Distributivnost prezentacija za samouenje Antonija Horvatek Matematika na

Distributivnost ~ prezentacija za samoučenje ~ Antonija Horvatek Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/

Na prošlim smo satovima naučili da za zbrajanje vrijede komutativnost i asocijativnost. (koja svojstva? ) Naučili smo da ista svojstva ima i množenje. (koja još računska operacija? ) Sad ćemo upoznati jedno svojstvo koje povezuje zbrajanje i množenje. To se svojstvo kratko zove distributivnost, a puni naziv je distributivnost množenja prema zbrajanju. Kasnije ćemo vidjeti da slično svojstvo povezuje i množenje i oduzimanje. Krenimo redom. . .

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 2 · 11 = 8 + 14 22 22 = Što prvo računamo na lijevoj strani? Što pišemo? Što računamo na desnoj strani? Otkud krećemo? Sad izračunajmo do kraja. Kakvi su zadatak rezultati? Time je riješen. Sad malo promotrimo od čega smo uopće krenuli. . .

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani broj 2 se množi sa zagradom u kojoj imamo zbrajanje. Uočimo kako se iz toga dobije desna strana.

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Broj ispred zagrade množi se sa svakim u zagradi! A između dobivenih umnožaka ide plus! Tako se iz lijeve strane dobije desna. Pokušaj to zapamtiti! Sad pokušajmo pomoću sličica uočiti zašto je lijeva strana jednaka desnoj.

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani imamo 2 puta po (4+7). Ovo je 4+7 štapića. I još jednom 4+7 štapića. Tu je ukupno 2 puta po 4+7 štapića!

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani imamo 2 puta po (4+7). A na desnoj strani imamo 2 puta po 4 i 2 puta po 7. 2 · 4 štapića 2 · 7 štapića 2· ( 4 + 7 ) Zajedno je 2· 4 + 2· 7 štapića.

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani imamo 2 puta po (4+7). 2· ( 4 + 7 ) A na desnoj strani imamo 2 puta po 4 i 2 puta po 7. 2· 4 + 2 · 7 Razlika između lijeve i desne strane je samo u grupiranju štapića!

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani imamo 2 puta po (4+7). A na desnoj strani imamo 2 puta po 4 i 2 puta po 7. = 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na kojoj je onda hrpi više štapića - lijevoj ili desnoj?

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Na lijevoj strani imamo 2 puta po (4+7). A na desnoj strani imamo 2 puta po 4 i 2 puta po 7. = 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Dakle, kod distributivnosti se štapići samo drugačije grupiraju!

Primjer 1. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 2· ( 4 + 7 ) = 2· 4 + 2 · 7 Broj ispred zagrade množi se sa svakim u zagradi! A između dobivenih umnožaka ide plus! Ponovimo još jednom kako smo iz lijeve strane dobili desnu. Sjećaš li se? Riješimo još jedan sličan primjer. U njemu ću vam zadati lijevu stranu, a vi pokušajte na gornji način iz nje složiti desnu. . .

Primjer 1. : b) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 2 + 4 ) 3 · 6 = 3· 2 + 3· 4 = 6 + 12 18 18 = Što ćemo zapisati na desnoj strani? Izračunajmo i usporedimo rezultate. . . Dakle, opet smo dobili jednake rezultate. A što nam kažu sličice?

Primjer 1. : b) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 2 + 4 ) = 3· 2 + 3· 4 Kako sličicama prikazati lijevu stranu? Kako sličicama prikazati desnu stranu? 2+4 lopte 3· 2 lopte Još 2+4 lopte. 3· 4 lopte I još 2+4 lopte. 3 · (2 + 4 ) 3· 2 + 3 · 4 Koja su tu pregrupiranja napravljena?

Primjer 1. : b) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 2 + 4 ) = 3· 2 + 3· 4 Kako sličicama prikazati lijevu stranu? Kako sličicama prikazati desnu stranu? = 3 · (2 + 4 ) = 3· 2 + 3 · 4 Na kojoj je onda hrpi više štapića - lijevoj ili desnoj?

Primjer 1. : c) Umetnimo znak = ili ≠ : 4· ( 5 + 2 ) 4· 5 + 4· 2 Što ćemo zapisati na desnoj strani? Za zadaću provjeri jednakost i nacrtaj odgovarajuću sličicu! Što misliš, hoće li takva jednakost vrijediti za bilo koja tri broja? Hoće! To svojstvo povezuje množenje i zbrajanje, a naziva se distributivost (množenja prema zbrajanju). Zapišimo općenito. . .

