DISPERSI UKURAN PENYEBARAN DATA REVIEW UKURAN VARIASI ATAU
DISPERSI (UKURAN PENYEBARAN DATA) (REVIEW)
UKURAN VARIASI ATAU DISPERSI 2
KONSEP DASAR Dispersi = Variasi data = Keragaman data Definisi Dispersi adalah data yang menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusatnya data atau ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusat data 3
KONSEP DASAR �Contoh Tiga kelompok data terdiri dari: a. 50, 50, 50 (homogen) rata-rata hitung = 50 b. 50, 40, 30, 60, 70 (heterogen) rata-rata hitung = 50 c. 100, 40, 80, 20, 10 (heterogen) rata-rata hitung = 50 4
ALASAN MEMPELAJARI DISPERSI q Mean dan median hanya menggambarkan pusat data dari sekelompok data, tetapi tidak menggambarkan penyebaran nilai pada data tersebut. q Dua kelompok data dengan mean yang sama, belum tentu memiliki penyebaran data yang sama. q Ukuran dispersi yang kecil menunjukkan nilai data saling berdekatan (perbedaan kecil), sedangkan ukuran dispersi yang besar menunjukkan nilai data saling menyebar (perbedaan nilai masing-masing data besar). q Ukuran dispersi digunakan untuk melengkapi perhitungan nilai pusat data. 5
KONSEP DASAR �Jenis 1. Dispersi Mutlak Dispersi mutlak digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data 2. Dispersi Relatif Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya. 6
KONSEP DASAR DISPERSI Dispersi Mutlak Jangkauan (Range) Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) Variansi (Variance) Simpangan Baku (Standard Deviation) Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) Dispersi Relatif Koefisien Variasi (Variance Coefficient) Nilai Baku (Z) 7
Jangkauan – Data Tunggal �Definisi Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dengan nilai minimum dalam suatu kelompok/ susunan data. �Lambang Jangkauan dapat ditulis “ r “ �Nama Lain Nilai Jarak, dapat ditulis “ NJ ” 8
Jangkauan – Data Tunggal �Sifat Jangkauan merupakan ukuran keragaman yang paling sederhana. Jangkauan sangat peka terhadap data dengan nilai terbesar dan nilai terkecil. Semakin kecil nilai r maka kualitas data akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai r, maka kualitasnya semakin tidak baik. 9
Jangkauan – Data Tunggal �Rumus r = Xn – X 1 r = Nilai Maksimum – Nilai Minimum �Contoh Diketahui data 20, 30, 50, 70, 100. Tentukan nilai jangkauan data. r = X 5 – X 1 r = 100 – 20 r = 80 10
Jangkauan – Data Tunggal Contoh Tabel Distribusi Nilai Ujian Nilai ujian Kelompok 1 Kelompok 2 40 45 50 55 60 10 25 55 70 90 Jumlah 250 Rata-rata 50 50 jangkauan 20 80
Jangkauan – Data Tunggal Interpretasi tabel nilai ujian Dilihat nilai rata 2, kedua kelompok seolah- olah punya nilai sama Namun, range keduanya ternyata berbeda Kesimpulan : - kelompok 1 punya kepandaian merata - kepandaian kelompok 2 sangat bevariasi
Jangkauan – Data Berkelompok �Rumus r = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama r = Batas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama 13
Jangkauan – Data Berkelompok Contoh Data berat badan 100 mahasiswa suatu perguruan tinggi. Tentukan nilai jarak dari data tersebut. Berat badan (Kg) 60 63 66 69 72 – – – 62 65 68 71 74 Banyaknya Mahasiswa (f) 5 18 42 27 8 14
