Distribuciones discretas de probabilidad Contenido Variables aleatorias Distribuciones

Distribuciones discretas de probabilidad

Contenido Variables aleatorias Distribuciones discretas Valor esperado Distribución Binomial Distribución Geométrica Distribución Binomial Negativa Distribución Hipergeométrica Distribución de Poisson

Variable aleatoria Es una variable tal que el valor que toma depende del resultado de un experimento aleatorio. A las variables aleatorias podemos clasificarlas como discretas o continuas. Las discretas tienen un rango finito (o infinito numerable) de valores. Las continuas pueden tomar cualquier valor en un intervalo de números reales con más de un elemento.

Distribución de probabilidad La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es una fórmula (función), o una tabla, que nos permite determinar la probabilidad de que X tome cada uno de sus valores. Para una variable aleatoria continua X, la distribución de probabilidad es una función que nos permite determinar la probabilidad de que X tome un valor en un subintervalo contenido en su rango.

Ejemplo 1: distribución de probabilidad discreta Autos vendidos por día No. De Días 0 40 1 100 2 142 3 66 4 36 5 30 6 26 7 20 8 24 9 16 Total 500 Utilizando los registros de las ventas de los últimos 500 días, el gerente de Koning Motors resumió el número de autos vendidos por día, según se muestra en la distribución de frecuencias de la izquierda: La variable aleatoria X cuyos valores son las cantidades de autos vendidos por día es discreta.

Ejemplo 1: distribución de probabilidad discreta. (Autos vendidos por día) x p( x ) 0 0. 08 1 0. 20 2 0. 29 3 0. 13 4 0. 07 5 0. 06 6 0. 05 7 0. 04 8 0. 05 9 0. 03 Total 1. 00

función de probabilidad discreta. Probabilidad Sea X una variable aleatoria discreta. Una función f que cumple con las tres condiciones siguientes se llama función de probabilidad de X. valores de X

Valor esperado. v El valor esperado de una variable aleatoria discreta X , que denotaremos por µ, es una medida de localización (o de tendencia) central de X: es un promedio ponderado de los valores posibles de la variable; los factores de ponderación son las probabilidades de los valores respectivos. Está dado por: v El valor esperado de X, que también se denota por E(X), también se conoce como media o esperanza de X.

Varianza. La varianza de una variable aleatoria discreta X, que se representa como σ2, es el promedio ponderado del cuadrado de las desviaciones de los valores posibles de X respecto a su media; los factores de ponderación son las probabilidades de los valores respectivos. Es decir, la varianza está definida como La desviación estándar de X, que representamos por σ, es la raíz cuadrada de su varianza.

Ejemplo 2. En cierto banco, los resultados del último trimestre ofrecen una distribución de la cantidad de préstamos hipotecarios aprobados por semana en la oficina de una sucursal. Se han incluido todos los posibles resultados con sus respectivas frecuencias relativas ya convertidas en probabilidades.

Ejemplo 2. Distribución de probabilidad de los préstamos hipotecarios aprobados por semana Hipotecas aprobadas por semana xi Probabilidad p(xi) 0 0. 10 1 0. 10 2 0. 20 3 0. 30 4 0. 15 5 0. 10 6 0. 05

Ejemplo 2. Gráfica de la distribución de probabilidad de hipotecas aprobadas por semana

Ejemplo 2. Esperanza. Hipotecas aprobadas por semana (xi) Probabilidad p(xi) xi p(xi) 0 0. 10 0. 00 1 0. 10 2 0. 20 0. 40 3 0. 30 0. 90 4 0. 15 0. 60 5 0. 10 0. 50 6 0. 05 0. 30 m = E(X) = 2. 80

Ejemplo 2. Varianza. Hipotecas aprobadas por semana (xi) Probabilidad p(xi) 0 0. 10 7. 84 0. 78 1 0. 10 3. 24 0. 32 2 0. 20 0. 64 0. 13 3 0. 30 0. 04 0. 01 4 0. 15 1. 44 0. 22 5 0. 10 4. 84 0. 48 6 0. 05 10. 24 0. 51 s 2 2. 46 [ xi - E(X) ]2 = [(xi - E(X) )2 ] p(xi)

Ejemplo 2. Desviación estándar.

