DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Por Jorge Snchez 1 VARIABLE

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Por Jorge Sánchez

1 -VARIABLE ALEATORIA Es una función que asocia cada elemento del espacio muestral con un número real. Ejemplo: Se lanzan dos dados y se asocia la suma de los puntos. X E R 3 7 11 Tipo s: § Discret as § Continua s

2 -DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Función de probabilidad: asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad. Media: Varianz a: Desviación típica: Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

Ejemplo: ¿Cuál es la media y la desviación típica al sumar los puntos en el lanzamiento de dos dados?

Media: Varianz a: Desviación típica:

3 -DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Número de éxitos al realizar un experimento n veces cuya probabilidad de éxito es p. Se expresa B(n, p). Función de probabilidad: P(éxito)=p P(fracaso)=1 -p. Si se obtienen k éxitos pueden estar ordenados de formas y las probabilidades multiplican por ser independientes los sucesos. Media: Varianz a: Desviación típica: se

Ejemplo: Al lanzar un dado 5 veces, ¿cuántas veces sale 6?

4 -DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Función de probabilidad: CONTINUA no tiene sentido pues hay infinitos p(Xi)=0. Función de densidad: f(x) que cumple: § f(x) 0 § El área bajo la curva f(x) es 1 § p(x 1 X x 2) es el área bajo la curva y entre las rectas x=x 1 y x=x 2. § p(X x 1) es el área bajo la curva y a la izquierda de x=x 1. Ejemplo: Halla p(1 x 2)

5 -DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( , ). Función densidad: de Distribución normal estándar: N(0, 1). Se consulta la tabla.

5 -DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( , ). Función densidad: de Distribución normal estándar: N(0, 1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20, 4) calcula p(X 15)

5 -DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( , ). Función densidad: de Distribución normal estándar: N(0, 1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20, 4) calcula p(X 15)

5 -DISTRIBUCIÓN NORMAL Se expresa N( , ). Función densidad: de Distribución normal estándar: N(0, 1). Se consulta la tabla. Tipificación de la variable: Ejemplo: En una distribución normal N(20, 4) calcula p(X 15)

6 -PROBLEMA 1 (Quincux o tablero de Galton) Se va a la izquierda X=0 Se va a la derecha X=1 Halla probabilidad de que caiga en el centro. Centro 2 izda+2 dcha (no importa orden).

7 -PROBLEMA 2 (Notas de examen) En una cierta asignatura la media de las notas es 6, 6 y la desviación típica 2, 5. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe?

8 -APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL Si tenemos una binomial se aproxima normal con

9 -INTERVALOS CARACTERÍSTICOS Es un intervalo (-k, k) que encierra un área igual a p. k se llama valor crítico. P=1 - se llama nivel de confianza. Ejemplo: Hallar el intervalo característico para el 90% en una N(50, 5) Si X N( , ) el intervalo característico es ( -z /2· , +z /2· )

10 -TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE Dada una población de media y desviación típica , si se extraen muestras de tamaño n, la distribución de las medias de todas las muestras, denominada distribución de las medias muestrales, verifica: § La media es . § La desviación típica es § Si n>30 se aproxima a una distribución normal. § El intervalo de confianza será

11 -PROBLEMA 3 Las medidas de los diámetros de una muestra tomada al azar de 200 cojinetes de bolas, fabricados por una determinada máquina, dieron una media de 2 cm. y una desviación típica de 0’ 1 cm. Hallar el intervalo de confianza del 88%.

12 -PROBLEMA La duración de las turbinas de una presa 4 sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 50 meses. Hallad el tamaño de la muestra para que, con un nivel de confianza del 95% se consiga un error en la estimación inferior a meses. de las turbinas sigue una distribución La 10 duración normal La duración media seguirá una distribución normal N(0, 1) El intervalo de confianza será Solución: 97

13 -CONTRASTE DE HIPÓTESIS § H 0: hipótesis nula. Que admitimos como válida. § H 1: hipótesis alternativa. Será válida si rechazamos la anterior. § Se acepta H 0 si la discrepancia entre la hipótesis y la información muestral es menor de (nivel de significación). § (1 - )· 100 es el nivel de confianza. Región de aceptación Región de rechazo

14 -PROBLEMA 5 § Al lanzar 200 veces un dado sale el seis 43 veces. ¿Está el dado trucado? § H 0: El dado es correcto. §H 1: El dado está trucado. Un lanzamiento 200 lanzamientos El intervalo de confianza será Nivel de confianza ha de ser mayor del