DISTRIBUSI NORMAL BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan

DISTRIBUSI NORMAL BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas 1

Pendahuluan Diantara sekian banyak distribusi barangkali distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penelitian. Banyak kejadian yang dapat dinyatakan dalam data hasil observasi per eksperimen yang mengikuti distribusi normal. Misalkan antara lain tinggi badan, berat badan, isi sebuah botol, nilai hasil ujian dan lain-lain.

Pengertian Distribusi Probabilitas Normal Distribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika.

Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal : v Kurva berbentuk genta atau lonceg dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung sama dengan median dan modus v Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya v Kurva ini menurun di kedua arah yaitu keeeeee kanan untuk nilai positif tak terhingga dan kekiri untuk nilai negatif tak terhingga v Luas daerah yang terletak di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.

Distribusi Probabilitas Normal Standar Distribusi probabilitas normal standar adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Transformasi memetakan distribusi normal menjadi distribusi normal standard, sebab distribusi normal dengan variabel z ini memiliki mean =0 dan standard deviasi = 1. Transformasi ini juga mempertahankan luas dibawah kurvanya artinya: Luas dibawah kurva distribusi normal antara standard antara z 1 dan x 2 z 2 = Dengan z 1 = (x 1 -μ)/σ dan z 2 = (x 2 -μ)/σ. Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal standard kumulatif

Kurva Distribusi Normal Standard

Contoh: Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171, 8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ? Penyelesaian : Dik : x = 173, µ = 171, 8, σ = 12 Dit : Z = ? Jawab = 0. 1

Pendekatan Normal Terhadap Binominal Jumlah suatu distribusi mempunyai n ≥ 30 dan n, p ≥ 5 atau n(1 -p)≥ 5 maka penyelasaian probabilitas dapat menggunakan pendekatan distribusi binomial ke distribusi normal dengan terlebih dahulu mencari nilai µ dan σ yaitu : σ = √ n. p. q ket : p= probabilitas sukses µ = n. p q= probabilitas gagal q =1 - p Kalau x merupakan varibel diskrit sekaligus variabel continue maka perlu diadakan koreksi dengan menambah atau mengurangi nilainya dengan 0. 5

Contoh Akhir tahun 1999, jumlah mahasiswa Kampus Selang sebanyak 752 orang. Yang mendapat bea siswa dari kampus tersebut ada 650 orang. Peluang yang mendapat bea siswa adalah 90%. Berapakah : a. Rata-rata mahasiswa yang seharusnya mendapat bea siswa ? b. Standar deviasinya ? c. Standar normalnya ? Penyelesaian : Dik : x = 650, n = 752, p = 90% = 0. 9 q = 1 – p = 1 – 0. 9 = 0. 1 Dit : a. µ : ? b. σ : ? c. Z : ?

Contoh (lanjutan) jawab : a. µ = n. p = 752. 0. 9 = 676. 8 b. σ = √ n. p. q = √ 752. 0. 9. 0. 1 = √ 67. 68 = 8. 227 c. Z = (x - µ )/σ = 650 – 676. 8/ 8. 227 = - 26. 8 / 8. 227 = - 3. 258

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL simestris Ekor 1. 2. 3. 4. 5. ekor = Md= Mo Kurva berbentuk genta ( = Md= Mo) Kurva berbentuk simetris (sumbu vertikal) Kurva normal berbentuk asimptotis (takterhingga ) Kurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. Luas daerah dibawah kurva normal standar sudah ada tabelnya yaitu dalam tabel dist normal standar atau tabel Z 11

Contoh n Brain. Test dari 600 capeg PDAM Jambi berdistribusi mendekati normal dengan rata-rata 115 dan simpangan baku 12. bila PDAM hanya menerima BT paling rendah 95, berapa banyak pelamar yang akn ditolak jk berdasarkan kententuan tersebut, tanpa melihat ability lainnya? 12

Jawab n n µ= 115, σ=12, n= 600, Z= x-µ / σ = 95 – 115 / 12 = -1. 67 (lihat Tabel =0, 4525). . . Z= 0, 5 – 0, 4525 = 0. 0475 P (x<95) = P (z < -1. 67) = 0. 0475 or 4. 75% n Jadi banyaknya pelamar yang akan ditolak: =4. 75% x 600 = 28, 5 atau 29 orang. n 13

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; , ) = 1 e – 1/2[(x- )/ ]2, 2 2 Untuk - <X< di mana = 3, 14159 e = 2, 71828 14

