DIVISIBILIT PRIMALIT ET CONGRUENCES DANS Z prsentation du

DIVISIBILITÉ, PRIMALITÉ ET CONGRUENCES DANS Z présentation du chapitre

Quel est le jour de la semaine correspondant à ma date de naissance ? On peut résoudre ce problème en utilisant la division euclidienne et aller plus loin encore en créant des calendriers perpétuels.

SUR LES NOMBRES PREMIERS �En nombre infini > Démonstration d’Euclide « Les Grecs ont été les premiers à parler un langage compréhensibles par les mathématiciens actuels. Les mathématiques grecques sont intemporelles, davantage même que la littérature grecque » ( Littlewood, mathématicien anglais ) �A la source de tous les records > Supercalculateurs La recherche est axée sur l’étude des nombres de Mersenne ( de la forme 2 n - 1 ) entiers pour lesquels on connaît désormais des tests de primalité efficaces. �De plus en plus rares > Un résultat paradoxal Le nombre de nombres premiers inférieurs à x divisé par x tend vers zéro ! La formule indiquant qu’au voisinage du nombre x la proportion des nombres premiers est de l’ordre de ln(x)/ x a été conjecturée vers 1792 par Gauss, le prince des mathématiciens, mais démontrée seulement en 1896.

QUELQUES IDÉES GÉNÉRALES �Point de vue théorique > Généraliser des concepts Substitution de la notion de congruence à celle d’égalité On dira que deux nombres sont égaux modulo n, s’ils ont même reste dans la division euclidienne par n. C’est l’égalité sur une horloge où, après douze heures, l’indication est identique à l’heure de départ. Cette théorie permet notamment de justifier tous les critères de divisibilité et plusieurs tours de cartes. �Arithmétique modulaire > Créer de nouveaux théorèmes Connaissance accrue des nombres entiers premiers Gauss démontra de nombreux résultats observés par ses prédécesseurs dont Leibniz, Fermat et Wilson. Un ancien traité chinois datant du XVIIIe siècle, nommé Suhanshu, indique un très beau théorème ( celui dit des restes chinois très connu des élèves de CP ) qui n’était pas connu des Grecs.