Divisibilit Page suivante Pr requis Dfinition division euclidienne
Divisibilité Page suivante Pré requis Définition : division euclidienne Diviseur / Divisible / Multiple Trouver tous les diviseurs d’un nombre Exercice particulier Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante retour Pré requis Ce que vous devez savoir avant de commencer • Connaître ses tables de multiplications. • Savoir poser une division. • Donner du sens à la division. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Division euclidienne Page suivante 148 8 4 2 37 0 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 3 x 4 = 12 7 x 4 = 28 …/…
Page suivante retour Leçon Définitions Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
On ne travaille ici que sur des nombres entiers naturels : Page suivante C’est-à-dire des nombres positifs et sans virgule ! 526 -1/5 2 - 4 1, 3 13 0, 4 5 1/2 -8, 31 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 3/4 …/…
Qu’est-ce qu’une division euclidienne ? Page suivante C’est une division « sans aller après la virgule » 148 4 28 3 7 0 21, 0 1 0 0 2 10, 5 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 21 01 1 2 10 147 5 47 29 2 322 11 102 29 3 …/…
Page suivante Qui y a-t-il dans une division euclidienne ? Vocabulaire : Le dividende Le diviseur 147 5 47 29 2 Le quotient Le reste Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Synthèse Division euclidienne à recopier sur le cahier de leçon Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page à recopier sur le cahier de leçon : Explication Savoir poser une division : Exercice à faire : Posez les divisions euclidiennes suivantes : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante retour Diviseurs / Divisible / Multiple vocabulaire à retenir ! Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Que signifie la phrase: « 8 est un diviseur de 112 ? » Page suivante Que la division euclidienne de 112 par 8 donne un reste de zéro. 112 32 0 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 8 14 …/…
Qui est diviseur de qui ? 9 est-il diviseur de 63 ? 9 est-il diviseur de 38 ? 10 est-il diviseur de 80 ? Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 63 9 0 7 38 9 2 4 80 10 0 8 Page suivante oui Car le reste est nul non Car le reste n'est pas nul oui Car le reste est nul …/…
Une autre façon de voir les choses avec les tables (de multiplication !) Page suivante 9 est-il diviseur de 63 ? oui Car 63 est dans la table de 9 63=9 x 7 9 est-il diviseur de 38 ? non Car 38 n’est pas dans la table de 9 38=9 x? 10 est-il diviseur de 80 ? oui Car 80 est dans la table de 10 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 80=10 x 8 …/…
Page suivante Test Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont vraies ? 5 est un diviseur de 395 oui 395=5 x 79 12 est un diviseur de 12 oui 12=12 x 1 44 est un diviseur de 11 non Car 44 est supérieur à 11, c’est 11 qui est diviseur de 44 1 est un diviseur de n’importe quel nombre oui N = 1 x N 2 est un diviseur de 41 non Car 41 n’est pas dans la table de 2, il est impair Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Comment savoir si un nombre a pour diviseur 2 ? ① On fait la division et on regarde si le reste est zéro. ② Ou on utilise le « truc » : (Propriété de la divisibilité par 2) Le chiffre des unités doit être 0 2 4 6 ou 8 En utilisant le « truc » , quels nombres ont pour diviseur 2 ? 39 28 212478 180 245 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 157281 6 …/…
Page suivante Comment savoir si un nombre a pour diviseur 5 ? ① On fait la division et on regarde si le reste est zéro. ② Ou on utilise le « truc » : (Propriété de la divisibilité par 5) Le chiffre des unités doit être 0 ou 5 En utilisant le « truc » , quels nombres ont pour diviseur 5 ? 39 25 212478 180 245 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 157280 6 …/…
Page suivante Comment savoir si un nombre a pour diviseur 3 ? Le « truc » est plus compliqué : (Propriété de la divisibilité par 3) La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 3. En utilisant le « truc » , quels nombres ont pour diviseur 3 ? 43 4+3=7 27 2+7=9 4780 180 4+7+8+0=19 1+8+0=9 245 2+4+5=11 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 111 7206 7+2+0+6=15 1+1+1=3 …/…
