DISTRIBUIO BINOMIAL Prof Elisson de Andrade eapandrauol com
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Prof. Elisson de Andrade eapandra@uol. com. br
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CARA OU COROA?
Fundamentos • Ao jogar uma moeda, temos apenas DOIS resultados possíveis: CARA ou COROA • Considere Y uma variável que representa essa situação • Se o resultado for Cara, Y assumirá valor 1 (Sucesso, Favorável) • Se o resultado for Coroa, Y assumirá valor 0 (Fracasso, Desfavorável) • Pensemos nisso no Excel, usando função SE
Fundamentos • Probabilidades: • Cara: P(Y=1) = p • Coroa: P(Y=0) = q • Sendo: p = 1 - q • Onde: 0 < p < 1 • Suponhamos moeda com 50% de chance de Cara ou Coroa
Fundamentos • Generalizando, para Y ser igual a determinado valor k: • P(Y = k) = pk. (1 -p)1 -k • Relembrando: no nosso caso k só pode ser 0 ou 1 • Exemplo: qual a probabilidade de ser CARA • P(Y = 1) = 0, 51. (1 -0, 5)1 -1 • P(Y = 1) = 0, 5 (50% de chance de em uma tentativa dar CARA)
Fundamentos • Essa é a denominada Distribuição de Bernoulli • Quando a Variável aleatória Y assume valores 0 ou 1 • A esperança matemática: E[Y] = p • Variância: VAR[Y] = p. (1 - p) ou VAR[Y] = p. q • Vamos relembrar a razão disso?
Fundamentos •
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Mas o que é Distribuição Binomial?
Suponha, agora, o Lançamento de 3 Moedas Simultaneamente (eventos independentes)
Moeda 1 Moeda 2 Moeda 3 Y 1: valores 0 ou 1 E probabilidade p Y 2: valores 0 ou 1 E probabilidade p Y 3: valores 0 ou 1 E probabilidade p Cada Yi possui Distribuição Bernoulli com parâmetro p
Com o lançamento de 3 moedas, vamos criar uma variável X que conte o número de caras Ver Exemplo no Excel
Resultados possíveis em Árvore de Probabilidade
Y 1 = 1 Y 1 = 0 Y 1 = 1 X=3 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 0 X=2 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 1 X=2 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 0 X=1 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 1 X=1 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 0 X=0 Prob: 0, 5*0, 5 = 12, 5% Y 1 = 1 Y 1 = 0
Ou seja A probabilidade de dar Cara continua p Porém, essa moeda será jogada n vezes
Relembremos a Fórmula de Bernoulli: P(Y = k) = pk. (1 -p)1 -k (No Exemplo: era a probabilidade de uma moeda dar Cara ou Coroa) A Distribuição Binomial é uma Generalização da Bernoulli: P(X = k) = pk. (1 -p)n-k. (no de ocorrências do evento k) (agora com os parâmetros n e p)
Vejamos os mesmos resultados em uma tabela
Resultados possíveis de X Resultado 1: X = 3 Y 1 = 1 Y 2 = 1 Y 3 = 1 Resultado 2: X = 2 Y 1 = 1 Y 2 = 1 Y 3 = 0 Resultado 3: X = 2 Y 1 = 1 Y 2 = 0 Y 3 = 1 Resultado 4: X = 2 Y 1 = 0 Y 2 = 1 Y 3 = 1 Resultado 5: X = 1 Y 1 = 1 Y 2 = 0 Y 3 = 0 Resultado 6: X = 1 Y 1 = 0 Y 2 = 1 Y 3 = 0 Resultado 7: X = 1 Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = 1 Resultado 8: X = 0 Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = 0 Podemos afirmar que X possui Distribuição Binomial com parâmetros n e p
Exemplos das 3 Moedas Para o Caso de X = 3 Resultado 1: X = 3 Y 1 = 1 Y 2 = 1 Y 3 = 1 P(X = 3) = p 3. (1 -p)3 -3 = p 3 , no caso das moedas 0, 53 = 0, 125 = 12, 5% Para o Caso de X = 0 Resultado 8: X = 0 Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = 0 P(X = 0) = p 0. (1 -p)3 -0 = q 3, no caso das moedas 0, 53 = 0, 125 = 12, 5%
