Distribusi Normal Distribusi Normal Distribusi Gaus Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal (Distribusi Gaus) �Distribusi Normal (Distribusi Gauss) merupakan distribusi probabilitas yang paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. �Terminology “normal” karena memang distribusi ini adalah yang paling banyak digunakan sebagai model bagi data riil diberbagai bidang : - antara lain karakteristik fisik mahluk hidup (berat, tinggi badan manusia, hewan dll), - kesalahan-kesalahan pengukuran dalam eksperimen ilmiah pengukuran-pengukuran intelejensia dan perilaku, - nilai skor berbagai pengujian dan berbagai ukuran dan indikator ekonomi.

Alasan mengapa distribusi normal menjadi penting: � Distribusi normal terjadi secara alamiah. Seperti diuraikan sebelumnya banyak peristiwa di dunia nyata yang terdistribusi secara normal. � Beberapa variable acak yang tidak terdistribusi secara normal dapat dengan mudah ditranformasikan menjadi suatu distribusi variabel acak yang normal. � Banyak hasil dan teknik analisis yang berguna dalam pekerjaan statistik hanya bisa berfungsi dengan benar jika model distribusinya berupa distribusi normal � Ada beberapa variabel acak yang tidak menunjukkan distribusi normal pada populasinya Namun distribusi rata-rata sampel yang diambil secara random dari populasi tersebut ternyata menunjukkan distribusi normal.

Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi Distribusi Kumulatif Normal �Sebuah variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi normal dengan parameter x dan x dengan - < x < dan x >0 jika fungsi kepadatan probabilitas (pdf) dari X adalah :

• Distribusi normal kumulatif didefinisikan sebagai probabilitas variabel acak normal x tertentu. Fungsi distribusi kumulatif (cdf – cumulative distribution function) dari distribusi normal ini dinyatakan sebagai : F(x; x, x) = P(X x) = • F(x), hanya bisa ditentukan dari integrasi secara numerik, karena persamaan tersebut tidak bisa diintegrasi secara analitik.

�Untuk setiap distribusi populasi dari suatu variabel acak yang mengikut sebuah distribusi normal, maka � 68, 26% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 1 x dari x , � 95, 46% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 2 x dari x , � 99, 73% dari nilai-nilai variabel berada dalam ± 3 x dari x

Gambar hubungan antara luasan dan N( , 2)

Statistik Deskriptif Normal �Untuk suatu distribusi normal dengan nilai-nilai parameter mean x dan deviasi standard x akan diperoleh suatu distribusi yang simetris terhadap nilai mean x, �sehingga kemencengan (skewness) = 0 dan dapat ditunjukkan bahwa keruncingan (kurtosis) kurva distribusi adalah 3.

Sifat-Sifat Distribusi Normal: �Bentuk distribusi normal ditentukan oleh μ dan σ. 2 1 1 2 μ 1 < μ 2 σ1 = σ2 μ 1 = μ 2 σ1 > σ2 2 1 μ 1 < μ 2 σ1 < σ2

Distribusi Normal Standard �Untuk menghitung probabilitas P(a X b) dari suatu variable acak kontinu X yang berdistribusi normal dengan parameter dan maka fungsi kepadatan probabilitasnya harus diintegralkan mulai dari x=a sampai x =b. �Namun, tidak ada satupun dari teknik-teknik pengintegralan biasa yang bisa digunakan untuk menentukan integral tersebut. �Untuk itu diperkenalkan sebuah fungsi kepadatan probabilitas normal khusus dengan nilai mean = 0 dan deviasi standart = 1.

�Variabel acak dari distribusi normal standard ini biasanya dinotasikan dengan Z. Fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi normal standard variabel acak kontinu Z : �Fungsi distribusi kumulatif :

Menstandardkan distribusi Normal �Distribusi normal variable acak kontinu X dengan nilai-nilai parameter dan berapapun dapat diubah menjadi distribusi normal kumulatif standard jika variable acak X diubah menjadi variable acak standard Z menurut hubungan :

�Jika X distribusi normal dengan mean dan deviasi standard maka

Z > 0 jika x > Z < 0 jika x < Simetri : P(0 ≤ Z ≤ b) = P(-b ≤ Z ≤ 0)

Contoh : 1. Diketahui data berdistribusi normal dengan mean = 55 dan deviasi standar = 15 a) P(55≤x≤ 75) = = = P(0≤Z≤ 1, 33) = 0, 4082 (Tabel Z) Atau Tabel Z A = 0, 4082

b) P(60≤x≤ 80) = = P(0, 33≤Z≤ 1, 67) = P(0≤Z≤ 1, 67) – P(0≤Z≤ 0, 33) = 0, 4525 – 0, 1293 = 0, 3232 Z 1 = = 0, 33 B = 0, 1293 Z 2 = = 1, 67 A = 0, 4525 C = A – B = 0, 3232

c) P(40≤x≤ 60)= A + B = = P(-1, 00≤Z≤ 0, 33) = P(-1, 00≤Z≤ 0) + P(0≤Z≤ 0, 33) = 0, 3412 + 0, 1293 = 0, 4705 Atau : Z 1 = = = -1, 00 A = 0, 3412 Z 2 = = 0, 33 B = 0, 1293

d) P(x ≤ 40) = 0, 5 – A = 0, 5 – 0, 3412 = 0, 1588

e. P(x ≥ 85) f. P(x ≤ 85) = 0, 5 + A = 0, 5 + 0, 4772 = 0, 9772

2) Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ? Jawab:

Jika 5% peserta terendah mendapat nilai E, berapa batas nilai E ?