Jangkauan – Data Berkelompok �Jawaban Cara I Nilai tengah kelas pertama = (60 + 62) : 2 Nilai tengah kelas pertama = 61 Nilai tengah kelas terakhir = (72 + 74) : 2 tengah kelas terakhir = 73 Nilai r = Nilai tengah kelas terakhir – Nilai tengah kelas pertama r = 73 – 61 r = 12 15
Jangkauan – Data Berkelompok �Jawaban Cara II Batas bawah kelas pertama = 60 – 0, 5 = 59, 5 Batas kelas terakhir = 74 + 0, 5 = 74, 5 r = Batas kelas terakhir – Batas bawah kelas pertama r = 74, 5 – 59, 5 r = 15 16
Simpangan Rata-rata – Data Tunggal �Definisi Simpangan rata-rata adalah jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi dengan banyaknya data. �Lambang Simpangan rata-rata dapat ditulis “ SR “ 17
Simpangan Rata-rata – Data Tunggal �Rumus �SR �n � �Xi = = simpangan rata-rata banyaknya data pengamatan rata-rata data ke-i 18
Simpangan Rata-rata – Data Tunggal Contoh Diketahui data 30, 40, 50, 60, 70. Tentukan simpangan rata-ratanya ! Jawaban 19
Simpangan Rata-rata – Data Berkelompok �Rumus �SR �f � �Xi = = simpangan rata-rata banyaknya frekuensi data rata-rata nilai tengah kelas ke-i 20
Simpangan Rata-rata – Data Berkelompok Contoh Interval Kelas Xi fi fi. Xi 9 – 21 22 – 34 35 – 47 48 – 60 61 – 73 74 – 86 87 – 99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 45 112 164 432 804 1840 558 Σ = 60 Σ = 3955 50, 92 37, 92 24, 92 11, 92 1, 08 14, 08 27, 08 152, 76 151, 68 99, 68 95, 36 12, 96 323, 84 162, 48 Σ = 998, 76 21
VARIANS �Definisi Varians adalah ukuran keragaman yang melibatkan seluruh data. Varians merupakan rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung. �Varians didasarkan pada perbedaan antara nilai tiap observasi (Xi) dan rata-rata ( ) untuk sampel dan untuk populasi. 22
VARIANS – DATA TUNGGAL Rumus (sampel) atau Rumus (populasi) S 2 = varians sampel Xi = data ke-i = rata-rata sampel n = banyaknya sampel σ2 Xi μ N = = varians populasi data ke-i rata-rata populasi banyaknya populasi 23
VARIANS – DATA BERKELOMPOK Rumus (sampel) atau Rumus (populasi) S 2 = varians sampel Xi = nilai tengah kelas ke-i fi = frekuensi kelas ke-i = rata-rata sampel σ2 = varians populasi μ = rata-rata populasi 24
Simpangan Baku (Standard Deviation) �Definisi Simpangan baku adalah akar kuadrat positif dari varians. Simpangan baku diukur pada satuan data yang sama, sehingga mudah untuk diperbandingkan. Simpangan baku paling banyak digunakan karena mempunyai sifat-sifat matematis yang sangat penting dan berguna untuk pembahasan teori dan analisis. 25
Simpangan Baku (Standard Deviation) �Lambang Simpangan baku dapat ditulis “ S “ �Nama Lain Standar Deviasi, dapat ditulis “ SD “ �Kelompok data yang heterogen mempunyai simpangan baku yang besar. 26
Varians dan Simpangan Baku Contoh 1 : Interval Kelas Xi Fi fi. Xi 9 -21 22 -34 35 -47 48 -60 61 -73 74 -86 87 -99 15 28 41 54 67 80 93 3 4 4 8 12 23 6 45 112 164 432 804 1840 558 Σ = 60 Σ = 3955 Varians 2592, 85 1437, 93 621 142, 09 1, 17 198, 25 733, 33 7778, 55 5751, 72 2484 1136, 72 14, 04 4559, 75 4399, 98 26124, 76 Simpangan baku