Ejercicio 1. Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades de una variable aleatoria X. Determinar si es correcta la distribución de probabilidad. Calcular E(X). Calcular σ2 = Var(X) y σ = de(X). x f(x) 2 4 7 8 Total 0. 20 0. 30 0. 40 0. 10 1. 00

Dato histórico El cálculo de probabilidades tuvo un notable desarrollo con el trabajo del matemático suizo Jacob Bernoulli (1654 -1705). Bernoulli definió el proceso conocido por su nombre, el cual establece las bases para el desarrollo y utilización de la distribución binomial.

Distribución Binomial Es una distribución discreta de probabilidad conocida por sus variadas aplicaciones que se relaciona con un experimento de etapas múltiples Un experimento binomial tiene cuatro propiedades: 1. El experimento consiste en una sucesión de n ensayos idénticos 2. En cada ensayo son posibles 2 resultados. Éxito o fracaso 3. La probabilidad de éxito, representado por p, no cambia de un ensayo a otro. En consecuencia, la probabilidad de fracaso, (1 -p), no cambia de un ensayo a otro. 4. Los ensayos son independientes. 5. Si n=1, entonces a la distribución se le conoce como distribución de Bernoulli.

Distribución binomial El número de maneras de obtener x éxitos en n ensayos está dado por La probabilidad de cada manera particular de obtener x éxitos en n ensayos es

Distribución binomial. Combinando las dos expresiones obtenemos la función de distribución binomial

Ejemplo para n=3. P(punto) ppp p q p p éxito ppq pqp 2 q pqq 1 qpp 2 qpq 1 qqp 1 q q p = P(éxito) p q q = 1 – p q P(fracaso) 2 p p fracaso x 3 qqq 0

Coeficiente binomial. Éxitos (unidades defectuosas) Número de opciones 3 1 p x p = p 3 2 3 1 3 0 1 p x (1 -p) = p 2 q p x (1 -p) x p = p 2 q p x (1 -p) = pq 2 (1 -p) x p = pq 2 (1 -p) x (1 -p) = q 3

Distribución binomial.

Distribución binomial. Valor esperado de la distribución binomial de probabilidad: Varianza de la distribución binomial de probabilidad: n y p son los parámetros de la distribución.

Ejemplo 3. El gerente de una gran tienda necesita determinar cual es la probabilidad de que 2 de 3 clientes que ingresan a la tienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad de que un cliente compre es de 0. 3 Número de maneras de obtener 2 éxitos en 3 ensayos (que de 3 clientes que entran a la tienda 2 compren) Probabilidad de cada manera particular de obtener 2 éxitos (que 2 de 3 clientes compren) Luego 3· 0. 063 = 0. 189 es la probabilidad de que de 3 clientes que ingresan a la tienda 2 compren

Ejemplo 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? El número de éxitos x es 6. El número de ensayos n es 10. La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0. 50 La fórmula queda como Es decir, la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20. 5%.

Ejemplo 5. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? El número de éxitos x es 4. El número de ensayos n es 8. La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1/6. La fórmula queda: Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2. 6%.

Ejemplo 6. En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determinar la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas. Solución : Se trata de una distribución binomial B(12, 0. 05). Debemos calcular la probabilidad de que X sea igual a 2. Esto es P(X=2). Aplicando la fórmula obtenemos P(X=2)= 0. 0988.

