Distribuciones continuas de probabilidad Variables aleatorias Una variable

Distribuciones continuas de probabilidad

Variables aleatorias • Una variable aleatoria (X) es aquella que toma valores numéricos asociados a los resultados de un experimento probabilístico. Ésta puede ser: Discreta Cuando es el resultado de un proceso de contar. Continua Cuando es el resultado de un proceso de medir. ¿Cuántos focos estarán fundidos? ¿A qué velocidad van?

Distribuciones de probabilidad • Una distribución de probabilidad es una relación entre los valores que puede tomar la variable aleatoria y la probabilidad de que eso suceda. • La más conocida y empleada de las distribuciones de variables aleatorias continuas es la distribución normal o gaussiana, ya que muchas de las variables que se manejan en los negocios, la industria, los comportamientos sociales e individuales tienen esta distribución.

Características de la distribución normal • La distribución normal tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media (μ). • Cuando la desviación estándar (σ) es un valor pequeño, la mayoría de los datos se distribuyen alrededor de la media. • Conforme este valor aumenta, la curva se aplana, lo que significa que los valores empiezan a dispersarse. . 5 + El área bajo la curva representa el 100% de los datos.

Variable estandarizada • Para trabajar con la distribución normal calculamos primero la variable estandarizada o puntuación Z con la fórmula: • El valor de Z indica a cuántas desviaciones estándar de la media se localiza el valor de X. • Si el valor de X es mayor que la media, el valor de Z será positivo; si es menor, Z será negativo.

Cálculo de probabilidades • Para calcular probabilidades se utiliza una tabla de valores de la distribución normal. • La tabla corresponde a la probabilidad de que el valor de Z esté entre 0 y el valor obtenido de Z. • Se busca el valor entero y primer decimal de Z en la columna de la izquierda y el segundo decimal en la parte superior.

Ejemplo • La radiación cósmica a la cual está expuesta una persona mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media 4. 35 y 0. 59 unidades de desviación estándar. • Determina la probabilidad de que una persona que se encuentra en un vuelo esté expuesta a una radiación de más de 5 unidades.

Ejemplo Datos Objetivo 4. 35 0. 59 Fórmula Operaciones 4. 35 5 0. 3643 En la tabla se busca el renglón 1. 1 (entero y primer decimal) y la columna 0. 00 (segundo decimal). 4. 35 5

Distribución muestral de la media • Una distribución muestral de la media es aquella cuyos valores son las medias ( ) de todas las muestras de n elementos que se pueden formar con los datos originales: • La media de una distribución muestral es igual a la media de los datos originales: • La desviación estándar de una distribución muestral de la media está dada por:

Para obtener probabilidades a partir de la media de una distribución muestral se utiliza la fórmula para el cálculo de Z : Donde: = media de la muestra µ = media de la población σ = desviación estándar de la población n = tamaño de la muestra. Se sigue el mismo procedimiento que con la distribución normal.

Ejemplo • En una universidad el promedio de calificaciones de varios grupos en una asignatura es de 8, con una desviación estándar de 1. • ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar una muestra de 36 alumnos, su promedio en esa asignatura sea menor de 7. 7? Datos μ=8 σ=1 n = 36 Objetivo Fórmula Operaciones

Ejemplo • El valor de Z en tablas es 0. 4641; entonces la probabilidad buscada es: -1. 8 7. 7 8 • Por tanto, la probabilidad de que el promedio de la muestra sea menor a 7. 7 es de 3. 59%.

Referencias • Levin, R. y Rubin, D. (2010). Estadística para administración y economía. (7 a. ed. ). México: Pearson. (Disponible en la Biblioteca Virtual ULA, colección Pearson).