Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Signale knnen als berlagerung Summe

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Signale können als Überlagerung (Summe) periodischer Funktionen mit l l g(x) Frequenzen u und mit Amplituden F dargestellt werden. Cosinus Funktionen Sinus Funktionen ● Diese Koeffizienten geben an, mit welcher Häufigkeit die entsprechenden Funktionen vorkommen. Computer Vision 1_Seite 1

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Die Berechnung der Koeffizienten heißt diskrete Fouriertransformation (DFT) und erfolgt via ● Aus den Koeffizienten kann das Originalsignal zurück gewonnen werden: Inverse diskrete Fouriertransformation (IDFT) Computer Vision 1_Seite 2

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Die Fouriertransformation und ihre Inverse werden oft in komplexer Schreibweise 1) angegeben: DFT: IDFT: Amplitude (Magnitude) (u Fo(u) |F ● Es ist )| F(u) Fe(u) Phase 1) Die Umrechung von reeller in komplexe Schreibweise erfolgt mit Computer Vision 1_Seite 3

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Die Fouriertransformation und ihre Inverse bilden einen Zusammenhang zwischen Orts- und Frequenzraum Ortsraum Frequenzraum (Amplitude) Frequenz Notation: oder Zweidimensional? Computer Vision 1_Seite 4

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Die zweidimensionale diskrete Fouriertransformation und ihre Inverse. Bild g ( B x H ) ● DFT: Frequenzraum Ortsraum ● Die Inverse: IDFT Computer Vision 1_Seite 5

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Darstellung im Frequenzraum Amplitude Phase Frequenzraum (Amplitude und Phase) bzw. Bemerkung: Wegen der Punktsymmetrie muss nur eine Hälfte der DFT berechnet werden und der Ursprung kann in den Bildmittelpunkt gelegt werden: A bzw. D B Computer Vision B A 1_Seite 6

Diskrete Fouriertransformation Amplitude Informationsgewinnung Phasen Amplitude Die Phase beinhaltet entscheidende Informationen! Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung Computer Vision 1_Seite 7

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Im Frequenzraum sind viele Operationen günstiger durchzuführen: ● Alle linearen Operationen z. B. Hochpass, Tiefpass und Bandpass können mit hoher Güte durchgeführt werden. Der Faltungssatz besagt u. a. , dass eine Faltung im Ortsbereich auch durch eine Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden kann: 1) ● Erkennung periodischer Strukturen ● Manipulation periodischer Strukturen Manipulation von F im Frequenzraum 1) Multiplikation von komplexen Zahlen: Computer Vision 1_Seite 8

Diskrete Fouriertransformation Beispiel: Tiefpaßfilter durch Informationsgewinnung mit ● Erinnerung: separierbarer Kern ● Anwendung des Faltungssatzes (Führe anstelle der Faltung im Ortsraum eine Multiplikation im Frequenzraum durch): Computer Vision 1_Seite 9

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Koordinatensysteme von Bild und Kern: D B A A B Für die DFT muss der Ursprung des Kerns dem Ursprung des Bildes entsprechen! Computer Vision 1_Seite 10

Diskrete Fouriertransformation Ortsraum Informationsgewinnung Frequenzraum Ortsraum DFT IDFT Multiplikation von komplexen Zahlen: Computer Vision 1_Seite 11

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Die Berechnung des Kerns für die Gaußfunktion muss nicht durchgeführt werden, da die Gaußfunktion im Frequenzbereich wieder eine Gaußfunktion (mit reziproker Varianz) ist: ● Die Fouriertransformierte lässt sich für weitere Funktionen analytisch berechnen, z. B. Quelle: Handbook of Computer Vision 1_Seite 12

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der DFT Quelle: Handbook of Computer Vision 1_Seite 13

