 r+…+a 1 rn-1=a 1((1 -rn)/(1 -r))

• 2) bir geometrik dizide herhangi bir terimin karesi bu terimin solundan ve sağından eşit uzaklıkta bulunan terimlerin çarpımına eşittir. • Yani; • ap 2=ap-k. ak+p

ÖRNEK GEOMETRIK DIZI; • İlk üç terimi sırasıyla 1, p-2, 16 olan pozitif terimli bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?

ÖRNEK 12 Bir geometrik dizinin ardışık ilk üç terimi sırasıyla x-2 , x+4 olduğuna göre , bu dizinin 4. terimi kaçtır ? A) 4 B) 6 C) 8 D)12 E)16 Birazcık Uğraş Bence Bulamazsan Tıkla

ÇÖZÜM ÖRNEK 2; n 2 -8 n+1 / n+2 < 1/2 n 2 -8 n+1 < n+2 / 2 2 n 2 -16 n+2 < n+2 2 n 2 < 17 n n < 17 / 2 n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Yani 8 terimi vardır.

ÇÖZÜM ÖRNEK 3; f(1) = 2. 1+3 / 2 = 5/2 f(2) = 2. 2+3 / 2 = 7/2 f(3) = 2. 3+3 / 2 = 9/2 f(4) = 2. 4+3 / 2 = 11/2 f(5) = 2. 5+3 / 2 = 13/2 f(6) = 2. 6+3 / 2 = 15/2 f(7) = 2. 7+3 / 2 = 17/2 olduğundan (2 n+3 / 2) = ( 5/2, 7/2, 9/2, 11/2, 13/2, 15/2, 17/2 ) olur.

ÇÖZÜM ALT DIZI; • 2 n+1 = k • n = k-1 / 2 • ( ak ) = ( (5 k-5 / 2)+7 ) / (2 k-2+3) • ( ak ) =5 k+9 / 4 k+2 • olarak bulunur. k yerine n yazarsak • ( an ) =5 n+9 / 4 n+2 • olur.

ÇÖZÜM ÖRNEK 4; (an) = dizisinin sabit dizi olması için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranı birbirine eşit olmalıdır. 2/5 = -3/k ise 2 k = -15 ise k = -15/2

ÇÖZÜM ÖRNEK 5; n=1 için an = 1+1 / 2 = 1 bn =1 n=2 için an = 4+2 / 2 = 3 bn =1+2=3 n=3 için an = 9+1 / 3 = 6 bn =1+2+3 = 6 n in bütün değerlerinde an = bn olduğu görülmektedir. Yani bu iki dizi eşit dizilerdir.

ÇÖZÜM ÖRNEK 6; ( an ) / ( bn ) = ( an / bn ) = ( (5 n / n+1). ( 2 n+2 / 7 )) =10 n / 7 Aynen Öyle Cevabın Doğru Tebrik Ederim Devam Et Bakalım

ÇÖZÜM ÖRNEK 8; AN+1 - AN = ( N+1+5 / N+1+9 ) - ( N+5 / N+9 ) = N+6 / N+10 - N+5 / N+9 =[(N+6)(N+9) – (N+5)(N+10)] / (N+10)(N+9) =N 2+15 N+54 -N 2 -15 N-50 / (N+10)(N+9) =4 / (N+10)(N+9) >0 AN+1 - AN > 0 AN+1 > AN OLDUĞUNDAN MONOTON ARTANDIR.

ÇÖZÜM ÖRNEK 9; A=7 B=9 C=5 D=1 -D/C = -1/5 < 0 OLDUĞUNDAN DIZI MONOTONDUR. AD-BC = 7. 1 -9. 5 = -38 < 0 OLDUĞUNDAN DIZI MONOTON AZALANDIR.

ÇÖZÜM ÖRNEK 10; • (2 n 2+1) = (3, 9, 19, 33, 51, 73, …, ∞ ) • terimlerine dikkat edilecek olursa sürekli arttığı görülmektedir ve ∞ a ıraksamaktadır. Bunu lim(2 n 2+1) = ∞ şeklinde gösterebiliriz.

ÇÖZÜM ÖRNEK 11; • a 1=5 a 2=8 • r=8 -5=3 • an=a 1+(n-1)r=5+(n-1)3 • dizinin genel terimi yukarıdaki gibi bulunmuş olur. • Sn=n(a 1+an)/2 • S 9=9(5+(5+8. 3))/2 • S 9=9(34)/2 • S 9=17. 9=153 • İlk 9 terimininde böylece toplamını bulmuş olduk.

ÇÖZÜM ÖRNEK 11. 1; a 1 = -5 , d = 4 an = a 1 + (n-1). d an = -5+ (n-1). 4 an = 4 n-9 bulunur.

ÇÖZÜM ÖRNEK 11. 2; *Bir aritmetik dizide ortada bulunan bir terim kendinden eşit uzaklıkta bulunan termlerin aritmetik ortalamasına eşittir. a 8=(a₂+a 14)/2 x=(a₂+a 14)/2 a₂+a 14=2 x bulunur.

EK ÖRNEK ÇÖZÜM; • aa=b ve ab=a ise r=( aa-ab)/(a-b)=(b-a)/(a-b)=-1=(a 4 -b)/(4 -a) • a 4 -b=-4+a ise a 4=a-b-4 olarak bulunur.

ÇÖZÜM GEOMETRIK DIZI; • (p-2)2=1. 16 • p-2=4 • p=6 • r=a 2/a 1=4/1=4 • an= a 1 r(n-1) • a 5= a 1 r(5 -1)=1. 4(4)=256

ÇÖZÜM ÖRNEK 12; a 2 = √(a 1. a 3 ) a 22 = a 1. a 3 olduğundan x 2 = (x-2)(x+4) x 2 = x 2 + 2 x-8 2 x=8 x = 4 a 1 = 2 , a 2 =4 , a 3 = 8 , a 4 = 16 ( r=2 )

• ÜZÜLMEEE TEKRAR DENE YAPABİLİRSİN SEN BURAYA KADAR NELER BAŞARDIN Dön Ve o Sorunun Canını Oku

• YAA SEN BİR HARİKASIN NASILDA ÇÖZDÜN TAK DİYE BRAVO İstersen Çözümüne Bakabilirsin Farklı Yolla Çözdüysen

BENİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKÜR EDERİM • UMUT ÖZDEMİR