Rentang Antar Kuartil (RAK) dan Simpangan Kuartil (SK) Rentang antar kuartil (RAK) = Q 3 – Q 1 Simpangan kuartil (SK) = ½ (Q 3 – Q 1) Contoh : Diketahui : Q 1 = 57, 75 dan Q 3 = 85 RAK = 85 - 57. 75 = 27. 25 SK = ½ (27. 25) = 13. 625
Koefisien Variasi (KV) Koefisien variasi digunakan untuk membandingkan dua kelompok nilai yang bebas dari satuan data asli atau asalnya Harga deviasi dalam bentuk persentase. Berguna untuk membandingkan deviasi dua kelompok data Rumus:
Koefisien Variasi (KV) Contoh Harga 5 mobil bekas masing-masing adalah Rp 4. 000, Rp 4. 500, Rp 5. 000, Rp 4. 750, 00, dan Rp 4. 250, 00 serta harga 5 motor bekas masing-masing adalah Rp 600, Rp 800, Rp 900, Rp 550, 00, dan Rp 1. 000, 00. Kelompok data mana yang lebih heterogen? 30
KOEFISIEN VARIASI Jawaban Rata-rata harga mobil (Xm) 31
KOEFISIEN VARIASI Jawaban Simpangan baku harga mobil (σm) 32
KOEFISIEN VARIASI Jawaban Rata-rata harga mòtor (μa) 33
KOEFISIEN VARIASI Jawaban Simpangan baku harga motor (σa) 34
KOEFISIEN VARIASI Jawaban KVa > KVm berarti harga motor bekas lebih bervariasi atau lebih heterogen dari harga mobil bekas. 35
Nilai Baku (Z) v Nilai baku atau skor baku (nilai standar) merupakan transformasi dari rata-rata hitung dan standar deviasi. v Angka baku dipakai untuk membandingkan keadaan distribusi suatu hal v Rumusnya sbb: i = 1, 2, 3, …, n 36
Nilai Baku (Z) Contoh Seorang mahasiswa mendapat nilai 86 pada ujian akhir matematika dengan rata-rata kelompok 78 dan simpangan baku kelompok 10. Pada ujian akhir statistika dengan rata-rata kelompok 84 dan simpangan baku kelompok 18, ia mendapat nilai 92. Dalam mata ujian mana ia mencapai kedudukan lebih baik ? 37
Nilai Baku (Z) �Jawaban �Angka baku untuk matematika �Angka baku untuk statistika �Angka baku matematika lebih dari statistika, sehingga mahasiswa mencapai kedudukan yang lebih baik dalam hal matematika. 38
Latihan Sepuluh orang juri memberikan penilaian terhadap jenis makanan yang baru dikembangkan sebagai berikut. 23, 30, 14, 10, 15, 28, 30, 25, 24, 17 Hitunglah nilai a. Jangkauan (r) b. Simpangan Rata-rata (SR) c. Varians dan Standar Deviasi (SD) d. Simpangan Kuartil (SK) e. Koefisien Variansi (KV) dan SK = ½ (Q 3 – Q 1)
LATIHAN Diketahui ketinggian karyawan di perusahaan A sebagai berikut: Tinggi Badan fi xi 31 -40 1 35. 5 41 -50 2 45. 5 51 -60 5 55. 5 61 -70 15 65. 5 71 -80 25 75. 5 81 -90 20 85. 5 91 -100 12 95. 5 Jumlah 80 fi. xi |xi – x bar| fi(xi-x bar)2 Dari tabel tersebut, hitunglah: Simpangan Rata-rata (SR), Varians (s 2), Standard Deviasi (s), dan simpangan kuartil (SK).
LATIHAN Pendapatan 9 karyawan koperasi ABC per hari adalah sebagai berikut Rp 74. 000, Rp 86. 000, Rp 75. 000, Rp 84. 000, Rp 72. 000, Rp 80. 000, Rp 85. 000, Rp 90. 000, Rp 77. 000, 00. Pendapatan 9 karyawan koperasi XYZ per hari adalah sebagai berikut Rp 54. 000, Rp 66. 000, Rp 75. 000, Rp 64. 000, Rp 52. 000, Rp 50. 000, Rp 55. 000, Rp 60. 000, Rp 57. 000, 00. Kelompok data mana yang lebih heterogen? 41
- Slides: 41