Exemplos das 3 Moedas Para o Caso de X = 1 Resultado 5: X = 1 Y 1 = 1 Y 2 = 0 Y 3 = 0 Resultado 6: X = 1 Y 1 = 0 Y 2 = 1 Y 3 = 0 Resultado 7: X = 1 Y 1 = 0 Y 2 = 0 Y 3 = 1 P(X = 1). 3 = (p 1. (1 -p)3 -1). 3 = p 1. q 2. 3 No Caso das Moedas (0, 52. (1 -0, 5)3 -2). 3 = 0, 375 ou 37, 5% Tal evento ocorre 3 vezes, logo, é a SOMA das probabilidades dos Resultados 5, 6 e 7
Exemplos das 3 Moedas Para o Caso de X = 2 Resultado 2: X = 2 Y 1 = 1 Y 2 = 1 Y 3 = 0 Resultado 3: X = 2 Y 1 = 1 Y 2 = 0 Y 3 = 1 Resultado 4: X = 2 Y 1 = 0 Y 2 = 1 Y 3 = 1 P(X = 2). 3 = (p 2. (1 -p)3 -2). 3 = p 2. q. 3 No Caso das Moedas (0, 52. (1 -0, 5)3 -2). 3 = 0, 375 ou 37, 5% Número de ocorrências do evento
Resumindo Evento Probabilidade P(X=0) 12, 5% P(X=1) 37, 5% P(X=2) 37, 5% P(X=3) 12, 5% TOTAL 100%
Porém, suponha que jogássemos 100 moedas. Quantas combinações possíveis teríamos, por exemplo, para P(X =27), ou seja, de quantas formas possíveis dariam 27 caras? Por isso, nossa fórmula será melhorada para: Fórmula de Análise Combinatória
Voltando para nosso Exemplo das 3 moedas. Calcular pela fórmula a probabilidade de P(X=3)
Agora vocês, utilizando a fórmula abaixo, calcule P(X=2), P(X=1) e P(X=0) utilizando a fórmula abaixo Sendo
Esperança e Variância •
Resumindo. . . • Um Experimento Binomial possui 4 características: 1. Sequência de n ensaios Idênticos 2. 2 resultados, apenas, são possíveis em cada ensaio: sucesso e fracasso 3. A probabilidade p de sucesso não se modifica para cada ensaio 4. Os ensaios são independentes
Vamos fazer alguns exercícios? Dica: lembrar sempre de definir o que é SUCESSO (p) e o que é FRACASSO (q)
Exercício 1 • Qual a probabilidade de dar 3 CARAS em 5 lançamentos de uma moeda cujas probabilidades são 50%-50%?
Exercício 2 • Qual a probabilidade de dar MENOS QUE 3 CARAS em 5 lançamentos de uma moeda cujas probabilidades são 50%-50%?
Facilitando Para fazer análise combinatória na calculadora científica, basta clicar o número de lances de moedas, clicar no botão n. Cr, e em seguida o número de sucessos
Vejamos como resolver os Exercícios 1 e 2 no Excel Função: DISTR. BINOM
Exercício 3 • Suponha que as chances de um casal ter filho de cabelos loiros seja de ¼. Se esse casal tiver 6 filhos, qual a probabilidade de metade deles serem loiros? Vejamos no Excel
Exercício 4 • Se a probabilidade de atingir um alvo, num único disparo, é de 30%, qual a probabilidade que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? Vejamos no Excel
Exercício 5 – NO EXCEL • Objetivo: ver o gráfico da distribuição Binomial • Exemplo: A probabilidade de você acertar arremessos de lances livres, em uma cesta de basquete, é de 30%. Construir o gráfico de distribuição binomial para 6 jogadas.
Exercício – PARA ENTREGAR • Considere o mesmo exercício das bolas de basquete, mas agora um p de 50% e 50 arremessos • Construa os gráficos da função com as probabilidades para cada número de acertos e a acumulada • Calcule também a esperança e o desvio padrão • Entregar na próxima terça: ajudará na nota da prova
Fazer exercícios Hoffmann • 7. 1 • 7. 9 • 7. 2 • 7. 10 • 7. 3 • 7. 13 • 7. 4 • 7. 14 • 7. 8
Exercícios Resolvidos • Retirados do site: • http: //www. bertolo. pro. br/Fin. Est/Estatistica/Exercicios. Res olvidos. Binomial. pdf
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