D’autres « trucs » qui peuvent être utiles: Page suivante Le « truc » pour 9 : (Propriété de la divisibilité par 9) La somme de tous les chiffres doit être dans la table de 9. 63 129 945 9003 7992 6+3=9 1+2+9=12 9+4+5=18 9+0+0+3=12 7+9+9+2=27 Le « truc » pour 10 : (Propriété de la divisibilité par 10) Le chiffre des unités doit être 0. 28 60 590 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 234 14700 …/…
Page suivante Test Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Utilisation des « trucs… » : Quels sont les diviseurs des nombres donnés ? Nombre 2 3 5 9 10 260 oui non oui 147 non oui non non 1+4+7=12 585 non oui oui non 5+8+5=18 329 non non non 3+2+9=14 100 oui non oui 1+0+0=1 1890 oui oui oui 1+8+9+0=18 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet 2+6+0=8 …/…
Page suivante Synthèse Vocabulaire et Critères de Divisibilité à recopier sur le cahier de leçon Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page à recopier sur le cahier de leçon : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Quand il n’y a pas de « truc » , que faire ? Page suivante a) On peut toujours faire la division. b) On peut procéder à une décomposition (gros / petit). Exemple: 7 est-il un diviseur de 224 ? 1) Pas loin de 224 il y a un gros morceau 210 qui est bien sûr dans la table de 7 car 7 x 3=21 et 7 x 30=210? 2) 224 ce n’est pas tout à fait 210, c’est 210 + 14. 3) Le petit morceau 14 est aussi dans la table de 7. 4) Le gros morceau 210 et le petit 14 sont tous les deux dans la table de 7 donc le total 224 a pour diviseur 7. …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
178 a-t-il pour diviseur 8 ? Faisons une décomposition… Page suivante 1) Pas loin de 178 il y a un gros morceau 160 qui est bien sûr dans la table de 8 car 8 x 2=16 et 8 x 20=160? 2) 178 ce n’est pas tout à fait 160, c’est 160 + 18. 3) Le petit morceau 18 n’est pas dans la table de 8. 4) Le gros morceau 160 et le petit 18 ne sont pas tous les deux dans la table de 8 donc le total 178 n’ a pas pour diviseur 8. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Test Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante D’autres décompositions… Question Décomposition Gros Petit Réponse 7 diviseur de 133 ? 133 = 140 - 7 oui 11 diviseur de 333 ? 333 = 330 + 3 non 13 diviseur de 273? 273 = 260 + 13 oui 4 diviseur de 256? 256 = 240 + 16 oui 8 diviseur de 780? 780 = 800 - 20 non Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
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Diviseurs et produits : Page suivante Dés qu’on peut écrire un nombre comme un produit, on obtient des diviseurs. Nombre 14 14 = 2 x 7 2 et 7 sont diviseurs de 14 Nombre 14 14 = 1 x 14 1 et 14 sont diviseurs de 14 Nombre 12 12 = 3 x 4 3 et 4 sont diviseurs de 12 Nombre 12 12 = 2 x 6 2 et 6 sont diviseurs de 12 Nombre 13 13 = 13 x 1 13 et 1 sont diviseurs de 13 …/… Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet
Recherche de tous les diviseurs de 12 : Page suivante Comme ces diviseurs sont inférieurs à 12, on va passer en revue tous les nombres de 1 à 12. 12 = 1 x 12 12 = 4 x 3 12 = 2 x 6 12 = 5 x ? 12 = 3 x 4 12 = 6 x 2 12 = 7 x ? 12 = 10 x ? 12 = 8 x ? 12 = 11 x ? 12 = 9 x ? 12 = 12 x 1 Liste des diviseurs: 1; 12; 2; 6; 3; 4; 4; 3; 6; 2; 1 Remarques : C’est long! On trouve les diviseurs deux fois ! A partir du basculement 3 x 4 en 4 x 3 rien de nouveau, on a deux fois les mêmes ! Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Une observation d’ordre géométrique : observation de l’aire d’un rectangle 12 = 1 x 12 12 = 2 x 6 12 = 3 x 4 12 = 4 x 3 Quand la longueur du rectangle diminue, sa largeur augmente. 12 = 6 x 2 12 = 12 x 1 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Dès que la largeur dépasse la longueur, il n’y a plus de nouveaux rectangles. Plus de nouveaux diviseurs ! …/…
Cherchons tous les diviseurs de 16 : Page suivante 16 = 1 x 16 16 = 2 x 8 16 = 4 x 4 16 = 8 x 2 16 = 16 x 1 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet A partir du moment où le rectangle devient un carré, il n’y a plus de nouveaux diviseurs. …/…
Page suivante Trouvons efficacement tous les diviseurs de 18 : 18 = 1 x 18 18 = 2 x 9 18 = 3 x 6 18 = 4 x ? Inutile d’aller plus loin ! 18 = 5 x ? 18 = 6 x 3 Comme 18 ne dépasse pas 5 x 5 ( 18 < 25) l’essai avec 6 était même inutile. Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Test Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