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Effizienz: Beispiel: N: =B=H, dann hat die Berechnung der DFT einen Aufwand von O(N 4) void DFT(const CImage. Memory< unsigned char >& source, CImage. Memory< unsigned char >& real, CImage. Memory< unsigned char >& imag) {. . . Parametervereinbarung. . . for (v = 0; v < H; v++) wird für alle v und y wird für alle u und x { berechnet for (u = 0; u < B/2; u++) { real. Teil = 0; imag. Teil = 0; for (y = 0; y < H; y++) { for (x = 0; x < B; x++) { summand = - fac * ((u*x)/double(B) + (v*y)/double(H)); real. Teil += source. Get. Pixel. Value(x, y) * cos(summand); imag. Teil += source. Get. Pixel. Value(x, y) * sin(summand); } } real. Set. Pixel. Value(u, v, real. Teil/sqrt_B_H); imag. Set. Pixel. Value(u, v, imag. Teil/sqrt_B_H); } } } Computer Vision 1_Seite 14

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Effizienz: Die DFT kann separiert werden: Eindimensionale DFT (abh. von x und v, unabh. von u) ! 1 -dim DFT ● Weitere Effizienzsteigerung: Für die DFT existieren effiziente Verfahren, z. B. die FFT (Fast Fourier Transformation): DFT Implementierung nach dem Teile und Herrsche Prinzip. Voraussetzung: Die Bildgröße ist eine Zweierpotenz, also Computer Vision 1_Seite 15

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung ● Beispiel: Faltung von Gaußfunktion und Grauwertkeil durch Multiplikation im Frequenzraum Ortsraum komplexe Multiplikation DFT IDFT Die Fouriertransformation geht von periodischen Signalen aus!!! Computer Vision 1_Seite 16

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Typische Randeffekte nichtperiodischer Signale Frequenzraum (Amplitude) Ortsraum Abhilfe: Multiplikation im Ortsbereich mit einer Fensterfunktion Computer Vision 1_Seite 17

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der Fouriertransformation 1: Bezeichungen ● Linearität (a, b reelle Zahlen) insbesondere ist Beispiel: Bild g(x, y) invertieren: f(x, y) : = 255 ● Verschiebung im Ortsbereich ● Verschiebungen im Frequenzbereich Computer Vision 1_Seite 18

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Eigenschaften der Fouriertransformation 2: ● Ähnlichkeit (invertierbare 2 x 2 Matrix A) insbesondere ist für Drehungen U Frequenzraum (Amplitude) Ortsraum 90°Drehung nach rechts Computer Vision 1_Seite 19

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Frage: Wie stark kann ein Bild ohne Informationsverlust in der Größe reduziert werden? jeder 4. Bildpunkt in x-und y. Richtung jeder 5. Bildpunkt in x-und y. Richtung Moiré-Effekt: Das Abtasttheorem wurde verletzt! Pro Wellenlänge werden mindestens zwei Abtastpunkte benötigt! Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung Computer Vision 1_Seite 20

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Abtastungen: ● Bestimme die oberen Grenzfrequenzen im Bildbereich: ● Normierung bzgl. Bildbreite und -höhe Abtasttheorem: Gilt und , so kann das Bild aus den abgetasteten Punkten exakt rekonstruiert werden. Ortsraum Quelle: Jähne B. Digitale Bildverarbeitung Frequenzraum (Amplitude) Computer Vision 1_Seite 21

Diskrete Fouriertransformation Informationsgewinnung Zusammenfassung: ● Die DFT geht von periodischen Signalen aus. ● Die DFT liefert das Spektrum eines Bildes. ● Die DFT transformiert ein Bild in zwei Bilder mit identischer Größe (Real- und Imaginärteil). Diese können in Phase und Amplitude umgerechnet werden. ● Faltungssatz: Faltungen im Ortsbereich können als Multiplikation im Frequenzbereich durchgeführt werden. ● Diverse Funktionen und Operationen können analytisch auf den Frequenzbereich übertragen werden. ● Das Spektrum liefert Informationen für die verlustfreie Abtastmöglichkeit (Abtasttheorem). ● Die Manipulation des Spektrums (auch in einer einzigen Frequenz) beeinflusst das gesamte daraus rekonstruierte Bild. Computer Vision 1_Seite 22