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL >Sd MREI 4, 08 SD BNI 2, 58 GEMA 3, 75 Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda, HARGA 100/LEMBAR. 15

KETERANGAN n SMAKIN MENGELOMPOK NILAI SD PADA NILAI TENGAH (MIU) MAKA PARAMETER NILAI TENGA TERSEBUT LEBIH BAIK MENJADI INDIKATOR UNTUK UKURAN POLPULASI. 16

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL KLASIFIKASI MUTU Mangga “C” Mangga “A” Mangga “B” Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama 17

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL PERBEDAAN KEMAMPUAN ANTAR POPULASI RENDAH Distribusi kurva normal dengan dan berbeda 18

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z: Z=X- 19

TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490, 7 dan standar deviasinya 144, 7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? Jawab: Diketahui: Nilai = 490, 7 dan = 144, 7 Maka nilai Z =( X - ) / Z = ? 20

LUAS DIBAWAH KURVA NORMAL 68, 26% 95, 44% 99, 74% -3 -3 -2 -2 -1 -1 =x Z=0 +1 +1 +2 +2 +3 +3 • Luas antara nilai Z (-1<Z<1) sebesar 68, 26% dari jumlah data. • Berapa luas antara Z antara 0 dan sampai Z = 0, 76 atau biasa dituis P(0<Z<0, 76)? • Dapat dicari dari tabel luas di bawah kurva normal. Nilainya dihasilkan = ? 21

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT GS mengklaim berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen. Z=-2, 0 22

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab: 23

PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800 -1. 000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya! 0, 4772 -2 2 24

PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab: 25

OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Teori Keputusan Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas 26

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. 27

DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi = npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: Z = X - np npq di mana n dan nilai p mendekati 0, 5 28

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

Normal distribution (normal curve) disebut juga “Gaussian Distribution” (sesuai dengan nama orang yang menemukannya yakni Carl Gauss). Normal curve adalah satu distribusi kemungkinan teoritis dengan variabel random sinambung ( Continuous distribution). Distribusi ini berbeda dengan distribusi Binomial dan Poisson yang bervariabel random discrete. Dalam variabel discrete nilai x hanya berupa bilangan bulat positif saja (x = 0, 1, 2, 3 …. . n), sedangkan pada continuous variabel nilai x bisa menjalani semua harga dalam suatu interval tertentu, bisa mengambil bilangan pecahan dan tak terbatas dalam interval tersebut.

Distribusi bervariabel continue yang lain (di samping distribusi normal) adalah : 1. Distribusi nilai t 2. Distribusi nilai x 2 3. Distribusi nilai F Ciri-ciri distribusi / kurva normal : 1. Kurvanya berbentuk garis lengkung yang halus dan berbentuk seperti genta. 2. Simetris terhadap mean µ. 3. Kedua ekor/ujungnya semakin mendekati sumbu absisnya tetapi tidak pernah memotong. 4. Jarak titik belok kurva tersebut dengan sumbu simetrisnya sama dengan σ. 5. Luas daerah di bawah lengkungan kurva tersebut dari - ∞sampai + ∞ sama dengan 1 atau 100%.

Kurva normal standard adalah kurva normal yang sudah diubah menjadi distribusi nilai Z, dimana distribusi tersebut akan mempunyai µ = 0 dan deviasi standard σ = 1. Rumus : Z=x-µ σ

Tabel Luas Kurva Normal Z 0, 00 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 05 0, 06 0, 0 7 0, 08 0, 000 0, 0040 0, 0080 0, 0120 0, 0160 0, 0199 0, 0239 0, 0279 0, 0319 0, 3962 0, 3980 0, 3997 0, 1 0, 0596 0, 2 0, 0987 0, 3 0, 1368 0, 4 0, 1736 0, 5 0, 2088 0, 6 0, 2422 0, 7 0, 2734 0, 8 0, 3023 0, 9 0, 3289 1, 0 0, 3531 1, 1 0, 3749 1, 2 0, 3849 0, 3869 0, 3888 0, 3907 0, 3925 0, 3944

Pendekatan Normal terhadap Binomial Apabila p sama dengan ½ dan n adalah besar, maka distribusi binomial akan mendekati distribusi normal. Di dalam prakteknya, daerah kurva normal dapat dipergunakan untuk menghitung probabilitas binomial, walaupun n adalah relatif kecil dan p tidak sama dengan ½. Oleh karena itu, distribusi binomial mempunyai variabel discrete, sedangkan distribusi normal bervariabel kontinu, maka dalam menggunakan distribusi normal untuk memecahkan persoalan binomial perlu diadakan penyesuaian sebagai berikut ; untuk harga variabel x batas bawah dikurangkan 0, 5 dan harga variabel x batas ditambahkan 0, 5.