D’autres recherches de diviseurs : Ceux de 24 1 x 24 2 x 12 3 x 8 4 x 6 5 x ? Stop Car 5 x 5>24 Ceux de 35 1 x 35 2 x ? 3 x ? 4 x ? 5 x 7 6 x ? Stop Car 6 x 6>35 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Ceux de 60 1 x 60 2 x 30 3 x 20 4 x 15 5 x 12 6 x 10 7 x ? 8 x ? Stop Car 8 x 8>60 Page suivante Ceux de 13 1 x 13 2 x ? 3 x ? 4 x ? Stop Car 4 x 4>13 …/…
Page suivante Synthèse Trouver Tous les Diviseurs d’un Nombre à recopier sur le cahier de leçon Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page à recopier sur le cahier de leçon : Trouver tous les diviseurs d’un nombre : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page à recopier sur le cahier de leçon : Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Page suivante …/…
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Page suivante Exercice n° 1 : Des petites roues. . . Exercice n° 1 : Cet engrenage est composé de trois roues. a) Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C. b) Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première fois, dans la même position ? Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Exercice n° 1 : Des petites roues. . . Exercice n° 1 : Cet engrenage est composé de trois roues. a) Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C. b) Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première fois, dans la même position ? n o i t c e r Cor Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Page suivante Exercice n° 1 : Des petites roues. . . Exercice n° 1 : Cet engrenage est composé de trois roues. a) Indiquer au-dessus des roues le sens de rotation de chacune des roues B et C. A : tourne dans le sens horaire, B : tourne dans le sens antihoraire, C : tourne dans le sens horaire Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Exercice n° 1 : Des petites roues. . . Exercice n° 1 : Page suivante Cet engrenage est composé de trois roues. b) Au bout de combien de tours (pour chacune des roues) cet engrenage sera-t-il de nouveau, et pour la première fois, dans la même position ? Pour que l’engrenage soit dans la même position, il faut que chaque roue ait fait un nombre entiers de tours, donc : A a tourné d’un nombre de dents multiple de 24 B a tourné d’un nombre de dents multiple de 16 C a tourné d’un nombre de dents multiple de 36 On cherche un multiple commun à 24, 16 et 36. soit à la main … soit en décomposant en produit de facteurs premiers. (Cette méthode sera vu en 3ème) 24 x 1=24 24 x 2=48 24 x 3=72 24 x 4=96 24 x 5=120 24 x 6=144 16 x 1=16 16 x 2=32 16 x 3=48 16 x 4=64 16 x 5=80 16 x 6=96 16 x 7=112 16 x 8=128 16 x 9=144 36 x 1=36 36 x 2=72 36 x 3=108 36 x 4=144 Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet Le plus petit multiple commun de 24, 16 et 36 est donc 144. En effet : 144 = 24× 6 144 = 16× 9 144 = 36× 4 Pour revenir dans la même position pour la première fois : A: aura fait 6 tours, B: 9 tours et C: 4 tours. …/…
Exercice n° 2 : Collier de perles. . . Exercice n° 2 : Page suivante Eva réalise des colliers de perles. Pour chaque collier de 145 perles, elle met dans l’ordre une perle rouge, une jaune, une verte, une bleue, une orange, une noire et ainsi de suite. Quelle sera la couleur de la dernière perle ? Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Exercice n° 2 : Collier de perles. . . Exercice n° 2 : Page suivante Eva réalise des colliers de perles. Pour chaque collier de 145 perles, elle met dans l’ordre une perle rouge, une jaune, une verte, une bleue, une orange, une noire et ainsi de suite. Quelle sera la couleur de la dernière perle ? n o i t c e r Cor Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Exercice n° 2 : Collier de perles. . . Exercice n° 2 : Page suivante Eva réalise des colliers de perles. Pour chaque collier de 145 perles, elle met dans l’ordre une perle rouge, une jaune, une verte, une bleue, une orange, une noire et ainsi de suite. Quelle sera la couleur de la dernière perle ? Correction Eva fait des séries de 6 perles dans l’ordre : R J V B O N Pour connaître la couleur de la dernière perle, on regarde le reste de la division de 145 par 6. La division euclidienne nous donne : 145 = (24 x 6) + 1 Donc, la dernière perle sera rouge Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
Fin Mr Monastier : Collège de l’Europe Jean Monnet …/…
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