DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Tema 12 Angel Prieto Benito Matemticas
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Tema 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
REGRESIÓN LINEAL Tema 12. 6 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2
Regresión lineal • En el caso de variables bidimensionales, como las de los ejemplos ya estudiados, al representarlas gráficamente nos saldrá una nube de puntos. • Cuando los puntos se condensan en torno a una recta, nos interesa conocer la ecuación de la misma. Esa recta será la que más se ajuste a la nube de puntos. Esa recta significativa es tal que la suma de distancias de todos los puntos de la nube a dicha recta es la menor posible. Es la llamada Recta de Regresión, o Recta de Ajuste. De ecuación y = a. x + b • • • Una vez que obtengamos la ecuación de dicha recta, tendremos la función lineal: y=f (x) , pudiendo interpolar valores, es decir hallar pares de valores ( xi, yi ) que no estaban en la nube de puntos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
• La suma de los cuadrados de las distancias de todos los puntos a la recta yi = a. xi + b es : • Σdi 2 = Σ[yi – (a. xi + b)]2 • Para que una recta ajuste lo máximo posible a una nube de puntos, o sea pase por la mayoría de los puntos o por su cercanía, se debe cumplir que la suma anterior sea la menor posible. Para que dicha suma sea la menor posible, derivamos la ecuación y la igualamos a cero, pues es un problema de máximos y mínimos. Como tenemos dos variables, a y b, derivamos dos veces, una con respecto a a y la otra con respecto a b, obteniendo dos nuevas ecuaciones igualadas a cero: • • Σyi – a. Σxi – n. b = 0 Σxi. yi – a. Σxi 2 – b. Σxi = 0 • • Resolviendo el sistema, queda: Vxy _ ___ a = ----- b = y – a. x s 2 x @ Angel Prieto Benito y = a. x + b Matemáticas Aplicadas CS I 4
Ejemplo 1: Regresión lineal xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 1 1 1 …… …. . …… 7 8 49 64 56 33, 5 43 147, 75 249 190 • xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. • yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes. • VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS • x=3, 35 ; y = 4, 30 ; Vx = 3, 35 ; Vy = 6, 61 ; Vxy = 4, 595 ; • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X • m = Vxy / Vx y – yo = m. (x – xo) y = m. x + (yo – m. xo) • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y • m = Vxy / Vy x – xo = m. (y – yo) x = m. y + (xo – m. yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5
Ejemplo 1 ( Y sobre X ) m = 4, 595 / (1, 9)2 = 1, 27 y – yo = m. (x – xo) y - 4, 30 = 1, 27. ( x – 3, 35) La ecuación será: y = 1, 273. x + 0, 036 9 8 7 6 5 4 Para llevarla sobre el gráfico de la 3 Nube de Puntos tomamos dos 2 valores: 1 x = 1 y = 1, 31 x = 5 y = 6, 44 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’ 35, 4’ 30) @ Angel Prieto Benito Nota = f (horas) Nota 0 1 Matemáticas Aplicadas CS I 2 3 4 5 6 7 Horas 6
EJEMPLO 1 ( X sobre Y ) m = 4, 595 / (2, 57)2 = 0, 70 x – xo = m. (y – yo) x – 3, 35 = 0, 70. ( y – 4, 30) La ecuación será: x = 0, 70. y + 0, 34 Horas = f (notas) Nota 9 8 7 6 5 4 Para llevarla sobre el gráfico de la 3 Nube de Puntos tomamos dos 2 valores: 1 y = 1 x = 1, 04 y = 6 x = 4, 54 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (3’ 35, 4’ 30) @ Angel Prieto Benito 0 1 2 Matemáticas Aplicadas CS I 3 4 5 6 7 Horas 7
RECTA Y sobre X y = 1, 273. x + 0, 036 9 8 RECTA X sobre Y 7 x = 0, 70. y + 0, 34 6 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. Si el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. Por el contrario, cuando el ángulo es grande la correlación es débil o muy débil (hasta casi 90º). @ Angel Prieto Benito Horas = f (notas) Nota 5 4 3 2 1 0 1 2 Matemáticas Aplicadas CS I 3 4 5 6 7 Horas 8