Penyesuaian tersebut dinamakan faktor koreksi kontinuitas, yaitu faltor koreksi yang besarnya 0, 5 yang diperlukan untuk mentransformasi dari binomial menuju normal yang merupakan variabel acak kontinu. Rumus: Z = x - np √npq

DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Teori Keputusan Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Distribusi Normal Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng seperti gambar 6. 1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (1777 -1855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter dinyatakan Pada gambar (6. 2) melukiskan dua kurva normal dengan simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6. 3 melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart deviasi bebeda. Gambar 6. 4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan standart deviasi yang berbeda.

Kurva normal 39

DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu pengubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; , ) = 1 e – 1/2[(x- )/ ]2, 2 2 Untuk - <X< di mana = 3, 14159 e = 2, 71828

KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL 1. 2. 3. 4. 5. Kurva berbentuk genta ( = Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva normal berbentuk asimptotis Kurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Mangga “C” Mangga “A” Mangga “B” Distribusi kurva normal dengan berbeda dan sama

JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL Distribusi kurva normal dengan dan berbeda

TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z Transformasi dari X ke Z x z Di mana nilai Z: Z=X-

CONTOH SOAL Diketahui suatu distribusi normal dengan dan Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62 Jawab: Dicari nilai z yang berpadaan dengan adalah dan Jadi: Ganbar 6. 7 Luas daerah 46

Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh: Dengan R > pnorm(-0. 5) [1] 0. 3085375 > pnorm(1. 2) [1] 0. 8849303 Tabel 6. 1. Luas daerah di bawah kurva normal z 0. 00 : : -0. 5 0. 3085 0 : : 1. 2 : : 0. 8849 ……… 0. 04 ……. . 0. 09

Distribusi Probabilitas Normal Bab 9 OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Teori Keputusan Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas

Distribusi Normal Standar = distribusi normal untuk µ = 0 dan σ = 1. Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z yang terdistribusi normal standar:

Distribusi Normal dan Normal Standar � Distribusi Normal (=Gauss) Parameter: µ = rata-rata, dan = standar deviasi

DISTRIBUSI NORMAL STANDAR Variabel random kontinu yang paling mendasar yang harus di perhatikan adalah variabel Z yang mempunyai distribusi normal standar yang mempunyai nilai harapan ( mean ) nol dan varian satu dengan fungsi densitas sebagai berikut :

OUTLINE BAGIAN II Probabilitas dan Teori Keputusan Konsep-konsep Dasar Probabilitas Distribusi Probabilitas Diskret Distribusi Normal Pengertian dan Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal Standar Penerapan Distribusi Probabilitas Normal Standar Pendekatan Normal Terhadap Binomial Teori Keputusan Menggunakan MS Excel untuk Distribusi Probabilitas 52

MENGGUNAKAN MS EXCEL Contoh 9 -1 • • • Buka program MS Excel dari Start, pilih MS Excel Letakkan kursor pada cell yang ada di sheet MS Excel, dan klik icon fx, atau klik icon insert dan pilih fx function Pilih statistical pada function category dan pilih Normdist pada function nama, Anda tekan OK. 53

MENGGUNAKAN MS EXCEL • Anda akan menemui kotak dialog seperti berikut: NORMDIST X Mean Standard_dev Cumulative …………. . (isilah nilai x, misal 600) …………. . (isilah nilai mean, misal 490) …………. . (isilah nilai , misal 144, 7 …………. . (ketik True untuk kumulatif, dan False untuk nilai tunggal) Hasil nilai p = 0, 76 akan muncul pada formula result atau tanda “=“ 54

MENGGUNAKAN MS EXCEL Hasil nilai p = 0, 7764 akan muncul pada formula result atau tanda “=“ Catatan: Bila menggunakan tabel Z pada lampiran 3, probabilitas adalah luas daerah yang diarsir, yaitu dari Z=0 ke kanan kurva (infiniti positif). Sedangkan dengan MS Excel, probabilitas adalah luas daerah dari kiri kurva (infiniti negatif) ke kanan (sampai nilai X yang dimaksud). 55

56

57

TERIMA KASIH 58