Za bilo koja tri broja a, b, c vrijedi: a· ( b + c ) = a· b + a· c Što. DISTRIBUTIVNOST ćemo zapisati na desnoj strani? množenja prema zbrajanju

Gdje nam koristi to svojstvo? Mi smo svojstvo distributivnosti već koristili, samo nismo znali naziv! Na primjer, kako napamet računamo ovaj zadatak: 4 · 17 = 68 Računamo 4· 10 i 4· 7 , pa zbrojimo! Rezultat je. . . Uočimo otkud nam 4· 10 i 4· 7 ! Krenimo od početka: 4 · 17 = 4 · (10 + 7) = 4 · 10 + 4 · 7 = 40 + 28 = 68 Sad Na Prvokraju na broj tajto 17 izraz izračunamo. rastavimo primijenimo na desetice distributivnost. i jedinice. . .

Gdje nam koristi to svojstvo? Mi smo svojstvo distributivnosti već koristili, samo nismo znali naziv! Na primjer, kako napamet računamo ovaj zadatak: 4 · 17 = 68 Računamo 4· 10 i 4· 7 , pa zbrojimo! Rezultat je. . . Uočimo otkud nam 4· 10 i 4· 7 ! Krenimo od početka: 4 · 17 = 4 · (10 + 7) = 4 · 10 + 4 · 7 = 40 + 28 = 68 Dakle, u ovom dijelu računa koristimo distributivnost! No o tome ne razmišljamo dok računamo napamet.

Za vježbu riješimo još nekoliko sličnih zadataka (napamet): 7 · 13 = 91 10+3

Za vježbu riješimo još nekoliko sličnih zadataka (napamet): 7 · 13 = 91 4 · 26 = 104 20+6

Za vježbu riješimo još nekoliko sličnih zadataka (napamet): 7 · 13 = 91 4 · 26 = 104 5 · 307 = 1535 300+7

Za vježbu riješimo još nekoliko sličnih zadataka (napamet): 7 · 13 = 91 4 · 26 = 104 5 · 307 = 1535 6 · 82 = 492 80+2 Nije teško, zar ne? Idemo korak dalje. . .

Što ako umjesto zbrajanja imamo oduzimanje?

Primjer 2. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 6 - 2 ) 3 · 4 = = 3· 6 - 3· 2 MINUS! 18 - 6 12 12 = Što misliš, što ćemo sad zapisati na desnoj strani? Izračunajmo i usporedimo rezultate. . . Dakle, opet smo dobili jednake rezultate. A što nam kažu sličice?

Primjer 2. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 6 - 2 ) = 3· 6 - 3· 2 Kako sličicama prikazati lijevu stranu? Kako sličicama prikazati desnu stranu? 6 -2 brodića 3 · (6 -2 ) 3· 6 - 3· 2

Primjer 2. : a) Umetnimo znak = ili ≠ : 3· ( 6 - 2 ) = 3· 6 - 3· 2 Kako sličicama prikazati lijevu stranu? Kako sličicama prikazati desnu stranu? = 3 · (6 -2 ) = 3· 6 - 3· 2 Na kojoj je hrpi više brodića?

Primjer 2. : b) Umetnimo znak = ili ≠ : 4· ( 7 - 5 ) 4· 7 - 4· 5 Što misliš, što ćemo sad zapisati na desnoj strani? Za zadaću provjeri jednakost i nacrtaj odgovarajuću sličicu! Što misliš, hoće li takva jednakost vrijediti za bilo koja tri broja? Hoće! To svojstvo povezuje množenje i oduzimanje, a naziva se distributivost (množenja prema oduzimanju). Zapišimo općenito. . .

Za bilo koja tri broja a, b, c vrijedi: a· ( b - c ) = a· b - a· c Sa DISTRIBUTIVNOST čime počinjemo? množenja prema oduzimanju

Gdje nam koristi to svojstvo? Slično, kao i prije, kod računa napamet! Na primjer, kako napamet možemo izračunati ovaj zadatak: 7 · 99 = 693 100 -1 Prvo broj 99 zamislimo kao 100 -1. Računamo 7· 100 i 7· 1 , pa oduzmemo!