Ejemplo 7. En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determinar la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio. Solución : Se trata de una distribución binomial con parámetros n=15 y p=10/100=0. 10. Debemos calcular la probabilidad P(X=3). Aplicando la fórmula obtenemos P(X=3)= 0. 1285

Ejercicio 2. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 10% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 4 verduras al azar, encontrar la probabilidad de que, a) las 4 estén descompuestas, b) de 0 a 2 estén descompuestas. Para resolver el inciso “b” hay que repasar las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0. 6561 + 0. 2916 + 0. 0486

Ejercicio 3. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 20% presentaban fuga de aceite. Si se instalan 20 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite, c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos. d) Determinar el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. En el inciso “b” se deben sumar las probabilidades desde P(x=6) en adelante. En el inciso “c” se debe sumar P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6).

Ejercicio 4. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 15% de los alternadores del lote están defectuosos. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos, d) más de tres estén con defectos? Para el inciso “d” se puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)]

Ejercicio 5. La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0. 95. Calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio 6. Si 6 de 18 proyectos de viviendas violan el código de construcción, ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a cuatro de ellas, descubra que, a) ninguna de las casas viola el código de construcción, b) una viola el código de construcción, c) dos violan el código de construcción, d) al menos tres violan el código de construcción.

Distribución Geométrica. En una serie de ensayos de Bernoulli independientes, con probabilidad p de éxito, sea la variable X que toma como valor el número de ensayos realizados hasta que se obtiene el primer éxito. X tiene una distribución geométrica con parámetro, con función de probabilidad La media y varianza para esta distribución son Una característica de esta distribución es que carece de memoria, es decir, se puede empezar a contar en cualquier ensayo o intento hasta obtener el éxito.

Ejemplo 8. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es 0. 01. Si se supone que las muestras son independientes respecto a la presencia de la molécula, determinar cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara

Distribución Binomial Negativa. En una serie de ensayos de Bernoulli independientes con probabilidad de éxito p, sea la variable aleatoria X que toma como valor el número de ensayos efectuados hasta que se tienen r éxitos. La función de probabilidad de X es Se dice que X tiene una distribución binomial negativa con parámetros p y r. Una variable binomial negativa es un conteo del número de ensayos necesarios para obtener r éxitos. Es decir, el número de éxitos está predeterminado y lo aleatorio es el número de ensayos. Se puede decir que esta variable es el opuesto de una variable binomial. La media y varianza para esta distribución son

Ejemplo 9. Una aeronave tiene 3 computadoras idénticas. Sólo una de ellas se emplea para controlar la nave, las otras 2 son de reserva por si falla la primera. Durante una hora de operación la probabilidad de falla es 0. 0005. ¿Cuál es el tiempo promedio de falla de las tres computadoras? ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallen durante un vuelo de 5 horas?

Ejemplo 9. a) E(X) =3/0. 0005 = 6000 horas. b)

Distribución Hipergeométrica. Está estrechamente relacionada con la distribución de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de éxito cambia de uno a otro Se usa para calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria de n elementos seleccionados sin reemplazo de una población con N elementos, de los que r son de clase (o tipo) I y N-r son de clase II, obtengamos x elementos de clase I:

Ejemplo 10. Se deben seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención en Santiago. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determinar la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar. Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2 Luego el cálculo de la probabilidad es:

Distribución Hipergeométrica. La Distribución Binomial se aplica para poblaciones INFINITAS (muy grandes) o para muestreos con reemplazo (no cambia el valor de p). En la práctica se acepta cuando el tamaño de la población es por lo menos 10 veces más grande que el tamaño de la muestra. Si la población es FINITA y el muestreo es sin reemplazo, la distribución del número de elementos de clase I será Hipergeométrica(n, r, N), la cual tiene tres parámetros: N es el tamaño de la población, r es el número de elementos en la población de clase I, n es el tamaño de la muestra.

