Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Normal Distribusi Normal Distribusi

Distribusi Peluang Kontinu

Distribusi Normal

Distribusi Normal Distribusi normal sering disebut dengan distribusi Gaussian adalah satu jenis distribusi yang paling sering digunakan dalam menjelaskan sebaran data. Probability density function dari distribusi normal adalah simetris terhadap nilai rata (mean) dan dispersi terhadap nilai ratanya diukur dengan nilai standard deviasi. Dengan kata lain parameter distribusi normal adalah mean ( ) dan standard deviation ( ). Probability density function dari distribusi normal dapat ditulis dengan: Jika mean ( ) dan standard deviasi ( ), maka ekspresi diatas dapat ditulis:

Probability density function distribution normal Cummulative distribution function dan Hazard rate (x) Q(x) 1 0. 841 0. 5 0. 798/ 0. 159 0 0 - + x x

Terlihat bahwa kurva melewati titik dengan probabilitas 0. 5 jika random variabel x memiliki nilai . (expected value). Ini adalah karakteristik khusus dari distribusi normal yang menunjukkan bahwa distribusi normal sangat simetris terhadap nilai rata. Nilai menunjukan posisi dari kurva dan sering disebut dengan istilah location parameter. Nilai menunjukkan derajat kemencengan (dispersi) dan sering dikenal dengan istilah scale parameter. Luar daerah dibawah p. d. f adalah sama dengan satu (unity), dengan demikian maka: Persamaan diatas berarti bahwa luasan daerah dibawah kurva density function antara dua titik tidak terbatas harus mencakup semua random variable x yang mungkin dan harus sama dengan satu. Akan tetapi hitungan integral ini sangat kompleks. Karena itu, dalam kasus distribusi normal umum digunakan teknik pendekatan dengan hitungan manual, dengan konversi sebagai berikut:

z = (x- )/ , yang akan menyederhanakan persamaan failure density function menjadi: dimana random variabel sekarang adalah z, nilai rata (mean) nya adalah 0 (nol) dan standar deviasinya adalah 1 (unity). Substitusi ini menghasilkan kurva standard dimana deviasi dari random variabel terhadap mean diekspresikan dalam parameter z. (lihat tabel z pada buku statistik). Pada tabel ini luasan daerah dibawah kurva density function dapat dicari berdasarkan nilai dan nilai . Dari gambar 1. 4 7 terlihat bahwa total luas dalam interval ± 3 adalah 0. 9972 atau mendekati 1 (unity). Dengan demikian nilai ± 3 sering dipergunakan sebagai confidence limit dari distribusi normal.

Kasus: 1. Hitung P(0. 0 z 1. 25) 2. Hitung P( 1. 0 z 1. 0) 3. Hitung P( 2. 0 z 2. 0) 4. Hitung P(z 1. 58) 5. Hitung P(z 0. 5) 6. Hitung P(1. 0 z 1. 58) Kasus: 1. Hitung P(0. 0 z 1. 0) 2. Hitung P(0 z 1. 5) 3. Hitung P(0 z 2. 0) 4. Hitung P(0 z 2. 5) Kasus: 1. Hitung P(0. 0 z 0. 83) 2. Hitung P( 1. 57 z 0) 3. Hitung P(z 0. 44) 4. Hitung P(z 0. 23) 5. Hitung P(z 1. 20) 6. Hitung P(z 0. 71)

Kasus: Sebelum produk baru ban racing dilempar ke pasar, dilakukan pengetesan terhadap beberapa sample. Diperoleh nilai rata umur pakai adalah 36, 500 km dengan standar deviasi 5000 km. Berapakah peluang ban bisa dipakai lebih dari 40, 000 km? Jika dijamin bahwa jika ban tidak melewati umur pakai yang dijanjikan maka pada pembelian berikutnya harga akan di discount, Berapakah umur pakai yang harus dijanjikan agar tidak lebih dari 10% ban yang terjual akan mendapat jaminan discount? z = (x )/ = (40000 36500)/5000 = 0. 7 36500 40000 10 % Mile? 36500 Nilai z = 0. 7 berkorespondensi dengan luasan 0. 7580 Karena itu, peluang ban bisa dipakai lebih dari 40. 000 km Adalah 1 – 0. 7580 = 0. 242 atau 24. 2% Nilai 10% atau 0. 1 berkorespondensi dengan nilai z = 1. 28 Sehingga z = 1. 28 = (x 36. 500)/5. 000 = 30. 100 x 24. 2 % 30, 100 miles x

0. 3413 0. 1359 0. 0214 -3 -2 -1 0 1 2 3 Kasus: PLN memasang 2000 lampu yang memiliki usia rata 1000 jam pemakaian dengan standard deviasi 200 jam. Berapa lampu yang diharapkan gagal setelah 700 jam operasi?