Gdje nam koristi to svojstvo? Slično, kao i prije, kod računa napamet! Na primjer, kako napamet možemo izračunati ovaj zadatak: 7 · 99 = 693 3 · 98 = 294 100 -2

Gdje nam koristi to svojstvo? Slično, kao i prije, kod računa napamet! Na primjer, kako napamet možemo izračunati ovaj zadatak: 7 · 99 = 693 3 · 98 = 294 8 · 999 = 7 992 1000 -1 Jesmo li shvatili? Idemo dalje. . .

Distributivnost 2. dio

Naučili smo da za bilo koja tri broja a, b, c vrijedi: a· ( b + c ) = a· b + a· c a· ( b - c ) = a· b - a· c DISTRIBUTIVNOST Uvježbali smo kako iz lijeve strane dobiti desnu. Međutim, te nam jednakosti govore još nešto! Naime, ako je lijeva strana jednaka desnoj, onda je i desna strana jednaka lijevoj! Zamijenimo strane. . . a· b + a· c = a· ( b + c ) a· b - a· c = a· ( b - c ) Proučimo zadnje dvije jednakosti. . . DISTRIBUTIVNOST

a· b + a· c = a· ( b + c ) Na lijevoj strani imamo dva umnoška koji se zbrajaju. Uočimo kako se iz toga dobije desna strana.

a· b + a· c = a· ( b + c ) Imamo li zajednički faktor u ta dva umnoška? Da, a je zajednički faktor!

a· b + a· c = a· ( b + c ) Njega prepišemo pred zagradu! Imamo li zajednički faktor Iza njega ide znak · i otvorimo zagradu (. u ta dva umnoška? Da, a je zajednički faktor!

a· b + a· c = a· ( b + c ) Što s ostalim dijelovima? Njih prepišemo u zagradu! Na kraju zatvorimo zagradu.

a· b + a· c = a· ( b + c ) Provjerimo je li tako i kod oduzimanja: a· b - a· c = a· ( b - c ) Zajednički faktor prepišemo pred zagradu! Iza njega ide znak · i otvorimo zagradu (. Ostalo prepišemo u zagradu! Na kraju zatvorimo zagradu ).

Provjerimo jesi li dobro razumio. Primijenimo distributivnost na ovaj zadatak: 24 · 51 + 24 · 49 = 24 · ( 51 + 49 ) = 24 · 100 = 2400 Što ćemo sad? Izračunajmo ovo do kraja. Kako bismo računaliŠto bez distributivnosti? se primjene tu prvo računa? . . . Koji je način brži? Dakle, ovo je još jedan primjer koji nam pokazuje gdje je korisna distributivnost. Provježbajmo to još. . .

Izračunajmo: 7 · 984 + 7 · 16 = 7 · ( 984 + 16 ) = 7 · 1000 = 7 000 56 · 8 + 55 · 8 = 8 · ( 56 + 55 ) = 8 · 111 = 888 3 · 135 + 66 · 3 = 3 · ( 135 + 66) = 3 · 201 = 603 64 · 258 - 58 · 64 = 64· ( 258 - 58) = 64 · 200 = 12800 2397 · 9 - 2391 · 9 = 9 · ( 2397 - 2391) = 9 · 6 = 54

Nadam se da ste sve shvatili i da je bilo zanimljivo.

KRAJ

Autorica prezentacije: Antonija Horvatek Izrada prezentacije: listopad 2010.

Ovaj materijal možete koristiti u nastavi, tj. u radu s učenicima. U istu svrhu dozvoljeno je mijenjati ga i prilagoditi svojim potrebama. Za svako korištenje materijala koje nije rad s učenicima, npr. za objavljivanje materijala ili dijelova materijala u časopisima, udžbenicima, na CD-ima. . . , za korištenje na predavanjima, radionicama. . . , potrebno je tražiti i dobiti dozvolu autorice, te vezano uz objavu materijala navesti ime autorice (ako dozvolu dobijete). Ukoliko na bilo koji način koristite moje materijale, bit će mi drago ako dobijem povratnu informaciju, Vaše primjedbe, komentare. . . Antonija Horvatek ahorvatek@yahoo. com Matematika na dlanu http: //www. antonija-horvatek. from. hr/