DISTRIBUCIN BINOMIAL U D 14 1 BCS Angel

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL U. D. 14 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1

PARÁMETROS U. D. 14. 2 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2

ESPERANZA MATEMÁTICA • • • MEDIA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. _ No difiere su cálculo de la media de una variable estadística, x. Se denota por la letra griega μ. Se llama valor esperado o esperanza matemática, nombre preveniente de los juegos de azar, origen de la probabilidad. • • μ es la medida utilizada para medir la equidad de un juego. Si μ = 0 , no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca. • • • Por cada 100 € jugados: μ = 70 en la Lotería Nacional. μ = 55 en la Lotería Primitiva o en la Quiniela de fútbol. • Forma de hallarla: @ Angel Prieto Benito μ = Σ xi. pi Matemáticas Aplicadas CS I 3

• • • EJEMPLO 1 • EJEMPLO 2 • • • Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. μ = Σ xi. Pi μ = 3. 0, 10 + 4. 0, 13 + 5. 0, 24 + 6. 0, 20 + 7. 0’ 14 + 8. 0’ 08 + 9. 0’ 06 + + 10. 0’ 05 = = 0, 3 + 0, 52 + 1, 25 + 1, 2 + 0, 98 + 0, 64 + 0, 56 + 0, 5 = 5, 95 6 Lo que significa que el valor esperado en dicha observación es de 6 personas. El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. μ = Σ xi. Pi μ = 1. (1/6) + 2. (2/6) + 3. (3/6) = 1/6 + 4/6 + 9/6 = 14/6 = 2, 33 Lo que significa que el valor esperado al lanzar dicho dado es de un 2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4

Desviación típica (σ) • • • DESVIACIÓN TÍPICA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE P. DISCRETA. No difiere ni su nomenclatura ni su cálculo de la desviación típica de una variable estadística. Forma de hallarla: σ = √ Σ (xi – μ)2. pi • • EJEMPLO 1 El dado con 1 uno, 2 doses y 3 treses. σ = √ (1 – 2, 33)2. 1/6 + (2 – 2, 33)2. 2/6 + (3 – 2, 33)2. 3/6 = = √(0, 2963 + 0, 0370 + 0, 2222) = √ 0, 5555= 0, 7453 • • • EJEMPLO 2 Los diez amigos que se reúnen para salir en número aleatorio. σ = √ (3 – 5, 95)2. 0, 10 + (4 – 5, 95)2. 0, 13 + (5 – 5, 95)2. 0, 25 + (6 – 5, 95)2. 0, 20 + + (7 – 5, 95)2. 0, 14 + (8 – 5, 95)2. 0, 08 + (9 – 5, 95)2. 0, 06 + (10 – 5, 95)2. 0, 05 = = √ ( 0, 9 + 0, 52 + 0, 25 + 0, 14 + 0, 32 + 0, 54 + 0, 9 ) = √ 3, 57 = 1, 89 El 68% de las veces se reúnen entre 4 (5, 95 – 1, 89) y 8 (5, 95 + 1, 89) amigos @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5

• EJEMPLO 3 • En urna hay 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si sacamos una bola negra pagamos a la banca 5 Euros, pero si es blanca ganamos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ? . • • • xi pi xi – μ -5 10 5/8 = 0, 625 3/8 = 0, 375 -5, 525 9, 475 2 (xi – μ). pi 19, 08 33, 66 ∑= 52, 74 • • μ = -5. 0, 625+10. 0, 375 = -3, 125 + 3, 75 = 0, 525 Sí jugaría, pues tengo ventaja. • σ = √ 52, 74 = 7, 275 @ Angel Prieto Benito CV (x) = 7, 275 / 0, 525 = 14 Matemáticas Aplicadas CS I 6

• EJEMPLO 4 • Lanzamos dos monedas al aire. Apostamos 5 Euros. Si salen dos caras, volvemos a tirar; si salen dos cruces, nos llevamos 10 Euros; pero si sale una cara y una cruz perdemos lo apostado. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ? . • • Xi pi -5 0 10 2/4 = 0, 5 1/4 = 0, 25 μ = - 5. 0, 5+ 0. 0, 25 + 10. 0, 25 = -2, 5 +0 + 2, 5 = 0 Al ser μ = 0 el juego es equitativo, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca, @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

• EJEMPLO 5 • En una urna hay 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y la sustituimos por otra de distinto color. Luego extraemos otra bola. Si el resultado es BB, ganamos 50 Euros; si es BR, ni ganamos ni perdemos; si es RB perdemos 5 Euros; y si es RR perdemos 10 Euros. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ? . • • • P(BB) = 2 / 7. 1/ 7 = 2 / 49 = 0, 041 P(BR) = 2/ 7. 6 /7 = 12 / 49 = 0, 245 P(RB) = 5 / 7. 3 / 7 = 15 / 49 = 0, 306 P(RR) = 5 / 7. 4 / 7 = 20 / 49 = 0, 408 Xi pi 50 0, 041 0 0, 245 -5 0, 306 - 10 0, 408 μ = 50. 0, 041+ 0. 0, 245 – 5. 0, 306 – 10. 0, 408 = - 3, 56 No jugaríamos, pues tenemos desventaja, no es equitativo. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

• EJEMPLO 6 • Lanzamos dados en forma de tetraedro, uno con las caras numeradas del 0 al 3, y el otro con las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado de la función que asigna a cada valor de x la suma de resultados? . • • • X/Y 1 2 3 4 0 1 2 3 4 xi fi pi xi. pi 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 3 2 1 16 0, 0625 0, 1250 0, 1875 0, 25 0, 1875 0, 1250 0, 0625 0, 5625 1, 00 0, 9375 0, 4375 4, 00 2 3 4 5 6 7 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I μ = ∑xi. pi = 4 9