Distribución Binomial vs. Hipergeométrica. M=1000 r=100 n=30 M=100 r=10 n=60

Dato histórico La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis Poisson (1781 -1840), Esta distribución de probabilidad fue uno de los múltiples trabajos matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Modela el número de eventos x que ocurren en un intervalo continuo (tiempo, espacio o volumen). También se denomina de sucesos raros. Se obtiene como aproximación de una distribución binomial con la misma media, para ‘n grande’ (n>50) y ‘p pequeño’ (p<0. 1). Queda caracterizada por un único parámetro que es a la vez su media y su varianza: E(X)=Var(X)= Función de probabilidad:

Ejemplos de variables aleatorias de Poisson. La cantidad de clientes que llegan a un negocio durante una hora. El número de llamadas telefónicas que se reciben en un día. El número de defectos en la manufactura de papel por cada metro producido. El número de envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de producto terminado.

Ejemplos de variables aleatorias de Poisson. El número de unidades defectuosas en la producción de un día cualquiera en una línea de producción. Supongamos que se producen 10, 000 unidades diariamente. La probabilidad de una unidad defectuosa es pequeña, pero no nula. Supongamos que es Bin(n=10, 000 , p=4/10, 000) ≈ Poisson(4/10, 000, =np=4)

Relaciones entre las Distribuciones Discretas Ø La distribución de Poisson( ) aproxima a la distribución binomial(n, p) cuando p es pequeña, n es grande (p<0. 10, n>50) y np<10. Ø La distribución binomial(n, p) aproxima a la distribución hipergeométrica(n, r, N) cuando N es muy grande (n<0. 1 N). Ø La distribución de Poisson( ) aproxima a la distribución hipergeométrica(n, r, N) cuando N es muy grande y r/N es muy pequeño.

Ejemplo 11. Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla de servicio en automóviles de un banco, durante un período de 15 minutos en las mañanas de los días hábiles. Los datos históricos indican que en este período la cantidad promedio de automóviles que llegan es de 10. A la gerencia le interesa saber cuál es la probabilidad exacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos. Solución: Aplicando la fórmula se encuentra que la probabilidad es

Ejemplo 12. La probabilidad de que haya un accidente en una compañía de manufactura es de 0. 02 por cada día de trabajo. Si se trabajan 300 días al año, ¿cuál es la probabilidad de tener 3 accidentes? Como la probabilidad p es menor que 0. 1, n>50 y el producto np es menor que 10 (300 * 0. 02 = 6), entonces usamos la distribución de Poisson: Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes laborales en 300 días de trabajo es de 8. 9%.

Ejemplo 12. La probabilidad de que un producto salga defectuoso es de 0. 012. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 800 productos ya fabricados hayan 5 defectuosos? En este ejemplo vemos nuevamente la probabilidad p menor que 0. 1, y el producto n * p menor que 10, por lo que aplicamos el modelo de distribución de Poisson: Por lo tanto, la probabilidad de que haya 5 productos defectuosos entre 800 recién producidos es de 4. 6%.

Ejercicio 7. Un comerciante de verduras tiene conocimiento de que el 3% de la caja está descompuesta. Si un comprador elige 100 verduras al azar, encuentrar la probabilidad de que, a) las 4 estén descompuestas, b) de 1 a 3 estén descompuestas. Para resolver el inciso “b”, repasar las reglas de probabilidad. En este caso se resuelve sumando las probabilidades P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0. 1494 + 0. 2240

Ejercicio 8. En pruebas realizadas a un amortiguador para automóvil se encontró que el 0. 04 presentaban fuga de aceite. Si se instalan 150 de estos amortiguadores, hallar la probabilidad de que, a) 4 salgan defectuosos, b) más de 5 tengan fuga de aceite, c) de 3 a 6 amortiguadores salgan defectuosos, d) Determine el promedio y la desviación estándar de amortiguadores con defectos. En el inciso “b” se deben sumar las probabilidades desde P(X=6) en adelante. En el inciso “c” se deber sumar P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6).