x = 1000 dan = 200 z = (700 1000)/200 = 1. 5, Dari tabel didapat luasannya adalah: 0. 0668, sehingga: E(x) = 2000 x 0. 0668 = 134 lampu

Berapa lampukah diharapkan akan gagal dalam interval waktu 900 dan 1300 jam. Dalam berapa waktukah diperkirakan bahwa lebih dari 10% dari lampu akan mengalami kegagalan: 10% 744 -1. 2817 x 1000 0 z

Kasus: pompa sistem bahan bakar memiliki TTF yang terdistribusi normal dengan rata 10200 jam serta standar deviasi 1000 jam. a. Berapakah peluang sukses setelah 10000 jam operasi? b. Jika dua pompa tersebut tersusun seri, berapakah peluang suksesnya setelah 10000 jam operasi? c. Jika dua pompa disusun paralel, berapakah peluang suksesnya setelah 10000 jam operasi?

1 3 2

3 1 2

Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial, atau distribusi negatif eksponensial merupakan salah satu distribusi yang paling sering muncul dalam konteks evaluasi keandalan. Pada distribusi ini, laju kegagalan adalah konstan ( = C). Distribusi eksponensial adalah kasus khusus dari distribusi Poisson jika hanya kegagalan yang pertama saja yang diperhitungkan. Distribusi eksponensial hanya berlaku pada useful life period saja pada bath-tub curve. Peluang sebuah komponen sukses daram rentang waktu t jika hazard rate nya konstan adalah: R(t) = e t Dengan demikian, failure density function nya adalah: f(t) = d. R(t)/dt = e t Density function (a) diwakili oleh cummulative failure distribution (Qt) dan survivor function (Rt). Dua area ini dapt dihitung dengan:

e- t (a) Q(t) dan (R(t), (b) failure d. f, (c) cum. Fail. Dist. , (d) hazard rate Nilai harapan (expected value (E(x)) untuk distribusi eksponensial dan standard deviation nya adalah 1/ . Expected value ini berkorespondensi dengan Mean Time To Failure (MTTF) yang merupakan kebalikan dari nilai failure rate ( ). MTTF dan MTBF (Mean Time Between Failure) adalah dua hal yang berbeda. MTTF akan relatif sama dengan MTBF jika repair time (pada kasus repairable component) adalah sangat kecil jika dibandingkan dengan waktu operasi.

Kasus: Jika waktu yang dibutuhkan untuk loading sebuah truk ke dalam loading dock terdistribusi eksponensial dengan nilai rata adalah 15 menit, maka buatlah grafik probability density function nya? +(1/15)*2. 71828^(-(1/15)*A 1)

Kasus: Jika waktu yang dibutuhkan untuk loading sebuah truk ke dalam loading dock terdistribusi eksponensial dengan nilai rata adalah 15 menit, berapa peluang waktu loadingnya adalah kurang atau sama dengan 6 menit? berapa peluang waktu loadingnya adalah kurang atau sama dengan 18 menit ? berapa peluang waktu loadingnya adalah antara 6 dan 18 menit P( loading time 6 ) = 1 – e-6/15 = 0. 3297 P( loading time 18 ) = 1 – e-18/15 = 0. 6988 P( 6 loading time 18 ) = 0. 6988 – 0. 3297 = 0. 3691 0 0. 0000 1 0. 0645 2 0. 1248 3 0. 1813 4 0. 2341 5 0. 2835 6 0. 3297 7 0. 3729 8 0. 4134 9 0. 4512 10 0. 4866 11 0. 5197 12 0. 5507 13 0. 5796 14 0. 6068 15 0. 6321 16 0. 6558 17 0. 6780 18 0. 6988 19 0. 7182 20 0. 7364

Kasus: Proses produksi baru mempunyai rata 2 breakdown per hari. a. Berapa mean time between breakdown, jika diasumsikan 8 jam operasi per hari. b. Berapa peluang proses jalan 1 jam atau lebih sebelum breakdown berikutnya. c. Berapa peluang proses jalan 8 jam tanpa breakdown?

Kasus: Sebuah Pompa yang time to failure nya terdistribusi eksponensial memiliki laju kegagalan 3 x 10 4. a. Berapa peluang sukses pompa setelah 1000 jam operasi? b. Berapa peluang sukses 2 pompa yang disusun seri setelah 1000 jam operasi? c. Berapa peluang sukses 5 pompa yang disusun seri setelah 1000 jam operasi? d. Berapa peluang sukses 2 pompa yang disusun paralel setelah 1000 jam operasi? e. Berapa peluang sukses 5 pompa yang disusun paralel setelah 1000 jam operasi? f. Apa kesimpulan yang bisa ditarik dari 5 soal diatas?

Failure density function 2 1

1 2

LOGNORMAL DISTRIBUTION

Solution

WEIBULL DISTRIBUTION