DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Tema 12 Angel Prieto Benito Matemticas
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Tema 12 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1
PARÁMETROS BIDIMENSIONALES Tema 12. 3 * 1º BCS Tema 12. 4 * 1º BCS Tema 12. 5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2
Parámetros • En una distribución bidimensional existen los siguientes parámetros a calcular, siendo n el número de observaciones o pares de valores (x, y). • • MEDIA MARGINAL de xi: Es la media respecto de xi. x = ∑ xi / n • • MEDIA MARGINAL de yi: Es la media respecto de yi. y = ∑ yi / n • Al punto (x, y) se le llama centro de gravedad de la distribución. • • DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de xi: sx = √ [ ( ∑ xi 2 / n ) – x 2 ] • • DESVIACIÓN TÍPICA MARGINAL de yi: sy = √ [ ( ∑ yi 2 / n ) – y 2 ] @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3
• COVARIANZA • • Es un parámetro estadístico conjunto. Es la media aritmética de los productos de las desviaciones de cada una de las variables respecto a sus medias respectivas. Presenta dos maneras diferentes para su cálculo. • • Vxy xy ∑ (xi – x). (yi – y) ∑ xi. yi = ------------ = ------- – x. y n n • Del valor y el signo que presente se pueden deducir ciertas características: • • • Si la covarianza es mayor que cero, la correlación es directa. Si la covarianza es menor que cero, la correlación es inversa Si la covarianza es nula, igual a cero, no existe correlación. Si el valor de la covarianza es grande, la correlación puede ser fuerte. Si el valor de la covarianza es pequeño, la correlación puede ser débil. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4
• COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL • Si la nube de puntos se condensa en torno a una recta existe una correlación lineal entre las variables. El coeficiente de correlación lineal es el parámetro utilizado para medir la relación lineal entre las dos variables. • • Covarianza Vxy r = -------------------------------- = ------Producto de desviaciones típicas de xi e yi sx. sy Variación de r r=0 0<r<0, 2<r<0, 4<r<0, 7<r<0, 9<r<1 r=1 Nula Muy débil Débil Moderada Fuerte Muy fuerte Dependencia funcional Dependencia aleatoria directa (r > 0) Dependencia aleatoria inversa (r < 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5
Ejemplo 1: TABULACIÓN xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 1 1 1, 5 2 2, 25 4 3 2 2 4 4 4 2 3 4 9 6 2, 5 3 6, 25 9 7, 5 3 4 9 16 12 4 6 16 36 24 4, 5 5 20, 25 25 22, 5 6 9 36 81 54 7 8 49 64 56 33, 5 43 147, 75 249 190 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I • xi=Horas de estudio semanal de una asignatura. • yi=Calificaciones en los exámenes correspondientes. 6
Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 33, 5 /10 = 3, 35 y = 43 / 10 = 4, 3 Varianzas Marginales Vx = 147, 75 / 10 – 3, 352 = 3, 55 ; Vy = 249 / 10 – 4, 32 = 6, 61 D. Típicas Marginales sx = 1, 88 sy = 2, 57 Covarianza Coefic. de Correlación Vxy = (190 / 10) – 3, 35. 4, 3 = 4, 595 r = Vxy / sx*sy = 4, 595 / 1, 88*2, 57 = 0, 951 Coefic. de r 2=0, 90 Determinación @ Angel Prieto Benito El 90 % de los resultados se debe a las horas de estudio. El resto a otras causas. Matemáticas Aplicadas CS I 7
Ejemplo 2: TABULACIÓN xi yi xi – x yi – y (xi-x). (yi-y) xi 2 yi 2 xi. yi 1 7 - 1, 5 2 -3 1 49 7 1 6 - 1, 5 1 -1, 5 1 36 6 2 6 - 0, 5 1 -0, 5 4 36 12 3 6 0, 5 1 0, 5 9 36 18 3 5 0, 5 0 0 9 25 15 3 4 0, 5 -1 -0, 5 9 16 12 3 3 0, 5 -2 -1 9 9 9 4 3 1, 5 -2 -3 16 9 12 20 40 - 9 58 216 91 • xi=Precio de un producto (en €). @ Angel Prieto Benito yi=Miles de unidades vendidas. Matemáticas Aplicadas CS I 8
Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias x = 20 / 8 = 2, 5 y = 40 / 8 = 5 Varianzas Vx = 58 / 8 – 2, 52 = = 7, 25 – 6, 25 = 1 Vy = 216 / 8 – 52 = = 27 – 25 = 2 D. Típicas sx = √ 1 = 1 sy = √ 2 = 1, 41 Covarianza Vxy = (91 / 8) – 2, 5. 5 = 11, 375 – 12, 5 = – 1, 125 Covarianza También: Vxy = Σ(xi-x). (yi-y) / n = – 9 / 8 = – 1, 125 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = – 1, 125 / 1. 1, 41 = – 0, 7979 La correlación es inversa y fuerte. Coefic. de r 2=0, 6366 Determinación @ Angel Prieto Benito El 63, 67% de las ventas se deben al precio Matemáticas Aplicadas CS I 9
Ejemplo 3: TABULACIÓN xi yi xi 2 yi 2 xi. yi 15 37 225 1379 555 15 41 225 1681 615 16 39 256 1521 624 16 43 256 1849 688 17 37 289 1379 629 18 39 324 1521 702 18 43 324 1849 774 115 279 1899 11179 4587 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I • xi=Edad de un joven (años). • yi=Nº de calzado. 10
Cálculo de parámetros ( Respecto de xi ) ( Respecto de yi ) Medias Marginales x = 115 / 7 = 16, 43 y = 279 / 7 = 39, 857 Varianzas Marginales Vx = 1899 / 7 – 16, 432 = = 271, 28 – 269, 94 = 1, 24 Vy = 11179 / 7 – 39, 8752 = = 1597 – 1590 = 7 D. Típicas Marginales sx = √ 1, 24 = 1, 1135 sy = √ 7 = 2, 6457 Covarianza Vxy = (4587 / 7) – 16, 43. 39, 857 = 655, 2857 – 654, 8505 = 0, 43 Coefic. de Correlación r = Vxy / sx*sy = 0, 43 / 1, 1135. 2, 6457 = 0, 15 La correlación es directa y muy débil. Coefic. de r 2=0, 0225 Determinación @ Angel Prieto Benito El 2, 25% del nº calzado se deben a la edad Matemáticas Aplicadas CS I 11
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