Ejercicio 9. Un ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa eléctrica, inspecciona una muestra al azar de 200 alternadores de un lote. Si el 2% de los alternadores del lote están defectuosos. Cuál es la probabilidad de que en la muestra, a) ninguno esté defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos, d) más de tres estén con defectos. Para el inciso “d” se puede realizar la siguiente operación: 1 – [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]

Ejercicio 10. La probabilidad de que un CD de música dure al menos un año sin que falle es de 0. 95, calcular la probabilidad de que en una muestra de 15, a) 12 duren menos de un año, b) a lo más 5 duren menos de un año, c) al menos 2 duren menos de un año.

Ejercicio 11 Si 8 de 100 viviendas violan el código de construcción. ¿cuál es la probabilidad de que un inspector de viviendas, que selecciona aleatoriamente a 50 de ellas, descubra que: a) ninguna de las casas viola el código de construcción, b) una viola el código de construcción, c) dos violan el código de construcción, d) al menos tres violan el código de construcción?

Ejercicio 12 Se comprobó que un nuevo detergente para ropa quita bien la mugre y las manchas del 88% de las prendas lavadas. Supóngase que se van a lavar 10 prendas con el nuevo detergente ¿Cuál es la probabilidad de obtener buenos resultados en las 10 prendas? ¿Cuál es la probabilidad de encontrar mal lavadas al menos 2 prendas? ¿Qué tipo de distribución se empleó?

Ejercicio 13 Un director regional tiene la responsabilidad del desarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidad de quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidad promedio de quiebras de empresas pequeñas por mes es de 10, ¿cuál es la probabilidad de quiebren exactamente 4 empresas pequeñas durante un mes? Supóngase que la probabilidad de una quiebra es igual en dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o no ocurrencia de una quiebra en cualquier mes es independiente de las quiebras en los demás meses.

Ejercicio 14 La mayoría de las personas conoce el póker con manos de 5 cartas. Con 52 cartas que incluyen 4 ases, ¿cuál es la probabilidad de que la mano de cinco cartas contenga: Un par de ases, Exactamente un as, Ningún as, Cuando menos 1?

Ejercicio 15 Supóngase que se diseña un sistema aleatorio para un patrullaje de policía de manera que un policía puede visitar cierta localidad de su ronda X = 0, 1, 2, 3, … veces en un período de media hora, y que el sistema está dispuesto de modo que pasa por cada localidad un promedio de una vez por período. Supóngase que X tiene aproximadamente una distribución de Poisson. Calcular la probabilidad de que el patrullero no pase por cierta localidad durante un período de media hora. ¿Cuál es la probabilidad de que la visite una vez? ¿Al menos una vez?

Ejercicio 16 Los accidentes en una planta industrial tienen una media semanal de 3. 5. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya accidentes en una semana? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de accidentes exceda de 7?

Ejercicio 17 El número X de las ventas semanales de un equipo para el movimiento de la tierra, de una compañía de maquinaria pesada para la construcción, tiene una distribución de probabilidad de Poisson, con una media igual a 4. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de máquinas removedoras de tierra, vendidas en una semana, sea igual a 1? ¿Menor que o igual a 1? ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor que 9?

Ejercicio 18 El número promedio de quejas de pasajeros recibidas por la Secretaría de Transporte del gobierno de Estados Unidos respecto de la empresa United Airlines, por cada 100, 000 pasajeros transportados de enero a septiembre de 1986, era 2. 77 (Wall Stret Journal, 10 de noviembre, 1986). Supóngase que se tuvieran que seleccionar al azar 100, 000 pasajeros durante ese período. ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más se quejen con la Secretaría de Transporte? ¿Cuál es la probabilidad de que el número de quejas sea por lo menos 10?

Ejercicio 19 El número X de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de cierto hospital en cualquier día, tiene una distribución de probabilidad de Poisson, con una media igual a 5 personas diarias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día sea igual a 2? ¿Cuál es la probabilidad de que sea menor que o igual a 2? ¿Cuál es la probabilidad de que sea mayor que 10?