Ejemplo 2: Regresión lineal xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 1 7 1 49 7 …. . ……. 4 3 16 9 12 20 40 58 216 91 • xi=Precio de un producto (en €). • yi=Miles de unidades vendidas. • VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS • x=2, 5 ; y = 5 ; Vx = 1 ; Vy = 2 ; Vxy = – 1, 125 ; • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X • m = Vxy / Vx y – yo = m. (x – xo) y = m. x + (yo – m. xo) • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y • m = Vxy / Vy x – xo = m. (y – yo) x = m. y + (xo – m. yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9
Ejemplo 2 ( Y sobre X ) m = – 1, 125 / 1 = – 1, 125 Miles unidades 7 y – yo = m. (x – xo) y – 5 = – 1, 125. ( x – 2, 5) 6 La ecuación será: y = – 1, 125. x + 7, 8125 5 Para llevarla sobre el gráfico de la 4 Nube de Puntos tomamos dos valores: 3 x = 1 y = 6, 68 x = 4 y = 3, 31 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2, 5 , 5) @ Angel Prieto Benito 0 1 Matemáticas Aplicadas CS I 2 3 4 Precio 10
EJEMPLO 2 ( X sobre Y ) m = – 1, 125 / 2 = – 0, 5625 Miles unidades 7 x – xo = m. (y – yo) x – 2, 5 = – 0, 5625. ( y – 5) 6 La ecuación será: x = – 0, 5625. y + 5, 3125 5 Para llevarla sobre el gráfico de la 4 Nube de Puntos tomamos dos valores: 3 y = 3 x =3, 60 y = 7 x = 1, 40 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (2, 5 , 5) @ Angel Prieto Benito 0 1 Matemáticas Aplicadas CS I 2 3 4 Precio 11
RECTA Y sobre X Miles unidades y = – 1, 125. x + 7, 8125 7 RECTA X sobre Y 6 x = – 0, 5625. y + 5, 3125 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. 5 4 Como el ángulo que forman ambas rectas es muy pequeño, la correlación es fuerte o muy fuerte. @ Angel Prieto Benito 3 0 1 Matemáticas Aplicadas CS I 2 3 4 Precio 12
Ejemplo 3: Regresión lineal xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 15 37 225 1379 555 …. . ……. 18 43 324 1849 774 115 279 1899 11179 4587 • xi=Edad de un joven (años). • yi=Nº de calzado. • VALOR DE LOS PARÁMETROS YA CALCULADOS • x=16, 43 ; y = 39, 85 ; Vx = 1, 24 ; Vy = 7 ; Vxy =0, 15 ; • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN Y SOBRE X • m = Vxy / Vx y – yo = m. (x – xo) y = m. x + (yo – m. xo) • CALCULO DE LA RECTA DE REGRESIÓN X SOBRE Y • m = Vxy / Vy x – xo = m. (y – yo) x = m. y + (xo – m. yo) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13
Ejemplo 3 ( Y sobre X ) m = 0, 15 / 1, 24 = 0, 121 Nº de calzado y – yo = m. (x – xo) 43 y – 39, 85 = 0, 121. ( x – 16, 43) 41 La ecuación será: y = 0, 121. x + 37, 86 39 Para llevarla sobre el gráfico de la 37 Nube de Puntos tomamos dos valores: x = 15 y = 39, 67 x = 18 y = 40, 04 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16, 43 , 39, 85) @ Angel Prieto Benito 15 Matemáticas Aplicadas CS I 16 17 18 Edad 14
EJEMPLO 3 ( X sobre Y ) m = 0, 15 / 7 = 0, 0214 x – xo = m. (y – yo) Nº de calzado x – 16, 43 = 0, 0214. ( y – 39, 85) 43 La ecuación será: x = 0, 0214. y + 15, 5772 41 Para llevarla sobre el gráfico de la 39 Nube de Puntos tomamos dos valores: y = 39 x = 16, 40 37 y = 43 x = 16, 50 La recta de regresión o recta de ajuste deberá pasar por el centro de gravedad (16, 43 , 39, 85) @ Angel Prieto Benito 15 Matemáticas Aplicadas CS I 16 17 18 Edad 15
RECTA Y sobre X y = 0, 121. x + 37, 86 Nº de calzado RECTA X sobre Y 43 x = 0, 0214. y + 15, 5772 41 Si en lugar de una correlación estadística fuera una correlación funcional, ambas rectas serían la misma. 39 37 Como el ángulo que forman ambas rectas es muy grande, casi de 90º, la correlación es muy débil. @ Angel Prieto Benito 15 Matemáticas Aplicadas CS I 16 17 18 Edad 16
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