Distribuies de probabilidades referentes a variveis contnuas e
Distribuições de probabilidades referentes a variáveis contínuas e suas aplicações As variáveis contínuas podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo e para estas não é possível enumerar todos os valores possíveis e suas respectivas probabilidades. Para estas distribuições convém elaborar uma função de densidade de probabilidade.
Como existem infinitos pontos cada um com igual probabilidade, se fossemos usar o mesmo método usado para a variável aleatória discreta, cada ponto teria probabilidade de ocorrência igual a zero. A densidade de probabilidade de uma variável é comumente chamada de sua Distribuição de Probabilidade.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal. Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócioeconômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. Propriedades da distribuição normal : 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0, 5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.
Abraham de Moivre, em 1733, publicou a equação da curva normal: que permite gerar o seguinte gráfico:
• O gráfico da distribuição normal assemelha-se a um sino e seu formato dependerá dos valores dos parâmetros µ e . • Notação de uma variável com distribuição normal: A probabilidade de X assumir qualquer valor X 0 é zero, isto é (PX=X 0) = 0, logo, são iguais as probabilidades: P (a < x < b) = P (a ≤ x ≤ b) = à area sob a curva compreendida entre dois pontos.
Distribuição Normal padronizada Seja X uma variável aleatória com distribuição N(µ; 2). Considere a transformação linear: A média de Z é zero e a sua variância é igual a 1, logo a função densidade da variável Z é dada por:
Uso da distribuição normal padronizada Z 0, 00 0, 01 . . . 0, 07 0, 0 0, 1 0, 2 M 1, 1 0, 3790
Exemplos do uso de z: 1. Em uma população de indivíduos adultos de sexo masculino, cuja estatura média é 1, 70 m e desvio padrão é 0, 08 m, qual é o intervalo de alturas em que 95% da população está compreendida? 95% = ± 1, 96 = 1, 70 ± 1, 96 x 0, 08 = 1, 70 + 0, 1568 = 1, 8568 (maior altura) e = 1, 70 0, 1568 =1, 5432 (menor altura). Assim sendo, 95% da população tem altura entre 1, 5432 m e 1, 8568 m. Portanto, será pouco provável encontrar alguém com altura superior a 1, 8568 m (2, 5%) ou abaixo de 1, 5432 m (2, 5%).
2. Na mesma população, qual a probabilidade de um indivíduo ter estatura entre 1, 60 e 1, 82 m? Calcula-se dois valores de z: zmin = (1, 60 - 1, 70) / 0, 08 = 1, 25 zmax = (1, 82 - 1, 70) / 0, 08 = 1, 50 A área entre z = 0 e z = -1, 25 é 39, 44 e a área entre z = 0 e z = 1, 82 é de 43, 32. Portanto, a probabilidade de se encontrar alguém com estatura entre 1, 60 e 1, 82 m é 0, 3944 + 0, 4332 = 0, 8276 = 82, 76%
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